Phép đồng nhất là gì? Định nghĩa, tính chất & bài tập áp dụng

Các chuyên đề trước đã cung cấp cho các bạn về khái niệm và tính chất của một số phép biến hình như phép tịnh tiến, phép quay. Bài viết này VOH Giáo Dục sẽ giới thiệu cho các bạn một phép biến hình mới, đó là phép đồng nhất. Vậy thế nào là phép đồng nhất? Phép đồng nhất có phải là phép dời hình không? Bài viết sau sẽ làm sáng tỏ những câu hỏi trên qua việc trình bày khái niệm và tính chất của phép đồng nhất, đồng thời bài viết cũng sẽ đưa ra một số ví dụ cũng như một số bài tập cụ thể vận dụng phần kiến thức này.

1. Nhắc lại khái niệm phép biến hình

Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm P thuộc mặt phẳng với một điểm xác định duy nhấtP’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

Nhận xét: Cho một hình H bất kỳ nào đó thuộc một mặt phẳng, ký hiệu H’ = F(H) chính là tập tất cả các điểm P’ = F(P), với mọi điểm P thuộc hình H đã cho. Do đó ta nói: F biến hình H thành hình H’, hoặc H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F.

2. Phép đồng nhất là gì?

Định nghĩa phép đồng nhất: Phép đồng nhất chính là phép biến hình biến mỗi điểm P thành chính nó.

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng, cho điểm P và đường thẳng d. Biết điểm P nằm trên đường thẳng d. Khi đó, hình chiếu vuông góc của điểm P trên đường thẳng d chính là điểm P. Ta nói, phép lấy hình chiếu vuông góc của điểm P thuộc đường thẳng d trên đường thẳng d chính là một phép đồng nhất.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng, cho điểm P. Khi đó, điểm đối xứng với điểm P qua điểm P chính là điểm P. Ta nói, phép lấy đối xứng điểm P qua chính nó chính là một phép đồng nhất.

3. Một số phép đồng nhất đã học

3.1. Phép tịnh tiến theo vectơ – không

Trong một mặt phẳng, cho vectơ – không. Phép tịnh tiến theo vectơ – không biến mỗi điểm P thành điểm P’ thì ta được . Do đó, điểm P’ trùng với điểm P. Khi đó, phép tịnh tiến theo vectơ – không được ký hiệu là và ta có .

Nhận xét: Phép tịnh tiến theo vectơ – không là phép biến hình biến mỗi điểm thành chính nó, hay còn được gọi là phép đồng nhất.

3.2. Phép quay tâm O góc α = k2π, (k∈Ζ)

Trong một mặt phẳng, cho điểm O và góc lượng giác . Phép quay tâm O góc biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác điểm O thành điểm M’ thì ta được điểm M’ trùng với điểm M. Khi đó, phép quay tâm O góc được ký hiệu là và ta có (với k thuộc tập số nguyên).

Nhận xét: Phép quay tâm O góc là phép biến hình biến mỗi điểm thành chính nó, hay còn được gọi là phép đồng nhất.

4. Một số tính chất phép đồng nhất

+ Phép đồng nhất biến đoạn thẳng thành chính nó.

+ Phép đồng nhất biến đường thẳng thành chính nó.

+ Phép đồng nhất biến tam giác thành chính nó.

+ Phép đồng nhất biến đường tròn thành chính nó.

5. Các dạng bài tập phép đồng nhất

Bài 1. Cho điểm Q thuộc đường thẳng d cùng nằm trong một mặt phẳng. Em hãy cho biết các phép biến hình sau đây có phải là một phép đồng nhất hay không? Giải thích?

a) Phép lấy điểm Q’ sao cho ;

b) Phép lấy đối xứng điểm Q qua đường thẳng d.

ĐÁP ÁN

a) Vì , nên điểm Q’ chính là điểm Q. Do đó, ta suy ra phép lấy điểm Q’ sao cho chính là một phép đồng nhất.

b) Vì điểm đối xứng với điểm Q qua đường thẳng d chứa điểm Q chính là điểm Q. Do đó, ta suy ra phép lấy đối xứng điểm Q qua đường thẳng d chứa điểm Q chính là một phép đồng nhất.

Bài 2. Em hãy tìm ra khẳng định ĐÚNG trong các khẳng định dưới đây:

1. Phép tịnh tiến theo vectơ – không biến điểm M thành điểm M’, biến điểm N thành điểm N’, khi đó tứ giác MM’N’N là hình bình hành.
2. Phép tịnh tiến theo vectơ – không biến đoạn thẳng XY thành đoạn thẳng X’Y’ (X khác X’ và Y khác Y’).
3. Phép tịnh tiến theo vectơ – không biến tam giác ABC thành tam giác ABC.
4. Phép tịnh tiến theo vectơ (khác vectơ không) là một phép đồng nhất.

ĐÁP ÁN

Phép tịnh tiến theo vectơ – không biến điểm M thành điểm M, biến điểm N thành điểm N, suy ra A sai.

Phép tịnh tiến theo vectơ – không biến đoạn thẳng XY thành đoạn thẳng XY, suy ra B sai.

Phép tịnh tiến theo vectơ – không là một phép đồng nhất, suy ra D sai.

Đáp án đúng là C.

Bài 3. Em hãy tìm ra khẳng định SAI trong các khẳng định dưới đây:

1. Phép quay tâm O góc là một phép đồng nhất.
2. Phép quay tâm O góc biến hình chữ nhật HKEF thành hình chữ nhật HKEF.
3. Phép quay tâm O góc biến đường chéo HE của hình vuông HKEF thành đoạn thẳng HE.
4. Phép quay tâm O góc là phép biến hình biến mỗi điểm thành chính nó.

ĐÁP ÁN

Phép quay tâm O góc là phép biến hình biến mỗi điểm thành chính nó, nên nó là một phép đồng nhất, suy ra A đúng.

Phép quay tâm O góc biến hình chữ nhật HKEF thành chính nó, suy ra B đúng.

Phép quay tâm O góc biến đường chéo HE của hình vuông HKEF thành chính nó, suy ra C đúng.

Phép quay tâm O góc vừa có thể là phép đồng nhất, vừa có thể là phép đối xứng tâm, suy ra D sai.

Đáp án đúng là D.

Bài 4. Cho điểm J và điểm P cùng nằm trong một mặt phẳng. Em hãy cho biết phép lấy điểm P’ sao cho có phải là một phép đồng nhất hay không? Giải thích?

ĐÁP ÁN

Trong mặt phẳng, vẽ . Khi đó ta được: Với mỗi điểm P ta xác định được vô số điểm P’ sao cho .

Do đó, ta suy ra phép lấy điểm P’ sao cho không phải là một phép đồng nhất.

Bài 5. Em hãy điền từ hoặc cụm từ còn thiếu vào . . . trong các câu sau để được một khẳng định đúng:

a) Phép đồng nhất biến đoạn thẳng thành . . .;

b) Phép tịnh tiến theo vectơ . . . là phép biến hình biến mỗi điểm thành chính nó, hay còn được gọi là phép . . .;

c) Phép quay tâm O góc . . . là một phép đồng nhất;

d) Phép tịnh tiến theo vectơ . . . biến tam giác thành chính nó;

e) Phép . . . là phép quay tâm O góc .

ĐÁP ÁN

a) Phép đồng nhất biến đoạn thẳng thành chính nó;

b) Phép tịnh tiến theo vectơ không là phép biến hình biến mỗi điểm thành chính nó, hay còn được gọi là phép đồng nhất;

c) Phép quay tâm O góc là một phép đồng nhất;

d) Phép tịnh tiến theo vectơ không biến tam giác thành chính nó;

e) Phép đồng nhất là phép quay tâm O góc .

Bài viết đã trình bày định nghĩa và tính chất của phép đồng nhất, đồng thời bài viết cũng đã đưa ra một số ví dụ cũng như một số bài tập cụ thể vận dụng phần kiến thức này. Qua đó, em hãy nắm chắc kiến thức về phép đồng nhất và thực hiện giải quyết các bài tập trên lớp.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang