Khối đa diện là một phần kiến thức cơ bản mà học sinh THPT cần nắm vững khi học về hình học. Để có cái nhìn chi tiết hơn về các loại khối đa diện, cách nhận diện và phân cắt chúng, học sinh có thể tham khảo bài viết dưới đây của VUIHOC!
1. Hình đa diện là gì?
Hình đa diện là hình học bao gồm các đa giác phẳng đáp ứng các thuộc tính sau:
Hai đa giác khác nhau có thể không có điểm chung, chỉ có một cạnh chung hoặc chỉ có một đỉnh chung. Nếu hình mà 2 đa giác không thuộc các trường hợp trên hoặc có nhiều hơn 1 trường hợp trong các trường hợp trên, thì nó không được coi là hình đa diện.
Ví dụ:.
Hình ảnh trên không phải là một hình đa diện vì hình tam giác và hình chữ nhật không đáp ứng điều kiện “không có điểm chung”. Cụ thể, hai đa giác này có một điểm chung nhưng điểm đó không phải là đỉnh chung.
Mỗi cạnh của mọi đa giác đều là cạnh chung của chính xác 2 đa giác.
Hình trên đây không là hình đa diện bởi vì có 1 cạnh màu đỏ là cạnh chung của 4 mặt.
Các hình đa diện phổ biến mà học sinh đã được làm quen từ lớp 11 bao gồm hình tứ diện, hình lăng trụ, hình chóp, hình hộp, hình lập phương, và hình chóp cụt.
2. Lý thuyết khối đa diện
2.1. Khối đa diện là gì?
Khối chóp, khối lăng trụ và khối hộp là những khối đa diện được các em học sinh biết đến. Vậy, định nghĩa chung của khối đa diện là gì?
Mỗi hình đa diện được hình thành sẽ có một không gian miền trong được xác định, được gọi là khối đa diện.
2.2. Đặc điểm, tính chất về khối đa diện
Các bài tập khối đa diện đòi hỏi học sinh nhớ một số đặc điểm và tính chất về khối đa diện.
Tính chất 1: Cho một khối hình tứ diện đều, chúng ta có:.
Đỉnh của một khối tứ diện cân đều là trọng tâm của các mặt.
Trung tâm của mỗi cạnh chính là các đỉnh của hình bát diện đều.
Tính chất 2: Đối với một khối lập phương, các mặt tâm của nó sẽ tạo thành một khối bát diện đều.
Tính chất thứ 3: Đối với khối bát diện đều, tâm các mặt của nó sẽ hình thành một khối hình lập phương.
Tính chất 4 của khối bát diện nói rằng hai đỉnh của khối được gọi là đỉnh đối diện nếu chúng không thuộc cùng một cạnh. Đường thẳng nối hai đỉnh đối diện được gọi là đường chéo của khối bát diện.
Ba đường chéo cắt nhau tại vị trí giữa của mỗi đường.
Ba đường chéo thành góc vuông với nhau theo từng cặp một.
Ba đường chéo có độ dài như nhau.
Tính chất thứ 5: Một khối đa diện phải có ít nhất 4 mặt.
Tính chất số 6: Hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.
Tính chất thứ 7: Không có hình đa diện nào có 7 cạnh.
2.3. Ví dụ về các khối đa diện
Một số hình đa diện phổ biến:
3. Khối đa diện lồi là gì?
Khối đa diện lồi được xác định bằng đoạn thẳng nối 2 điểm bất kì trong khối đa diện. Nếu đoạn thẳng đó nằm hoàn toàn trên khối đa diện, thì đó là đa diện lồi.
Ví dụ như khối hình lăng trụ, khối hình chóp là các hình đa diện lồi.
Ngược lại, trường hợp hình sau đây không phải là hình đa diện lồi vì đoạn MN không nằm trong khối đa diện.
VUIHOC cung cấp bộ tài liệu độc quyền giúp bạn nắm vững kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian.
4. Lý thuyết khối đa diện đều
4.1. Định nghĩa
Một khối đa diện đều là một trường hợp đặc biệt của các khối đa diện lồi. Để xác định một khối đa diện đều, cần phải thoả mãn hai điều kiện sau:
Mỗi bề mặt của khối đa diện là một đa giác đều có p cạnh.
Mỗi đỉnh đều là đỉnh chung của q bề mặt.
Như vậy chúng ta thu được khối nhiều mặt đều loại {p;q}.
4.2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?
Có 5 khối đa diện đều đã được xác nhận và có tính chất như bảng dưới đây:.
5. Cách phân chia và lắp ghép các khối đa diện
Khi thực hiện phân chia và lắp ghép các khối đa diện, học sinh cần tập trung vào các điểm ngoài và điểm trong của khối đa diện.
Các điểm không thuộc vào khối đa diện được gọi là điểm ngoài, và tập hợp các điểm nằm bên ngoài khối đa diện được gọi là miền ngoài.
Các điểm nằm bên trong khối đa diện nhưng không nằm trên viền bao ngoài được gọi là điểm trong của khối đa diện. Miền trong khối đa diện được tạo thành từ tập hợp các điểm này.
Cho khối đa diện (H) là sự kết hợp của hai khối đa diện (H1) và đa diện (H2) thỏa mãn:.
Nếu (H1) và (H2) không có điểm chung, ta có thể phân chia đa diện (H) thành hai khối đa điện (H1) và (H2).
Có thể kết hợp hai khối (H1) và (H2) để tạo thành khối (H).
Ví dụ 1: Khi chia lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng mặt phẳng (A’BC), chúng ta thu được hai khối đa diện mới là A’ABC và A’BCC’B’.
Ví dụ 2: Khối lập phương có thể được chia thành bao nhiêu khối tứ diện đồng nhất?
Giải:.
Bằng mặt phẳng (BDD’B’), chúng ta chia khối lập phương thành hai khối lăng trụ ABD.A’B’D’ và lăng trụ BCD.B’C’D’.
+ Với khối ABD.A’B’D’, lần lượt dùng các mặt phẳng ( AB’D) và (AB’D’) chia làm ba khối tứ diện bằng nhau.
Tương tự với khối BCD.B’C’D’, nó cũng có thể được chia thành ba khối tứ diện đều như nhau.
Vậy tổng cộng có 6 khối tứ diện cùng kích thước được tạo thành từ một khối lập phương ban đầu.
6. Một số bài tập về các khối đa diện và phương pháp giải
Bài 1: Xem các hình sau, hình nào là hình đa diện?
Giải:.
Hình đa diện là hình học tạo thành bởi hữu hạn các đa giác thỏa mãn đầy đủ hai tính chất sau:.
Hai đa giác bất kỳ có thể không có điểm chung, chỉ có một cạnh chung hoặc chỉ có một đỉnh chung.
Tất cả các cạnh của đa giác đều là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Như thế, hình 2, 3, 4 đều không đáp ứng tính chất số 2. Vì vậy, chúng ta chọn A.
Tính thể tích khối chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác vuông cân và SA tạo thành góc 90 độ với mặt phẳng (ABC), AC =$a\sqrt{2}$ và SA = a.
Giải:.
Bài 3: Tính thể tích của khối A’.ACD’ trong hình hộp đứng có các cạnh AB = 3a, AA’ = 2a, AD = 2a.
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ với các thông số sau: AB = a, AC = 2a và $\widehat{BAC}$ = 120º. Mặt phẳng (A’BC) hợp với đáy tạo thành một góc 60º.
Hãy đăng ký ngay để nhận được sự tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi Toán THPT từ bây giờ.
Bài 5: Xét các hình sau đây, hình nào không phải là hình đa giác?
Giải:.
Sử dụng các thuộc tính của đa diện:
Mỗi mặt đều có cạnh chung với đúng hai mặt khác nhau.
Hai mặt bất kỳ hoặc có 1 cạnh chung, hoặc 1 đỉnh chung, hoặc không có điểm chung nào.
Ta quan sát rằng: Hình 4 không đáp ứng tính chất 2 (hai mặt bất kỳ có 1 điểm chung, nhưng không phải là đỉnh).
Như vậy, hình D không là hình đa diện.
Đa diện là một phần thường xuất hiện khá phổ biến trong kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia. Trong video này, thầy Tài sẽ giải đáp 20 câu hỏi được lấy từ đề thi các năm và đề thi thử. Mời các em cùng theo dõi bài học của thầy nhé!
PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP HỌC TẬP CÁ NHÂN HÓA.
Khóa học trực tuyến đầu tiên và duy nhất:
⭐ Xây dựng kế hoạch học từ cơ bản đến trình độ 27+.
⭐ Lựa chọn giáo viên, lớp học, môn học dựa trên sở thích của bạn.
⭐ Giao tiếp trực tiếp hai chiều với giáo viên.
⭐ Học đến khi nào hiểu bài thì dừng.
⭐️ Rèn kỹ năng và mẹo giúp gia tăng hiệu suất làm bài trong thời gian ngắn.
⭐ Tặng toàn bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học.
Đăng ký thử học miễn phí ngay thôi!!
Dưới đây là tất cả lý thuyết và các bài tập điển hình về khối đa diện. Để nắm vững hơn về khối đa diện và các kiến thức hình học THPT trong chương trình Toán 12, học sinh có thể truy cập vào trang web giáo dục Vuihoc.Vn để tìm hiểu thêm nhiều kiến thức hữu ích.
Bài viết có thể được tham khảo thêm tại đây.
Khối đa diện đều và khối đa diện lồi.
Khái niệm về dung tích của hình đa diện.
Tôi là Nguyễn Văn Sỹ có 15 năm kinh nghiệm trong lĩnh vực thiết kế, thi công đồ nội thất; với niềm đam mê và yêu nghề tôi đã tạo ra những thiết kếtuyệt vời trong phòng khách, phòng bếp, phòng ngủ, sân vườn… Ngoài ra với khả năng nghiên cứu, tìm tòi học hỏi các kiến thức đời sống xã hội và sự kiện, tôi đã đưa ra những kiến thức bổ ích tại website nhaxinhplaza.vn. Hy vọng những kiến thức mà tôi chia sẻ này sẽ giúp ích cho bạn!