1 – Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng $left{ begin{gathered} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + … + {a_{1n}}{x_1} = 0 hfill \ {a_{12}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + … + {a_{2n}}{x_n} = 0 hfill \ … hfill \ {a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + … + {a_{mn}}{x_n} = 0 hfill \ end{gathered} right..$
Với $A = left( {begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{…}&{{a_{1n}}} \ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{…}&{{a_{2n}}} \ {…}&{…}&{…}&{…} \ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{…}&{{a_{mn}}} end{array}} right),X = left( {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \ {{x_2}} \ {…} \ {{x_n}} end{array}} right),O = left( {begin{array}{*{20}{c}} 0 \ 0 \ {…} \ 0 end{array}} right).$
Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng ma trận $AX=O.$
Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng véctơ ${{x}_{1}}A_{1}^{c}+{{x}_{2}}A_{2}^{c}+…+{{x}_{n}}A_{n}^{c}=O.$
Hạng của ma trận hệ số và hạng của ma trận hệ số mở rộng của hệ thuần nhất bằng nhau do đó nó luôn có nghiệm. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có nghiệm ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=…={{x}_{n}}=0,$ nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
2 – Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường (vô số nghiệm)
Hệ phương trình thuần nhất n ẩn số có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn.
Hệ quả 1: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình nhỏ hơn số ẩn luôn có nghiệm không tầm thường (vô số nghiệm)
Hệ quả 2: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0.
Hệ quả 3: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn chỉ có nghiệm tầm thường (nghiệm duy nhất) khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0.
3 – Cấu trúc tập hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Tập $ker (A) = left{ {X = left( {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \ {{x_2}} \ {…} \ {{x_n}} end{array}} right) in {mathbb{R}^n}|AX = O} right}$ là một không gian con của không gian véctơ ${{mathbb{R}}^{n}}$ và được gọi là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất $AX=O$ hay không gian nghiệm của hệ thuần nhất.
Mỗi cơ sở của $ker (A)$ được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất.
Số chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất $dimleft( ker (A) right)=n-r(A).$
Vậy $r(A)=r<n$ thì hệ thuần nhất có vô số nghiệm phụ thuộc $n-r$ tham số.
4 – Mối quan hệ giữa hệ phương trình tuyến tính tổng quát và hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết
Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát $AX=B$ có $n$ ẩn số. Khi đó hệ phương trình $AX=O$ được gọi là hệ thuần nhất liên kết với hệ phương trình tổng quát đã cho.
+) Gọi ${{X}_{0}}$ là một nghiệm riêng của hệ phương trình tuyến tính tổng quát;
+) Gọi $left{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},…,{{P}_{n-r(A)}} right}$ là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất liên kết;
Khi đó nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính tổng quát là $X={{X}_{0}}+{{t}_{1}}{{P}_{1}}+{{t}_{2}}{{P}_{2}}+…+{{t}_{n-r(A)}}{{P}_{n-r(A)}}.$
