2 Cách tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua 3 đỉnh A, B; C của tam giác ABC. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn cách đều 3 đỉnh A, B và C. Khoảng cách từ tâm I của đường tròn tới 3 đỉnh tam giác chính là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Ở lớp 9 các em đã biết cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác chính là giao điểm của 3 đường trung trực của ba cạnh tam giác. Nhưng ta chỉ cần giao của hai đường trung trực là có thể xác định được tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Qua đây chúng ta có hai cách xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau:

• 

Cách 1:

Viết phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kì trong tam giác. Giả sử hai cạnh đó là BC và AC.

Tìm giao điểm của hai đường trung trực này, đó chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Cách 2:

Gọi I(x;y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có: IA=IB=IC =R

Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ phương trình: $left{begin{array}{ll}IA^2=IB^2\IA^2=IC^2end{array}right.$

Xem thêm bài giảng:

• Lý thuyết phương trình tham số của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy
• Viết phương trình các cạnh của tam giác biết hai đường trung tuyến
• Viết phương trình đường trung bình của tam giác
• 2 cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng

Bài tập rèn luyên:

Bài 1: Cho tam giác ABC với $A(1;2); B(-1;0); C(3;2)$. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Cách 1:

Gọi d1 và d2 là hai đường trung trực của hai cạnh BC và AC của tam giác ABC. Như vậy $d_1bot BC$ và $d_2 bot AC$

Gọi M và N lầ lượt là trung điểm của BC và AC => $M(1;1); N(2;2)$

Vì d1 vuông góc với BC nên d1 nhận vectơ $vec{BC}=(4;2)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm M.

Phương trình đường thẳng d1 là: $4(x-1)+2(y-1)=0$ <=> $2x+y-3=0$

Vì d2 vuông góc với AC nên d2 nhận vectơ $vec{AC}=(2;0)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm N.

Phương trình đường thẳng d2 là: $2(x-2)+0(y-2)=0$ <=> $x-2=0$

Gọi $I(x;y)$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, khi đó I là giao điểm của d1 và d2, là nghiệm của hệ phương trình:

$left{begin{array}{ll}2x+y-3=0\x-2=0end{array}right.$<=>$left{begin{array}{ll}x=2\y=-1end{array}right.$

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $I(2;-1)$

Cách 2:

Gọi $I(x;y)$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

$vec{IA}=(1-x;2-y)$=>$IA=sqrt{(1-x)^2+(2-y)^2}$

$vec{IB}=(-1-x;-y)$=>$IB=sqrt{(1-x)^2+y^2}$

$vec{IC}=(3-x;2-y)$=>$IC=sqrt{(3-x)^2+(2-y)^2}$

Vì I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có: $IA=IB=IC$

<=>$left{begin{array}{ll}IA^2=IB^2\IA^2=IC^2end{array}right.$

<=>$left{begin{array}{ll}(1-x)^2+(2-y)^2=(-1-x)^2+y^2 \ (1-x)^2+(2-y)^2=(3-x)^2+(2-y)^2 end{array}right.$<=>$left{begin{array}{ll}x+y=1\x=2end{array}right.$<=>$left{begin{array}{ll}x=2\y=-1end{array}right.$

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $I(2;-1)$

Qua hai cách xác định tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta thấy tọa độ tâm I đều cho ta 1 kết quả phải không? May quá…lại đúng.

Nếu các bạn có thêm cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nào hay hơn nữa thì hãy comment ngay dưới bài giảng này nhé.

Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Hãy xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:a. Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(5 ;4) B(2 ;7) và C(-2 ;-1) .

b. Trong mpOxy cho 3 điểm A(-2;-2); B(5 ;-4) và C(1;2)