1. Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác sinx và cosx

Phương trình bậc nhất với một số hàm số lượng giác có dạng phương trình như sau:

at+b=0

Trong đó: a,b: hằng số (a≠0)

t: một trong các hàm số lượng giác

Phương trình lượng giác dạng asinx+bcosx=c, trong đó có a,b,c cùng thuộc R, $a^{2}+b^{2}neq 0$ là phương trình bậc nhất với sin⁡x và cos⁡x.

Ta xét:

+ Nếu $a^{2}+b^{2}< c^{2}$ thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu $a^{2}+b^{2}geqslant c^{2}$, để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp các bước sau.

Với phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác sinx và cosx, ta xét phương trình asinx+bcosx=c

Lúc này:

+ Ta chia 2 vế của phương trình cho $sqrt{a^{2}+b^{2}}$

+ Gọi $alpha$ là góc lượng giác được tạo ra bởi chiều dương của trục hoành với vectơ $vec{OM}=(a,b)$, phương trình trở thành:

$sin(x+alpha )=frac{c}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ (1)

Điều kiện phương trình có nghiệm:

$left | frac{c}{sqrt{a^{2}+b^{2}}} right |leqslant 1 Rightarrow left | c right |leqslant sqrt{a^{2}+b^{2}} Rightarrow c^{2}leqslant a^{2}+b^{2}$

Suy ra được điều kiện để phương trình asinx +bcosx = c có nghiệm

Công thức đặc biệt:

• sin⁡x+cos⁡x=0

⇔x= -π4+kπ (k∈Z).

• sin⁡x-cos⁡x=0

⇔x=π4+kπ

Ví dụ: Hãy giải phương trình sau: (1+$sqrt{3}$)sinx + (1-$sqrt{3}$)cosx=2

Giải:

2. Phương trình bậc hai một số hàm lượng giác

Dạng 1: $asin^{2}x+bsinx+c$ (a≠0;a,b,c∈R)

Phương pháp giải:

Đặt:

• t=sin⁡x, với điều kiện |t|≤1, sau đó đưa phương trình $asin^{2}x+bsinx+c$ về phương trình bậc hai theo t.
• Giải phương trình tìm ra t, chú ý kết hợp điều kiện của t rồi tìm x.

Dạng 2: $acos^{2}x+bcosx+c$, (a≠0; a,b,c∈R).

Phương pháp giải: Đặt t=cos⁡x, điều kiện |t|≤1

• Đưa phương trình $acos^{2}x+bcosx+c$ về phương trình bậc hai theo t.
• Giải phương trình ra tìm t, chú ý kết hợp điều kiện của t rồi tìm x.

Dạng 3: $atan^{2}x+btanx+c$ (a≠0; a,b,c∈R).

Phương pháp giải: Điều kiện cos⁡x≠0

⇔x≠π2+kπ (k∈Z).

• Đặt t=tan⁡x (t∈R), đưa phương trình $atan^{2}x+btanx+c$ về phương trình bậc hai theo t. Chú ý rằng khi tìm được nghiệm x cần thử lại vào điều kiện xem có thoả mãn hay không.

Dạng 4: $acot^{2}x+bcotx+c$ (a≠0; a,b,c∈R).

Phương pháp giải: Điều kiện sin⁡x≠0 ⇔x≠kπ (k∈Z).

• Đặt t=cot⁡x (t∈R), ta đưa phương trình $acot^{2}x+bcotx+c$ về phương trình bậc hai theo ẩn t

• Giải ra t rồi tìm x, chú ý khi tìm được nghiệm cần thử lại vào điều kiện xem có thoả mãn hay không.

Ví dụ: Hãy giải phương trình $2cos^{2}x-3cosx+1$

Giải:

3. Phương trình lượng giác thuần bậc hai đối với sinx và cosx

Phương trình thuần nhất bậc hai với sin⁡x và cos⁡x là phương trình có dạng: $asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=d$, trong đó có: a,b,c,d cùng thuộc R.

Phương pháp giải:

Ta chia từng vế của phương trình cho một trong ba $sin^{2}x$, $cos^{2}x$ hoặc sin⁡x.cos⁡x. Ví dụ nếu ta chia cho $cos^{2}x$ ta làm theo các bước sau:

• Cho: cos⁡x=0 ⇔x=2 + kπ (k∈Z) xem nó có phải là nghiệm của phương trình $asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=d$ không?

• Với cos⁡x≠0, chia cả hai vế cho $cos^{2}x$, lúc này phương trình $asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=d$ trở thành: $atan^{2}x+btanx+c=d(1+tan2x)$

⇔ $(a-d)tan^{2}x+btanx+c-d=0$.

Ta xét thấy, phương trình có dạng bậc hai theo tan.

Ví dụ: Hãy giải phương trình $2sqrt{3}cos^{2}x+6sinxcosx=3+sqrt{3}$

4. Phương trình đối xứng với sinx và cosx

Phương trình đối xứng với sin⁡x và cos⁡x là phương trình dạng a(sin⁡x+cos⁡x)+bsin⁡xcos⁡x+c=0, với a,b,c thuộc R.

Phương pháp giải:

Do: $(sinx+cosx)^{2}$

= 1+2sin⁡x.cos⁡x nên ta đặt:

t=sin⁡x+cos⁡x= $sqrt{2}sin(x+frac{pi }{4}) = 2cosz(frac{pi }{4}-x)$

Điều kiện |t|≤2.

Nên sin⁡x.cos⁡x = $frac{t^{2}-1}{2}$ và phương trình a(sin⁡x+cos⁡x)+bsin⁡xcos⁡x+c=0 được viết lại là $bt^{2}+2at-(b+2c)=0$

Ví dụ: Giải pt sin⁡x+cos⁡x-2sin⁡x.cos⁡x+1=0

Giải:

5. Phương trình lượng giác dạng thuận nghịch

Ta có dạng phương trình thuận nghịch là:

$A(f^{2}(x)+frac{k^{2}}{f^{2}(x)})+B(f(x)+frac{k}{f(x)})+C=0$ (1)

Hoặc $A(a^{2}tan^{2}x+b^{2}cot^{2}x)+B(atanx+bcotx)+C=0$ (2)

Giải:

• Đối với (1): Đặt t=f(x) + $frac{k}{f(x)}$

• Đối với (2): Đặt t=a tanx + b cotx

Ví dụ: Giải phương trình $frac{3}{cos^{2}x}+3cot^{2}x+4(tanx+cotx)-1=0$

Giải:

6. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx là phương trình có dạng:

$asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=d$

Trong đó: x là một ẩn số

a,b,c,d là hệ số

Giải:

• Trường hợp 1: a=d

Lúc này phương trình có dạng:

$asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=a$

$Leftrightarrow asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}=asin^{2}x+acos^{2}x$

$Leftrightarrow bsinx.cosx+(c-a)cos^{2}x=0$

$Leftrightarrow cosxleft [ bsinx+(c-a)cosx right ]=0$

$Leftrightarrow cosx=0$ hoặc $[ bsinx+(c-a)cosx right ]=0$

Trường hợp 2: $aneq d$

$Leftrightarrow asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=dsin^{2}x+dcos^{2}x$

$Leftrightarrow (a-d)sin^{2}x+bsinxcosx+(c-d)cos^{2}x=0$

Có thể thấy cosx=0 không phải là nghiệm phương trình, ta chia cả 2 vế cho cos^{2}x ta được:

$(a-d)tan^{2}x+btanx+c-d=0$

Ví dụ: Giải phương trình: $6sin^{2}x+14sinxcosx-4(1+cos2x)=6$

Giải:

PT $Leftrightarrow 3(1-cos2x)+7 sin2x-4(1+cos2x)=6$ $Leftrightarrow 7sin2x-7cos2x=7$ $Leftrightarrow sin2x-cos2x=1$ $Leftrightarrow sin(2x-frac{pi }{4})=frac{1}{sqrt{2}}$ $Leftrightarrow x=frac{pi }{4}+kpi$ hoặc $x=frac{pi }{2}+kpi$

Bài viết trên đã tổng hợp lý thuyết cũng như các dạng toán về phương trình lượng giác thường gặp. Hy vọng rằng các em sẽ tiếp thu bài học dễ dàng hơn và giải bài tập thật thành thạo. Truy cập ngay nền tảng học online Vuihoc.vn để để ôn tập nhiều hơn về các dạng toán khác nhé! Chúc các bạn ôn tập hiệu quả.

>> Xem thêm:

• Livestream bài giảng: “Xử gọn” từng dạng phương trình lượng giác từ cơ bản đến nâng cao

• Livestream bài giảng: Chinh phục phương trình lượng giác cơ bản