Rất Hay: Khái niệm về ánh xạ tuyến tính

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-13S

1. Định nghĩa:

Cho V và V’ là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Ánh xạ $f: V to W$ gọi là 1 ánh xạ tuyến tính (linear transformations) hay đồng cấu tuyến tính (homomorphism) nếu f thỏa mãn hai tính chất sau đây:

(L1): $f(x+y) = f(x) + f(y), forall x,y in V$ (tính bảo toàn phép cộng)

(L2) $f({lambda}x = {lambda}f(x) , forall x in V, forall {lambda} in K$ (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng)

Một ánh xạ tuyến tính đi từ V vào chính nó còn gọi là phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V.

– Nhận xét: Từ hai điều kiện trên, dễ dàng nhận thấy rằng:

$f: V to W$ là ánh xạ tuyến tính $Leftrightarrow f({alpha}x+{beta}y)={alpha}f(x)+{beta}f(y) , forall x,y in V , forall alpha , beta in K$

2. Tính chất:

Cho $f: V to W$ là ánh xạ tuyến tính, V, W là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Khi đó:

1. $f(0_V) = 0_W$

2. $forall x in V, f(-x) =-f(x)$

Chứng minh:

1. Ta có: $0_V = 0_V + 0_V Rightarrow f(0_V) =f(0_V+0_V) = f(0_V) +f(0_V)$

Suy ra: $f(0_V) -f(0_V) = f(0_V)$ (*)

Mặt khác: $f(0_V) - f(0_V) = 0_W$ (**)

Do đó, từ (*), (**) ta có: $f(0_V) = 0_W$

2. Ta có: $0_W = f(0_V) = f(x +(-x)) = f(x) + f(-x)$

3. Các ví dụ:

3.1: Ánh xạ hằng giá trị không: $O: V to W , x mapsto O(x) = 0_W$ là một ánh xạ tuyến tính và gọi là ánh xạ không.

3.2: Ánh xạ đồng nhất $id_V: V to V , x mapsto id_V(x) = x$ , là một phép biến đổi tuyến tính trên V và gọi là phép biến đổi đồng nhất (hay toán tử đồng nhất) trên V.

3.3 Phép lấy đạo hàm $R[x] to R[x], p(x) mapsto p'(x)$ là một phép biến đổi tuyến tính trên không gian R[x] các đa thức thực một biến x.

3.4 Phép lấy tích phân xác định:

$begin{array}{ccc} C[a,b] & longrightarrow & R \ f(x) & mapsto & intlimits_{a}^{b} f(x) , dx \ end{array}$

là một ánh xạ tuyến tính từ không gian C[a,b] các hàm số thực liên tục trên [a,b] đến không gian R.

3.5: Cho điểm $(x,y) in R^2$ . Phép lấy đối xứng qua trục Oy là một phép biến đổi tuyến tính. Nghĩa là: $R: R^2 to R^2 , (x,y) mapsto (-x,y)$ là một phép biến đổi tuyến tính.

Xem thêm: Cách Ướp Gà Nướng Sa Tế Thơm Lừng Siêu Ngon - A TUẤN KHANG

4. Tính chất:

4.1 Ánh xạ tích $gf: V to V''$ của 2 ánh xạ tuyến tính $f: V to V'$ và $g: V' to V''$ lại là 1 ánh xạ tuyến tính.

4.2 Qua một ánh xạ tuyến tính, một hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính lại biến thành 1 hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính.

Nghĩa là: $f: V to W$ là 1 ánh xạ tuyến tính và ${x_1,x_2, ... , x_n }$ là 1 hệ n vec-tơ phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ ${f(x_1),f(x_2), ... , f(x_n) }$ cũng là hệ phụ thuộc tuyến tính trong W.

Ngược lại, nếu hệ ${f(x_1),f(x_2), ... ,f(x_n) }$ là hệ độc lập tuyến tính trong W thì hệ ${x_1,x_2, ... , x_n }$ độc lập tuyến tính trong V.

Chứng minh: Do $x_1, x_2, ... , x_n$ phụ thuộc tuyến tính nên: tồn tại ít nhất một ${lambda}_i ne 0$ sao cho:

${lambda}_1x_1 + {lambda}_2x_2 + ... + {lambda}_nx_n = 0_V$

Suy ra: $f({lambda}_1x_1+{lambda}_2x_2+ ... +{lambda}_nx_n = f(0_V) = 0_W$

Hay: ${lambda}_1f(x_1)+{lambda}_2f(x_2)+ ... +{lambda}_nf(x_n) = 0_W$ (*)

Vậy tồn tại ít nhất một ${lambda}_i ne 0$ sao cho (*) xảy ra nên hệ ${f(x_1),f(x_2),...,f(x_n) }$ phụ thuộc tuyến tính.

Chú ý: Ánh xạ tuyến tính có thể biến 1 hệ độc lập tuyến tính thành một hệ phụ thuộc tuyến tính.

5.Định lý cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính:

5.1 Ví dụ mở đầu:

Cho $L: R^2 to R^4$ là một ánh xạ tuyến tính với:

L(1,1) = (-1,1,2,3)

L(-1,1)=(2,0,2,3)

Tìm f(5,3)? Tổng quát, hãy xác định công thức f(x,y)?

Giải: Ta biểu thị tuyến tính vec-tơ (5,3) theo hai vec-tơ (1,1) và (-1,1).

Ta có: (5, 3) = 4(1, 1) – 1.(-1, 1)

Khi đó, do L là ánh xạ tuyến tính nên: L(5, 3) = L(4.(1, 1) – 1.(-1, 1)) = 4L(1, 1) – L(-1,1)

Vậy: L(5, 3) = 4.(-1, 1, 2, 3) – (2, 0, 2, 3) = (-6, 4, 6, 9)

Tương tự: $(x,y) = dfrac{x+y}{2} (1, 1) + dfrac{-x+y}{2}(-1,1)$

Từ đó, dễ dàng tìm được công thức của L(x,y).

Xem thêm: Tìm hiểu ăn chay đúng cách theo đạo chúa

Nhận xét: ta chỉ có thể biểu thị tuyến tính mọi vec-tơ (x,y) theo 2 vec-tơ (1, 1) và (-1, 1) nếu hệ {(1, 1) , (-1, 1)} là cơ sở của $R^2$

5.2 Định lý:

Cho một cơ sở $B =(e_1, e_2, ... , e_n) (n ge 1)$ của không gian vec-tơ n chiều V và $w_1, w_2, ... , w_n$ là n vec-tơ tùy ý của không gian vec-tơ W. Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính $f: V to W$ sao cho $f(e_i) = w_i ; i = overline{1;n}$

Ta bảo: ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định bởi ảnh của một cơ sở.

Chứng minh:

– Sự tồn tại: Giả sử x là 1 vec-tơ bất kỳ của V. Khi đó:

$x = x_1e_1 + x_2e_2 + x_ne_n$

Ta đặt: $f(x) = x_1w_1+x_2w_2 + ... + x_n w_n$

Vậy: f là 1 ánh xạ đi từ V vào W và hiển nhiên $f(e_i) = w_i$

Ta cần chứng minh: f là ánh xạ tuyến tính.

Thật vậy vơi mọi vec-tơ x, y thuộc V. Ta có: $x = sumlimits_{i=1}^n x_ie_i ; y = sumlimits_{i=1}^n y_ie_i$ .

Ta cần chứng minh: $f({lambda}x +{mu}y) = {lambda}f(x)+{mu}f(y)$

Thật vậy, ta có:

${lambda}x + {mu}y = sumlimits_{i=1}^n ({lambda}x_i + {mu}y_i)e_i$

Do đó:

$f({lambda}x+{mu}y) = sumlimits_{i=1}^n ({lambda}x_i+{mu}y_i)v_i) = {lambda} sumlimits_{i=1}^nx_iv_i + {mu} sumlimits_{i=1}^n y_iv_i = {lambda}f(x) + {mu}f(y)$

Vậy f là ánh xạ tuyến tinh.

– Sự duy nhất:

Giả sử còn tồn tại ánh xạ tuyến tính $g: V to W$ mà $g(e_i) = v_i ; i = overline{1,n}$

Khi đó: với mọi $x = sumlimits_{i=1}^n x_ie_i in V$ ta có:

$g(x) = gleft(sumlimits_{i=1}^n x_ie_i right) = sumlimits_{i=1}^n x_ig(e_i) = sumlimits_{i=1}^n x_iv_i = f(x)$

Vậy f = g, hay f duy nhất.◊

5.3 Các ví dụ:

5.3.1 Trong $R^3$ xét cơ sở chính tắc $C(3) = {e_1=(1,0,0); e_2=(0,1,0) ; e_3 = (0,0,1)$ và trong $R^2$ cho 3 vec-tơ v1= (1, 1) ; v2 = (2, 3) ; v3 = (4, 5). Hãy xác định ánh xạ tuyến tính $f: R^3 to R^2$ sao cho: $f(e_i) = v_i ; i = 1, 2, 3$

5.3.2 Trong không gian $R^3$ cho hai hệ vec-tơ:

$u_1 = (1, 2, 3) , u_2 = (2, 3, 1) , u_3 = (3, 1, 2)$

$v_1 = (1, 1, 0) , v_2 = (0, 1, 1) , v_3 = (1, 3, 2)$

Hỏi có tồn tại duy nhất hay không toán tử tuyến tính f (g) trên $R^3$ sao cho $f(u_i) = v_i ; i =1, 2, 3$ ( $g(v_i) = u_i ; i = 1, 2, 3$ ). Nếu có, hãy xác định f (g)?

6. Nhân (Kernel) và ảnh (Image) của ánh xạ tuyến tính:

6.1 Định nghĩa:

Cho $f: V to W$ là ánh xạ tuyến tính.

Xem thêm: Khoa học viễn tưởng là gì? Định nghĩa, đặc điểm, và ví dụ - Sách Bookism

Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp:

$ker(f) = {v in V: f(v) = 0_W }$

Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp:

$Im(f)= {w in W| exists v in V: f(v) = w }$

Số chiều của Imf và kerf tương ứng gọi là hạng và số khuyết của f, ký hiệu lần lượt là rank(f) và def(f). (nghĩa la dim(imf) ≡ rank(f); dim(kerf) ≡ def(f) )

6.2 Ví dụ: Cho phép biến đổi tuyến tính:

$begin{array}{rcl} R^3 & longrightarrow & R^3 \ (x, y, z) & mapsto & (x-y-z, x+y+z, z) \ end{array}$

Xác định kerf và imf?

Nguyễn Văn Sỹ

Tôi là Nguyễn Văn Sỹ có 15 năm kinh nghiệm trong lĩnh vực thiết kế, thi công đồ nội thất; với niềm đam mê và yêu nghề tôi đã tạo ra những thiết kếtuyệt vời trong phòng khách, phòng bếp, phòng ngủ, sân vườn… Ngoài ra với khả năng nghiên cứu, tìm tòi học hỏi các kiến thức đời sống xã hội và sự kiện, tôi đã đưa ra những kiến thức bổ ích tại website nhaxinhplaza.vn. Hy vọng những kiến thức mà tôi chia sẻ này sẽ giúp ích cho bạn!

Categories

Khái niệm về ánh xạ tuyến tính | Maths 4 Physics & more