Rất Hay: Khái niệm về ánh xạ tuyến tính

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-13S

1. Định nghĩa:

Cho V và V’ là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Ánh xạ $f: V to W$ gọi là 1 ánh xạ tuyến tính (linear transformations) hay đồng cấu tuyến tính (homomorphism) nếu f thỏa mãn hai tính chất sau đây:

(L1): $f(x+y) = f(x) + f(y), forall x,y in V$ (tính bảo toàn phép cộng)

(L2) $f({lambda}x = {lambda}f(x) , forall x in V, forall {lambda} in K$ (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng)

Một ánh xạ tuyến tính đi từ V vào chính nó còn gọi là phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V.

– Nhận xét: Từ hai điều kiện trên, dễ dàng nhận thấy rằng:

$f: V to W$ là ánh xạ tuyến tính $Leftrightarrow f({alpha}x+{beta}y)={alpha}f(x)+{beta}f(y) , forall x,y in V , forall alpha , beta in K$

2. Tính chất:

Cho $f: V to W$ là ánh xạ tuyến tính, V, W là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Khi đó:

1. $f(0_V) = 0_W$

2. $forall x in V, f(-x) =-f(x)$

Chứng minh:

1. Ta có: $0_V = 0_V + 0_V Rightarrow f(0_V) =f(0_V+0_V) = f(0_V) +f(0_V)$

Suy ra: $f(0_V) -f(0_V) = f(0_V)$ (*)

Mặt khác: $f(0_V) - f(0_V) = 0_W$ (**)

Do đó, từ (*), (**) ta có: $f(0_V) = 0_W$

2. Ta có: $0_W = f(0_V) = f(x +(-x)) = f(x) + f(-x)$

3. Các ví dụ:

3.1: Ánh xạ hằng giá trị không: $O: V to W , x mapsto O(x) = 0_W$ là một ánh xạ tuyến tính và gọi là ánh xạ không.

3.2: Ánh xạ đồng nhất $id_V: V to V , x mapsto id_V(x) = x$ , là một phép biến đổi tuyến tính trên V và gọi là phép biến đổi đồng nhất (hay toán tử đồng nhất) trên V.

3.3 Phép lấy đạo hàm $R[x] to R[x], p(x) mapsto p'(x)$ là một phép biến đổi tuyến tính trên không gian R[x] các đa thức thực một biến x.

3.4 Phép lấy tích phân xác định:

$begin{array}{ccc} C[a,b] & longrightarrow & R \ f(x) & mapsto & intlimits_{a}^{b} f(x) , dx \ end{array}$

là một ánh xạ tuyến tính từ không gian C[a,b] các hàm số thực liên tục trên [a,b] đến không gian R.

3.5: Cho điểm $(x,y) in R^2$ . Phép lấy đối xứng qua trục Oy là một phép biến đổi tuyến tính. Nghĩa là: $R: R^2 to R^2 , (x,y) mapsto (-x,y)$ là một phép biến đổi tuyến tính.

4. Tính chất:

4.1 Ánh xạ tích $gf: V to V''$ của 2 ánh xạ tuyến tính $f: V to V'$ và $g: V' to V''$ lại là 1 ánh xạ tuyến tính.

4.2 Qua một ánh xạ tuyến tính, một hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính lại biến thành 1 hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính.

Nghĩa là: $f: V to W$ là 1 ánh xạ tuyến tính và ${x_1,x_2, ... , x_n }$ là 1 hệ n vec-tơ phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ ${f(x_1),f(x_2), ... , f(x_n) }$ cũng là hệ phụ thuộc tuyến tính trong W.

Ngược lại, nếu hệ ${f(x_1),f(x_2), ... ,f(x_n) }$ là hệ độc lập tuyến tính trong W thì hệ ${x_1,x_2, ... , x_n }$ độc lập tuyến tính trong V.

Chứng minh: Do $x_1, x_2, ... , x_n$ phụ thuộc tuyến tính nên: tồn tại ít nhất một ${lambda}_i ne 0$ sao cho:

${lambda}_1x_1 + {lambda}_2x_2 + ... + {lambda}_nx_n = 0_V$

Suy ra: $f({lambda}_1x_1+{lambda}_2x_2+ ... +{lambda}_nx_n = f(0_V) = 0_W$

Hay: ${lambda}_1f(x_1)+{lambda}_2f(x_2)+ ... +{lambda}_nf(x_n) = 0_W$ (*)

Vậy tồn tại ít nhất một ${lambda}_i ne 0$ sao cho (*) xảy ra nên hệ ${f(x_1),f(x_2),...,f(x_n) }$ phụ thuộc tuyến tính.

Chú ý: Ánh xạ tuyến tính có thể biến 1 hệ độc lập tuyến tính thành một hệ phụ thuộc tuyến tính.

5.Định lý cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính:

5.1 Ví dụ mở đầu:

Cho $L: R^2 to R^4$ là một ánh xạ tuyến tính với:

L(1,1) = (-1,1,2,3)

L(-1,1)=(2,0,2,3)

Tìm f(5,3)? Tổng quát, hãy xác định công thức f(x,y)?

Giải: Ta biểu thị tuyến tính vec-tơ (5,3) theo hai vec-tơ (1,1) và (-1,1).

Ta có: (5, 3) = 4(1, 1) – 1.(-1, 1)

Khi đó, do L là ánh xạ tuyến tính nên: L(5, 3) = L(4.(1, 1) – 1.(-1, 1)) = 4L(1, 1) – L(-1,1)

Vậy: L(5, 3) = 4.(-1, 1, 2, 3) – (2, 0, 2, 3) = (-6, 4, 6, 9)

Tương tự: $(x,y) = dfrac{x+y}{2} (1, 1) + dfrac{-x+y}{2}(-1,1)$

Từ đó, dễ dàng tìm được công thức của L(x,y).

Nhận xét: ta chỉ có thể biểu thị tuyến tính mọi vec-tơ (x,y) theo 2 vec-tơ (1, 1) và (-1, 1) nếu hệ {(1, 1) , (-1, 1)} là cơ sở của $R^2$

5.2 Định lý:

Cho một cơ sở $B =(e_1, e_2, ... , e_n) (n ge 1)$ của không gian vec-tơ n chiều V và $w_1, w_2, ... , w_n$ là n vec-tơ tùy ý của không gian vec-tơ W. Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính $f: V to W$ sao cho $f(e_i) = w_i ; i = overline{1;n}$

Ta bảo: ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định bởi ảnh của một cơ sở.

Chứng minh:

– Sự tồn tại: Giả sử x là 1 vec-tơ bất kỳ của V. Khi đó:

$x = x_1e_1 + x_2e_2 + x_ne_n$

Ta đặt: $f(x) = x_1w_1+x_2w_2 + ... + x_n w_n$

Vậy: f là 1 ánh xạ đi từ V vào W và hiển nhiên $f(e_i) = w_i$

Ta cần chứng minh: f là ánh xạ tuyến tính.

Thật vậy vơi mọi vec-tơ x, y thuộc V. Ta có: $x = sumlimits_{i=1}^n x_ie_i ; y = sumlimits_{i=1}^n y_ie_i$ .

Ta cần chứng minh: $f({lambda}x +{mu}y) = {lambda}f(x)+{mu}f(y)$

Thật vậy, ta có:

${lambda}x + {mu}y = sumlimits_{i=1}^n ({lambda}x_i + {mu}y_i)e_i$

Do đó:

$f({lambda}x+{mu}y) = sumlimits_{i=1}^n ({lambda}x_i+{mu}y_i)v_i) = {lambda} sumlimits_{i=1}^nx_iv_i + {mu} sumlimits_{i=1}^n y_iv_i = {lambda}f(x) + {mu}f(y)$

Vậy f là ánh xạ tuyến tinh.

– Sự duy nhất:

Giả sử còn tồn tại ánh xạ tuyến tính $g: V to W$ mà $g(e_i) = v_i ; i = overline{1,n}$

Khi đó: với mọi $x = sumlimits_{i=1}^n x_ie_i in V$ ta có:

$g(x) = gleft(sumlimits_{i=1}^n x_ie_i right) = sumlimits_{i=1}^n x_ig(e_i) = sumlimits_{i=1}^n x_iv_i = f(x)$

Vậy f = g, hay f duy nhất.◊

5.3 Các ví dụ:

5.3.1 Trong $R^3$ xét cơ sở chính tắc $C(3) = {e_1=(1,0,0); e_2=(0,1,0) ; e_3 = (0,0,1)$ và trong $R^2$ cho 3 vec-tơ v1= (1, 1) ; v2 = (2, 3) ; v3 = (4, 5). Hãy xác định ánh xạ tuyến tính $f: R^3 to R^2$ sao cho: $f(e_i) = v_i ; i = 1, 2, 3$

5.3.2 Trong không gian $R^3$ cho hai hệ vec-tơ:

$u_1 = (1, 2, 3) , u_2 = (2, 3, 1) , u_3 = (3, 1, 2)$

$v_1 = (1, 1, 0) , v_2 = (0, 1, 1) , v_3 = (1, 3, 2)$

Hỏi có tồn tại duy nhất hay không toán tử tuyến tính f (g) trên $R^3$ sao cho $f(u_i) = v_i ; i =1, 2, 3$ ( $g(v_i) = u_i ; i = 1, 2, 3$ ). Nếu có, hãy xác định f (g)?

6. Nhân (Kernel) và ảnh (Image) của ánh xạ tuyến tính:

6.1 Định nghĩa:

Cho $f: V to W$ là ánh xạ tuyến tính.

Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp:

$ker(f) = {v in V: f(v) = 0_W }$

Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp:

$Im(f)= {w in W| exists v in V: f(v) = w }$

Số chiều của Imf và kerf tương ứng gọi là hạng và số khuyết của f, ký hiệu lần lượt là rank(f) và def(f). (nghĩa la dim(imf) ≡ rank(f); dim(kerf) ≡ def(f) )

6.2 Ví dụ: Cho phép biến đổi tuyến tính:

$begin{array}{rcl} R^3 & longrightarrow & R^3 \ (x, y, z) & mapsto & (x-y-z, x+y+z, z) \ end{array}$