Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Nói tới toán hình 11 là nói đến những bài chứng minh, một trong những dạng toán thường gặp là chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Để học tốt, bạn cần phải nhớ chính xác lý thuyết, phương pháp giải, vận dụng thành thạo.

A. Lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1. Mối quan hệ giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (β)

• Khi nói Δ vuông góc với mặt phẳng (β) => Δ sẽ vuông góc với bất cứ đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (β)
• Kí hiệu đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (β): Δ (β)

2. Điều kiện

Nếu trong mặt phẳng (β) có hai đường thẳng Δ1, Δ2 cắt nhau và một đường thẳng Δ đồng thời vuông góc với Δ1, Δ2 thì Δ (β)

3. Tính chất

• Tồn tại chỉ 1 mp (β) đi qua 1 điểm A cho trước và vuông góc với đường thẳng Δ cho trước.
• Tồn tại chỉ 1 đường thẳng Δ đi qua 1 điểm A cho trước và vuông góc với mp (β) cho trước.

B. Phương pháp chứng minh

Dựa lý thuyết trên, ta suy ra cách chứng minh: Δ (β)

Cách 1: Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khi chỉ khi đường thẳng ấy vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mặt phẳng.

Cách 2: Hai đường thẳng song song đường này vuông góc với mặt phẳng thì đường kia cũng vuông góc mặt phẳng.

Cách 3: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì vuông góc với mặt còn lại.

Cách 4: Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

Cách 5: Hai mặt phẳng vuông góc, một đường nằm trong mặt này vuông với giao tuyến thì vuông với mặt kia.

Tùy theo yêu cầu bài toán mà ta nên sử dụng 1 trong 5 cách trên

C. Bài tập có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Một hình chóp tứ giác có đỉnh S, đáy là hình chữ nhật ABCD, biết rằng SA ⊥ (ABCD). Gọi E là 1 điểm thuộc SB; F là 1 điểm thuộc SD sao cho AE ⊥ SB và AF ⊥ SD. Hãy chứng minh SC ⊥ (AEF).

Hướng dẫn giải

Vì đáy là hình chữ nhật nên

• AB ⊥ BC (*)
• SA ⊥ BC (**)

Từ (*) và (**) => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AE

Tương tự: AF ⊥ SC (2)

Từ (1) và (2): SC ⊥ (AEF) (ĐPCM)

Bài tập 2. Cho một hình chóp đỉnh S, đáy là hình thoi ABCD có tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Hãy chứng minh SO ⊥ (ABCD).

Hướng dẫn giải

Theo đề:

• SA = SC => ΔSAC cân tại S ⇒ SO ⊥ AC (1)
• SB = SD => ΔSAB cân tại S ⇒SO ⊥ BD (2)
• Mà BD lại cắt AC tại O (3)

Theo (1), (2) và (3) ta thấy SO vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (ABCD) => SO⊥(ABCD) .

Bài tập 3. Một tứ diện có đỉnh S và đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết rằng SA ⊥ AB và SA ⊥ AC. Hãy chứng minh BC ⊥ (SAB)

Hướng dẫn giải

Vì SA vuông góc đồng thời với hai AC và AB (1)

Ta thấy AB và AC thuộc mp (ABC), cắt nhau tại A (2)

Từ (1) và (2) => SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC (3)

Theo đề, đáy ABC là tam giác vuông tại B => BC ⊥ AB (4)

Mà SA và AB thuộc mặt phẳng (SAB) (5)

Từ (3); (4) và (5) => BC vuông góc với mặt phẳng (SAB)

Với lý thuyết cô động, bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có lời giải chi tiết đã giúp bạn hiểu rõ dạng toán này. Bài viết cũng tương đối dài nên Toanhoc.org tạm dừng tại đây, nếu có thắc mắc gì vui lòng để lại bình luận bên dưới để chúng ta cùng nhau trao đổi