Bài toán nguyên hàm là những dạng toán khó hay gặp trong các bài kiểm tra hay bài thi toán lớp 12. Dưới đây là một số phương pháp để giải dạng toán này và một số ví dụ minh họa, mời các bạn đọc cùng theo dõi.

1. Nguyên hàm là gì?

1.1. Định nghĩa:

Cho hàm số f (x ) xác định trên K . Hàm số F (x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x ) trên K nếu F’ (x ) = f (x ) với mọi x thuộc K.

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của R.

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x ) ký hiệu là ∫ f (x ) = F (x )+ C .

Chú ý: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

1.2. Định lý:

Định lý 1:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

Chứng minh: Vì F(x) là nguyên hàm của f(x) trên K nên (F(x))’ = f(x). Vì C là hằng số nên (C)’ = 0.

Ta có: (G(x))’ = (F(x) + C)’ = (F(x))’ + (C)’ = f(x) + 0 = f(x)

Vậy G(x) là một nguyên hàm của f(x).

Định lý 2:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Chứng minh: Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K, tức là G'(x) = f(x), x ∈ K. Khi đó:

(G(x) – F(x))’ = G'(x) – F'(x) = f(x) – f(x) = 0, x ∈ K.

Vậy G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K. Ta có:

G(x) – F(x) = C ⇒ G(x) = F(x) + C, x ∈ K.

2. Tính chất:

∫ f(x) dx)’ = f(x) + C

Tính chất này được suy trực tiếp ra từ định nghĩa về nguyên hàm. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

∫ k f(x) dx=k∫ f(x) dx (với k ≠ 0)

Ta có kf(x) = F(x).

Vì k ≠ 0 nên f(x) = 1/k . F'(x) = [1/k . F(x)].

Chứng minh theo tính chất 1, ta có:

(k ∫f(x) dx) = k(∫ [1/k . F(x)]’. dx) = k. { [1/k.F(x)] + C) = F(x) + k.C1 (C1 ∈ R)

=F(x) + C ( vì C1 tùy ý thuộc R và k≠ 0 nên C = k. C1 tùy ý thuộc R)

=∫kf(x)dx

Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K thì ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫ g(x) dx.

Chứng minh:

– Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x).

– Tìm nguyên hàm hai vế và kết luận.

Giải:

Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x).

Ta có f(x)=F′(x), g(x)=G′(x).

Suy ra ∫ [f(x) ± g(x)] dx=∫ [F′(x) ± G′(x)] dx

=∫[F(x) ± G(x)]′ dx = F(x) ± G(x) + C

Lại có ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx= ∫ F′(x) dx ± ∫G′(x) dx = F(x) ± G(x) + C.

Vậy ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫g(x) dx

∫ k f(x) dx=k∫ f(x) dx (với k ≠ 0) ⇒ ∫ [k. f(x) + l. g(x)] dx=k ∫ f(x) dx + l ∫ g(x) dx

3. Công thức đổi biến số:

∫ f [u(x)] u’ (x)dx = F [u(x)] + C

4. Công thức nguyên hàm từng phần:

∫ udv = uv – ∫ vdu

5. Bảng nguyên hàm:

Một số nguyên tắc tính nguyên hàm cơ bản:

– Tích của đa thức hoặc lũy thừa→khai triển.

– Tích các hàm mũ→khai triển theo công thức mũ.

– Bậc chẵn của sin hoặc cos→hạ bậc: sin2 a=1/2-1/2 cos 2a;

cos2 a=1/2+1/2 cos 2a

Chứa tích các căn thức của x→chuyển về lũy thừa.

6. Phương pháp giải bài toán nguyên hàm:

6.1 Phương pháp đổi biến số:

Nếu ∫ f (x) d x = F (x) + C thì ∫f [u(x)]. u’ (x) dx = F [u(x)] + C

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I = ∫ f(x) dx, trong đó ta có thể phân tích hàm số đã cho f(x) = g[ u(x) ]. u'(x) thì ta thực hiện phép biến đổi biến đặt t = u(x) ⇒ dt = u'(x) dx. Khi đó, ta thấy I = ∫ g(t) dt = G(t) + C = G [u(x)] + C.

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u(x).

6.2 Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I = ∫ [P(x) / Q(x)]. dx:

Nếu bậc của tử số P(x) ≥ bậc của mẫu số Q(x) → chia đa thức.

Nếu bậc của tử số P(x) ≤ bậc của mẫu số Q(x) → phân tích mẫu Q(x) thành tích số, rồi sử dụng phương pháp chia để đưa về công thức nguyên hàm số. Nếu mẫu không phân tích được thành tích số→thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng cách đặt X = a tan t, nếu mẫu đưa được về dạng X2 + a2

6.3 Nguyên hàm từng phần:

Cho hai hàm số u và v liên tục trên [a;b] và có đạo hàm liên tục trên [a;b]. Khi đó ta có được:

∫ udv = uv – ∫ vdu (*)

Để tính nguyên hàm ∫ udv = uv – ∫ vdu bằng phương pháp từng phần ta làm như sau:

Bước 1: Chọn u, v sao cho f(x) dx = udv (Chú ý dv = v'(x) dx)

Tính: v = ∫ dv và du =u’dx.

Bước 2: Thay vào công thức (*) và tính ∫ vdu.

Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân ∫ vdu dễ tính hơn ∫ udv.

Mẹo nhớ: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết x2 – 3x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x)/ x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f'(x). e2x là

Lời giải:

Ta có x2 – 3x +1 là một nguyên hàm của hàm số f(x)/x suy ra f(x)/x = (x2 – 3x +1)’ = 2x – 3.

Suy ra f(x) = 2×2 – 3x suy ra f'(x) = 4x – 3. Xét I = ∫ (4x – 3). e2x dx.

Đặt u= 4x – 3; dv = e2x dx từ đó suy ra du = 4dx; v = 1/2 e2x

Khi đó ta có:

I = ∫ (4x – 3). e2xdx = [(4x – 3). e2x] /2 – 2 ∫ e2xdx = [(4x – 3). e2x] /2 – e2x+ C = [(4x – 5. e2x)/2] + C.

Ví dụ 2: Tìm ∫ sin 5x. cosx dx.

Ta có: ∫ sin5x. cos x dx = 1/2 ∫ (sin6x + sin4x) dx

= 1/2 {- [cos6x)/6] – 1/4. cos 4x} + C = -1/12. cos 6x – 1/8. cos 4x + C.

Ví dụ 3: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1/(x-2), thỏa mãn F(3) = 1 và F(1) = 2, giá trị của F(0) + F(4) bằng bao nhiêu:

Lời giải:

Hàm số f(x) xác định trên R/{2}.

Ta có: F(x) = ∫ f(x) dx = ∫ 1/ (x-2) . dx= { In (x – 2) + C1 khi x > 2 ; In (2 – x) + C2 khi x < 2.

Do { F(3) = 1; F(1) = 2 ⇔ { C1 = 1; C2 = 2. Khi đó F(x) = { In (x – 2) + 1 khi x >2; In (2-x) + 2 khi x < 2.

Như vậy: F(0) + F(4) = ( In 2+2) + (In 2+1) = 2 In 2+3.

Một số bài tập:

Bài 1: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(2) = -1/5 và f'(x) = x3 [f(x)] 2 với mọi x ∈ R. Giá trị của f (1) bằng bao nhiêu?

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số:

a) ∫x.2x dx

b) ∫(x2-1) ex dx

Bài 3: Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết x2 – 3x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x)/ x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f'(x).e2x là gì?