Công thức cấp số cộng là kiến thức quan trọng trong lớp 11 và được sử dụng rất nhiều trong tính toán. Vì vậy, hiểu rõ kiến thức này là rất quan trọng để có thể giải tốt các bài toán và đạt điểm cao. Hãy cùng VUIHOC ôn lại các công thức cấp số cộng lớp 11 và giải các ví dụ vận dụng nhé!
1. Định nghĩa cấp số cộng
Cấp số cộng là một loại dãy số mà từ số thứ hai trở đi, mỗi số trong dãy đều bằng tổng của số liền trước và một số d (gọi là công sai) cố định.
Cho một số nguyên dương n lớn hơn hoặc bằng 2, ta có dãy số $U_{n-1} + d$, trong đó n thuộc tập số tự nhiên.
2. Tính chất
Nếu $(U_{n})$ là một dãy số cộng kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với dãy số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kế bên nó trong dãy số, tức là $U_{k}$ = $\frac{U_{k-1}+U_{k+1}}{2}$.
3. Tổng hợp tất cả công thức cấp số cộng lớp 11
Trong chương trình đại học phổ thông, học sinh đã được giảng dạy về cấp số cộng và ứng dụng của các công thức liên quan. Dưới đây là 5 công thức cấp số cộng cơ bản và phổ biến nhất. VUIHOC đã tổng hợp chúng để giúp các em hiểu rõ hơn.
3.1. Công thức cấp số cộng theo định nghĩa chung
Theo định nghĩa, giả sử $U_{n}$ là một dãy số trong đó mỗi số sau đó tăng dần theo một công sai d. Khi đó, chúng ta có thể sử dụng công thức sau để tính giá trị của $U_{n}$:
Cho $U_n$ là phần tử thứ $n$ trong dãy, được tính bằng cách cộng thêm $d$ vào phần tử trước đó, với $n \geq 2$.
3.2. Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng
Cách tính tổng số hạng tổng quát bằng sử dụng số hạng đầu kèm công sai là:
Dãy số $U_{n}$ được tính dựa trên công thức $U_{n}$ = $U_{1}$ + $(n-1)d$.
3.3. Công thức cấp số cộng thông qua hai số liền kề
Cấp số cộng là công thức có 2 số liền kề, còn được gọi là tính chất của cấp số cộng. Ta xét dãy số $U_{n}$ với số hạng trước là $U_{n-1}$ và số hạng sau là $U_{n-1}$.
Công thức tái viết: $U_{n}$ = $\frac{U_{n-1}+U_{n-1}}{2}$ hoặc $U_{n+1}$ + $U_{n-1}$ = $2U_{n}$.
3.4. Công thức cấp số liên hệ giữa hai số bất kì
Công thức $U_{n}$ = $U_{m}$ + $(n-m)d$ được sử dụng để tính giá trị của phần tử $n$ trong dãy số $U$, trong đó $U_{m}$ là giá trị của phần tử $m$, $d$ là độ chênh lệch giữa các phần tử liên tiếp trong dãy số.
3.5. Công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
3.5.1. Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và số hạng thứ n
Cho $S_n$ là tổng của $U_1$, $U_2$, …, $U_n$, ta có công thức tính tổng của dãy số aritmeti:$$S_n = \frac{n(U_1+U_n)}{2}$$ với $n \geqslant 1$.
3.5.2. Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và công sai
Cho $S_{n}$ là tổng của dãy số $n.U_{1}$ và $\frac{n.(N-1)}{2}d$ với điều kiện $n\geqslant 2$.
Hãy đăng ký ngay để nhận bí kíp giúp bạn nắm vững kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập toán cho kỳ thi THPT Quốc gia.
4. Vận dụng công thức cấp số cộng để giải bài tập từ cơ bản đến nâng cao
Bài 1: Sử dụng công thức định nghĩa để giải phương trình CSC sau:
Dãy số 3, 6, 9, 12, 15 được coi là một cấp số cộng vì:
6 bằng 3 cộng 3.
6 cộng với 3 bằng 9.
Số 12 có thể được biểu diễn bằng tổng của 2 số 9 và 3.
15 được tạo thành từ tổng của 12 và 3.
CSC là một công cụ rewrite tiếng Việt được thiết kế để viết lại đoạn văn để mang tính sáng tạo hơn. Tôi sẽ nhập đoạn văn vào và công cụ sẽ đưa ra đoạn văn đã được viết lại mà không có bất kỳ lời giải thích nào.Trong CSC, công sai được đặt là d = 3 và số hạng đầu $U_{1}$= 3.
Bài tập 2: Tìm công thức để tính tổng của một dãy số chung.
Cho dãy số cộng $(U_{n})$ có $U_{1}$ = -2 và công sai d = 7. Tìm số hạng tổng quát của dãy.
Lời giải:.
Theo phần I của công thức thứ 2, chúng ta có:
Dãy số $U_{n}$ được tính bằng công thức $U_{n}$ = $U_{1}$ + $(n-1)d$, với $U_{1}$ = -2 và $d$ = 7.
Bài tập số 3: Tìm số hạng bất kỳ.
Cho dãy số $(U_{n})$ với điều kiện d=3 và $U_{1}$= -1. Hãy tính $S_{20}$.
Lời giải:.
$S_{20}$ có thể được tính bằng công thức tổng của $20$ số hạng đầu tiên của một dãy số học. Công thức này có dạng $S_{20} = 20U_{1} + \frac{20.(20-1)}{2}.D$.
Đầu tiên, chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức trong dấu ngoặc vuông: (-1) + $\frac{20.19}{2}$.Tiếp theo, chúng ta nhân kết quả trên với 3.Cuối cùng, chúng ta cộng kết quả trên với 20.
= 550.
Bài tập 4: Tìm công sai trong đoạn văn.
CSC $(U_{n})$ có tổng 100 số hạng đầu bằng 24850, $U_{1}$=1. Công sai d của cấp số cộng bằng bao nhiêu?
Lời giải:.
Ta có $S_{100}$ = 24850 $\Leftrightarrow \frac{n}{2}(U_{1}$+$U_{n})$=24850$\Leftrightarrow U_{100}$ = 496.
$U_{100}$ có thể tính được bằng công thức $U_{100} = U_{1} + 99d$. Từ đó, ta có thể tính được giá trị của d bằng công thức $d = \frac{U_{100}-U_{1}}{99}$. Thay vào giá trị của $U_{100}$ và $U_{1}$, ta có d = 5.
Bài tập 5: Tính số hạng đầu của cấp số cộng.
PAS VUIHOC – Giải pháp tăng cường ôn luyện cá nhân hóa.
Khóa học trực tuyến ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:
⭐ Lập kế hoạch học từ trình độ cơ bản cho đến trên 27 tuổi+ để nâng cao kiến thức.
⭐ Lựa chọn thầy cô, lớp học và môn học dựa trên sở thích của bạn.
⭐ Trò chuyện trực tiếp hai chiều với giáo viên.
⭐ Hãy học đi học lại cho đến khi bạn thực sự hiểu bài học.
⭐ Các mẹo và kinh nghiệm giúp gia tăng hiệu suất trong việc làm bài thi.
⭐ Miễn phí bộ tài liệu độc quyền hoàn chỉnh trong quá trình học tập.
Hãy tham gia khóa học thử miễn phí ngay bây giờ!
Qua thông tin trong bài viết, hy vọng các bạn đã nắm chắc kiến thức về công thức cấp số cộng để áp dụng giải bài tập cấp số cộng chính xác. Để có thêm nhiều bài giảng thú vị và chi tiết khác, bạn có thể truy cập ngay Vuihoc.Vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để bắt đầu quá trình học tập của mình nhé!
Tôi là Nguyễn Văn Sỹ có 15 năm kinh nghiệm trong lĩnh vực thiết kế, thi công đồ nội thất; với niềm đam mê và yêu nghề tôi đã tạo ra những thiết kếtuyệt vời trong phòng khách, phòng bếp, phòng ngủ, sân vườn… Ngoài ra với khả năng nghiên cứu, tìm tòi học hỏi các kiến thức đời sống xã hội và sự kiện, tôi đã đưa ra những kiến thức bổ ích tại website nhaxinhplaza.vn. Hy vọng những kiến thức mà tôi chia sẻ này sẽ giúp ích cho bạn!