Hiểu về dấu trừ và phép trừ trong toán học – Math2IT

Phép tính trừ đã được học từ rất sớm trong chương trình toán THPT. Sau đó, chúng ta được tiếp cận một khái niệm trùng lặp nhưng phức tạp hơn là “dấu trừ đi kèm với số” hay còn gọi là số âm. Vậy “trừ” trong cả hai trường hợp là như nhau?

Theo các nhà khoa học, Toán học là ngôn ngữ của vũ trụ1 2. Mà ngôn ngữ là một loại quy ước chung trong giao tiếp, giúp những người tham gia giao tiếp hiểu được lẫn nhau thông qua ngôn ngữ ấy. Nói Toán học là ngôn ngữ vũ trụ có nghĩa là mọi sinh vật trong vũ trụ nếu có thể và muốn giao tiếp với nhau thì hãy dùng Toán học.

“Toán học điều khiển dòng chảy của vũ trụ. Nó ẩn mình dưới những hình dạng và đường cong, nắm giữ mọi thứ từ các nguyên tử bé nhỏ đến những vì sao to lớn nhất.”

Edward Frenkel (Tác giả sách “Tình yêu và Toán học”)

Đó là lý do người ta thường dùng ký hiệu hơn là câu chữ đại diện cho ngôn ngữ Toán học. Thuật ngữ phép trừ hay dấu trừ với từ trừ thật ra chỉ là một lần dịch nữa của người Việt khi nhìn thấy ký hiệu “−”. Nếu là tiếng Anh thì phép trừ là “subtraction“, còn dấu trừ trong số âm là “negative sign“. Ta thấy rằng một từ là subtract, còn một từ là nega hoàn toàn không hề có liên quan gì đến nhau như chữ trừ trong trong tiếng Việt. Vậy nên, đừng tin vào tên gọi!

Vậy “-” trong “a-b” và “-” trong “-2” nó giống hay khác nhau? Rắc rối hơn, tại sao “a-(-b)” lại bằng “a+b”?

Phép trừ

Khi học tiểu học, bạn đã được tiếp xúc các phép trừ cơ bản và gần như là học thuộc các quy tắc trừ. Lên THCS, bạn được tiếp xúc với các số âm và ứng dụng các phép trừ đã học được vào các số âm đấy. Số lượng “quy tắc” ngày một nhiều và bạn bắt đầu thấy ngán ngẩm những thứ mà Toán học mang lại. Cảm giác này là do bạn cũng như các thầy cô của bạn đã quá lạm dụng các nguyên tắc giúp nhớ và giải bài tập để rồi quên đi ý nghĩa thật sự của ngôn ngữ Toán học.

Trong quá trình hình thành và phát triển các phép toán Toán học, phép trừ sinh ra là để biểu thị cho những gì còn lại và chúng thường được sử dụng trong trao đổi buôn bán. Ý nghĩa về phép trừ ra đời từ rất sớm nhưng ký hiệu để biểu thị nó, dấu “−” như ngày nay ta vẫn dùng, thì ra đời rất trễ và rất khác nhau (tầm thế kỷ XV-XVI) 3

Do đó, ta cần phải hiểu, phép trừ “−” trong “5−2” có ý nghĩa là “giảm về lượng” trong khi phép cộng “+” có nghĩa là “tăng“.

Ví dụ đầu tiên4, xét “5-2”, bạn có 5 quả táo, “giảm” đi 2 quả (ký hiệu “-2”) thì bạn còn 3 quả. Thật ra, bạn đã áp dụng phép đếm vào trong quá trình tính toán. Lúc đầu bạn đếm thấy có 5 quả táo, sau khi giảm đi 2 quả (tức bạn đếm 2 quả và lấy đi khỏi rổ), bạn tiến hành đếm lại và thấy rằng còn 3 quả trong rổ ấy.

Hay xét một ví dụ khác5, hãy thử tưởng tượng bạn đang đi trên một bờ tường thẳng tắp. Bạn đang hướng về trước và đi tới 8 bước chân. Đây chính là ý nghĩa của “0+8”, trong đó,

• “0” là số bước chân tại điểm đầu tiên của bạn (bạn chưa đi đâu cả nên số bước chân lúc này là 0).
• Dấu “+” biểu thị cho việc đi tới
• Số “8” biểu thị cho 8 bước chân.

Bây giờ, bạn muốn đi tới thêm 6 bướcnữa, khi ấy ta có “8+6” và so với lúc ban đầu tại 0, bạn đã đi được 14 bước. Dễ nhận thấy, phép cộng “+” là sự tăng về số bước chân. Chuyện gì xảy ra nếu tại vị trí 8, bạn lùi đi 6 bước? Khi ấy tất nhiên so với vị trí ban đầu, bạn cách 2 bước, đây là kết quả của phép trừ “8−6=2”. Vậy ta đã giảm đi số bước chân.

Từ hai ví dụ trên, đơn giản “-” chính là giảm. Tiếp theo, điều gì xảy ra nếu số lượng giảm đi lại lớn hơn số lượng đã cho? Nếu ta bước lùi về sau nhiều hơn 8 bước thì sao?

Số âm

Vào khoảng những năm 200 TCN (trước công nguyên), những người Trung Quốc đã bắt đầu sử dụng những ký hiệu đầu tiên cho việc biểu thị sự thâm hụt trong buôn bán6. Ví dụ như ở hình dưới đây, họ dùng những thanh đỏ cho việc biểu thị cho những lợi nhuận thu được (hay số dương) và thanh đen cho việc biểu thị sự thâm hụt và thua lỗ (hay số âm).

Ý tưởng tương tự cũng xuất hiện nhưng trễ hơn trong một số tác phẩm của người Ấn Độ. Riêng người Hy Lạp xưa thì lại rất chậm trong việc cập nhật hệ số âm này do Toán học với họ chủ yếu dựa trên hình học. Mà hình học thì toàn làm việc với các lượng hữu hình như chiều dài, cân nặng, diện tích,…

Vậy ta có thể xem dấu “-” trong “−6” là sự thiếu/lỗ 6 (trong buôn bán của người Trung Quốc xưa). Bạn nắm trong tay “-6 đồng tiền” tức là bạn đang thiếu/lỗ 6 đồng tiền. Ngược với những ý nghĩa về lượng như của người Hy Lạp, số âm thường không biểu thị bằng các lượng hiện hữu trong cuộc sống. Rõ ràng không tồn tại “-6” đồng tiền.

Phép trừ số âm

Quay lại ví dụ về bước đi ở trên, thay vì đi lùi 6 bước, ta thử đổi hướng trước bằng cách quay ngược lại rồi sau đó tiến tới 6 bước. Khi ấy điểm ta đến cũng là vị trí cách vị trí ban đầu 2 bước. Quá trình này được minh họa bởi công thức “8+(−6)”.

Aha, phép tính cộng/trừ cho ta biết là nên tiến về trước hay lùi về sau, trong khi dấu âm/dương của số cho ta biết là ta chọn hướng đi như thế nào.

Thử áp dụng cách hiểu trên để tìm kết quả của “8−(−6)”. Nhận thấy,

• “−6” tức ta phải đổi hướng (quay đầu lại),
• Tuy nhiên, phép trừ cho ta biết là ta phải đi lùi.

Vậy quay đầu lại nhưng lại đi lùi thì nó cũng giống như ta không quay đầu và đi tới trước vậy. Cả hai cách đều cho ta kết quả “8−(−6)=8+6=14” là vị trí 14 bước chân.

Một khía cạnh khác, trừ đi một số âm còn có nghĩa là bạn đã trả xong một món nợ. Nếu tôi có một món nợ 3 triệu đồng (“−3”) và một ai đó trả nợ giùm tôi (trừ nó đi). Về cơ bản, tôi đã nhận được 3 triệu đồng, hay tóm tắt “−(−3)=3”.

Phải nói thêm rằng, hiểu rõ bản chất một khái niệm là một chuyện nhưng để nhớ và vận dụng nó thì lại là chuyện khác. Ta không thể cứ mỗi lần làm một phép trừ nào đó, ví dụ “123−(−67)”, ta lại đếm xem mình đã tiến hay lùi bao nhiêu bước. Thực tế, ta chỉ nhớ rằng trừ của trừ là cộng, tức là biến hai dấu trừ thành dấu cộng rồi sau đó thực hiện phép cộng “123+67”.

Con đường tắt để thực hành bao giờ cũng dễ, thế nên hầu như khi dạy học trò, giáo viên đều dạy con đường tắt này cả và từ đó rất nhiều khái niệm Toán học xa rời thực tế.

Những ví dụ và minh họa trên đây chỉ là một cố gắng cỏn con của tôi trong việc đi minh họa một cách dễ hiểu hơn và có bản chất hơn ngôn ngữ Toán học trong cuộc sống. Tất nhiên, phép trừ và số âm là những thứ quá đỗi quen thuộc với mọi người nhưng biết đâu qua bài này, bạn lại có thêm một cách nhìn mới về những thứ tưởng chừng khô khan kia.

Hẹn bạn ở những bài tiếp theo.

1. “Why Math is the Language of the Universe“, Futurism, 2014.
2. Annenberg Learner. “The universal language”. Math in daily life.
3. Mario Livio. “Where and when did the symbols ‘+’ and ‘-‘ originate?, The blog – HuffPost.
4. “Subtraction“, Math is Fun.
5. Kalid Azad. “Quick Insight: Substracting negative numbers”, Better Explained.
6. Leo Rogers. “The history of negative numbers”, Enrich Mathematics, Cambridge University