Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là như thế nào? Cách viết phương trình mặt phẳng trung trực ra sao? Nó có gì giống với đường thẳng trung trực hay không? Bài giảng này thầy sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là gì?

Là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng tại trung điểm của đường thẳng đó. Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực luôn cách đều 2 đầu đoạn thẳng.

Cho đường thẳng MM’ với trung điểm là I và mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của MM’ nếu (P) vuông góc với đường thẳng MM’ tại I.

Các bạn thấy khái niệm này cũng khá gần gũi với khái niệm đường trung trực của đoạn thẳng phải không? Nếu bạn muốn hiểu thêm về cách viết phương trình đường thẳng trung trực của đoạn thẳng thì xem thêm bài giảng này nhé, cũng rất hay đó: 2 cách viết phương trình đường thẳng trung trực của đoạn thẳng

Cách viết phương trình mặt phẳng trung trực

Ở trên các bạn đã hiểu thế nào là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng, do đó để viết được phương trình của nó thì chúng ta sẽ dựa vào chính khái niệm này.

Giả sử bài toán cho tọa độ 2 điểm A và B.

Bước 1: Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

Bước 2: Tìm vecto $vec{AB}$

Bước 3: Mặt phẳng trung trực của AB vuông góc với AB tại I do đó nó sẽ đi qua I và nhận vecto $vec{AB}$ làm vecto pháp tuyến. Tới đây thì chắc chắn các bạn sẽ tìm được phương trình rồi.

Sau đây chúng ta cùng tìm hiểu một số ví dụ áp dụng cho phương pháp trên.

Tham khảo thêm bài giảng:

• Cách viết phương trình đường trung tuyến trong tam giác
• Cách viết phương trình đường phân giác trong tam giác

Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB viết $A(1;2;3)$ và $B(3;0;-1)$

Hướng dẫn:

Gọi I là trung điểm của AB, suy ra tọa độ của điểm I là: $I(2;1;1)$

Tọa độ của vecto $vec{AB}$ là: $vec{AB}(2;-2;-4)$

Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB, suy ra (P) nhận vecto $vec{AB}(2;-2;-4)$ làm vecto pháp tuyến và đi qua điểm I.

Phương trình mặt phẳng (P) là:

$2(x-2)-2(y-1)-4(z-1)=0 Leftrightarrow x-y-2z+1=0$

Tuy nhiên không phải bài toán nào cũng yêu cầu chúng ta viết phương trình mặt phẳng trung trực, trực tiếp như bài toán 1. Mà trong một số bài toán chúng ta cần tư duy, phát hiện để thấy được phải sử dụng tới mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng. Có thể xét một ví dụ như bài tập 2 dưới đây.

Bài tập 2: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết tọa độ của các điểm là: $A(1;-1;0); B(3;1;2); C(-1;0;2); D(-1;3;0)$.

Hướng dẫn:

Để xác định được mặt cầu ngoại tiếp tứ diện các bạn cần xác định tâm và bán kính. Tâm mặt cầu chính là giao điểm của 3 mặt phẳng trung trực của 3 đoạn AB, BC và CD. Bán kính R của mặt cầu là khoảng cách từ tâm tới 4 đỉnh A, B, C, D.

Về cách viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và có liên quan tới mặt phẳng trung trực thầy cũng có 1 bài giảng rồi, các bạn muốn hiểu thêm nhiều hơn thì có thể xem ở link này nhé: 3 cách tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Để làm được bài toán này trước tiên các bạn cần xác định được tọa độ các trung điểm của 3 đoạn AB, BC, CD sau đó viết phương trình mặt phẳng trung trực của 3 đoạn này.

Gọi $I, M ,N$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC, CD$

Ta có:

$vec{AB}(2;2;2); vec{BC}(-4;-1;0); vec{CD}(0;3;-2)$; $I(2;0;1); M(1; frac{1}{2};2); N(-1;frac{3}{2};1)$

Gọi $(P); (Q); (R)$ lần lượt là mặt phẳng trung trực của đoạn AB, BC và CD, ta có:

Phương trình mặt phẳng (P) là: Đi qua điểm I và nhận $vec{AB}(2;2;2)$ làm vecto pháp tuyến.

$2(x-2)+2(y-0)+2(z-1)=0 Leftrightarrow x+y+z-3=0$

Phương trình mặt phẳng (Q) là: Đi qua điểm M và nhận $vec{BC}(-4;-1;0)$ làm vecto pháp tuyến.

$-4(x-1)-1(y-frac{1}{2})+0(z-2)=0 Leftrightarrow -8x-2y+9=0$

Phương trình mặt phẳng (R) là: Đi qua điểm N và nhận $ vec{CD}(0;3;-2)$ làm vecto pháp tuyến.

$0(x+1)+3(y-frac{3}{2})-2(z-1)=0 Leftrightarrow 6x-4z-5=0$

Gọi $K$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, khi đó $K$ là giao điểm của 3 mặt phẳng trung trực (P), (Q) và (R). Tọa độ của K là nghiệm của hệ phương trình:

$left{begin{array}{ll}x+y+z-3=0\-8x-2y+9=0\6x-4z-5=0end{array}right.$ $Rightarrow K(frac{1}{6};frac{23}{6}; -1)$

Tới đây chúng ta xác định tiếp bán kính R của mặt cầu là xong. Bán kính $R= KA$

Vecto $vec{KA}(frac{5}{6}; frac{-29}{6};1)$

Bán kính mặt cầu là: $R=|vec{KA}| =sqrt{left(frac{5}{6}right)^2+ left(frac{-29}{9}right)^2+1^2}=dfrac{sqrt{902}}{6}$

Vậy phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: $(x-frac{7}{9})^2+(y-frac{25}{18})^2+(z-frac{5}{6})^2=frac{902}{36}$

Qua hai ví dụ trên các bạn đã biết cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng. Hãy cho biết suy nghĩ của bạn về bài giảng và đừng quên đăng kí nhận bài giảng mới nhất qua email.