Chương trình môn học Toán cao cấp

5. Tư liệu tham khảo

5.1 Câu hỏi tự luận

Câu 1:

Tìm các tiệm cận dưới và tiệm cận trên đúng trong R nếu chúng tồn tại của tập

(X = left{ {frac{1}{{mathop 2nolimits^n }} + frac{{mathop {( – 1)}nolimits^n }}{n},n in mathop Nnolimits^* } right} = left{ {mathop unolimits_n ,n in mathop Nnolimits^* } right})

Đáp án

Với mọi p thuộc N∗

Ta có: (begin{array}{l} mathop unolimits_{2p} = frac{1}{{mathop 2nolimits^{2p} }} + frac{1}{{2p}} Rightarrow 0 < mathop unolimits_{2p} < mathop unolimits_2 = frac{3}{4}\ mathop unolimits_{2p + 1} = frac{1}{{mathop 2nolimits^{2p + 1} }} – frac{1}{{2p + 1}} Rightarrow frac{{ – 1}}{3} le frac{{ – 1}}{{2p + 1}} le mathop unolimits_{2p + 1} le frac{1}{{mathop 2nolimits^{2p + 1} }} le frac{1}{8}\ mathop unolimits_1 = frac{{ – 1}}{2} end{array})

Suy ra với mọi n thuộc N∗N∗

ta có: (frac{{ – 1}}{2} = mathop unolimits_1 le mathop unolimits_n le mathop unolimits_2 = frac{3}{4})

InfX=minX=-1/2,SupX=maxX=3/4

Câu 2:

Cho A,B là hai tập không rỗng của R và bị chặn trên

a: Chứng minh Sup(A∪BA∪B=Max(Sup(A),sup(B))

b: Gọi A+B={(x in R,exists (a,b) in A.B,x = a + b)},chứng minh rằng Sup(A-B)=Sup(A)+Sup(B)

Đáp án

Kí hiệu: (alpha = SupA,beta = SupB,gamma = Max(alpha ,beta ))

Vậy tập hợp các cận trên của (A cup B) chính là (X = {rm{{ }}x,x ge alpha ,x ge beta)

Câu 3:

Hãy tìm tất cả các ánh xạ f: C->C sao cho

Với mọi z thuộc C,f(z)+zf(-z)=1+z

Đáp án

Nếu tồn tại f(-z)-zf(z)=1-z đúng

suy ra ((1 + mathop znolimits^2 )f(z) = 1 + mathop znolimits^2)

Chứng tỏ f(z)=1 nếu (z pm i)

Đạt f(i)=(alpha + ibeta in C,alpha ,beta in R Rightarrow f( – i) = 1 – i + ialpha – beta)

f:C->C

Kiểm tra (z to left{ begin{array}{l} 1\ alpha \ 1 – beta + i(alpha – 1) end{array} right.)

5.2 Đề cương chi tiết

Khái niệm về tập hợp và ánh xạ

• Tập hợp
• Ánh xạ
• Nhóm, vành, trường
• Tập số thực
• Tập số phức

Hàm số và giới hạn hàm số

• Hàm số một biến số
• Giới hạn của dãy số
• Giới hạn hàm số
• Hàm liên tục

Phép tính vi phân hàm một biến số

• Đạo hàm của hàm một biến
• Vi phân của hàm một biến số.
• Các định lý về hàm khả vi

Phép tính nguyên hàm hàm một biến số

• Nguyên hàm và tích phân bất định
• Hai phương pháp tính tích phân bất định

Tích phân xác định

• Diện tích hình phẳng – định nghĩa tích phân.
• Tích phân xác định và nguyên hàm
• Hai phương pháp lấy tích phân xác định
• Ứng dụng của tích phân xác định.
• Tích phân suy rộng

Trên đây là một số thông tin về môn Toán cao cấp như khái niệm, đối tượng, mục đích và nội dung nghiên cứu mà eLib muốn chia sẻ đến các bạn sinh viên. Ngoài ra, còn có một số tư liệu tham khảo như bài tập, đề cương chi tiết môn học nhằm hỗ trợ cho quá trình học tập và ôn thi của bạn trở nên dễ dàng hơn, mời các bạn cùng tham khảo.