Chuyên đề Hình thang, Hình thang cân

A. Lý thuyết hình thang

1. Các khái niệm

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Có 2 đáy (đáy lớn, đáy nhỏ) và 2 cạnh bên (như hình vẽ).

Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau và hai đường chéo bằng nhau.

2. Tính chất hình thang

– Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:

+ Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

+ Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

– Cách chứng minh 1 hình thang là hình thang cân:

+ Cách 1 : Chứng minh hình thang có 2 góc kề một đáy bằng nhau à hình thang đó là hình thang cân.

+ Cách 2 : Chứng mình hình thang đó có hai đường chéo bằng nhau à hình thang đó là hình thang cân.

– Cách chứng minh 1 tứ giác là hình thang cân:

+ Bước 1 : Chứng minh tứ giác đó là hình thang ⇒ Chứng minh tứ giác đó có 2 cạnh song song với nhau ⇒ dựa vào các cách chứng minh song song như: Hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc so le trong bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau hoặc định lý từ vuông góc đến song song.

+ Bước 2 : Chứng minh hình thang đó là hình thang cân theo 2 cách ở trên.

BÀI TẬP HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN

Bài toán 1 : Hình thang ABCD (AB//CD) có Â – D̂ = [{{20}^{0}}], B̂ = 2 Ĉ. Tính các góc của hình thang.

Giải.

Vì ABCD là hình thang (AB//CD), nên ta có : AB

B + C =[{{180}^{0}}] (hai góc trong cùng phía bù nhau)

2C + C = [{{180}^{0}}]( vì B = 2C)

[3C={{180}^{0}}to C={{60}^{0}}to B={{2.60}^{0}}={{120}^{0}}]

[A-D={{20}^{0}}to A=20+D]

[A+D={{180}^{0}}](hai góc trong cùng phía bù nhau)

20 + D + D = 180

2D = 160 [to ] D = 80 [to ] A = 20 + 80 = 100

Vậy A = 100 ; B = 120 ; C = 60 ; D = 80.

Bài toán 2 : Tính các góc của hình thang ABCD (AB // CD) biết A = 3D và B – C= 30.

Gợi ý : Vẽ hình tượng trưng và làm như bài toán 1.

Bài toán 3 : Tứ giác ABCD có AB = BC và AC là tia phân giác của góc A. Chứng

minh rằng từ giác ABCD là hình thang.

Gợi ý :

AB = BC để làm gì?

AC là tia phân giác để làm gì?

Bài toán 4 : Tứ giác ABCD có BC = CD và BD là tia phân giác của góc D. Chứng

minh rằng ABCD là hình thang.

Gợi ý : vẽ hình và làm tương tự bài toán 3.

Cách chứng minh một tứ giác là hình thang [to ] chứng minh 2 cạnh song song [to ]2

góc đồng vị bằng nhau, so le trong bằng nhau hoặc trong cùng phía bù nhau.

Bài toán 5 : Tính các góc của hình thang ABCD biết A = [{{60}^{0}}] và C = [{{130}^{0}}].

Gợi ý : Dừa vào tính chất : ABCD là hình thang [to ] 2 đáy song song [to ] 2 góc

trong cùng phía bù nhau.

Bài toán 6 : Tính các góc của hình thang ABCD biết A = [{{50}^{0}}] và C = [{{120}^{0}}].

Bà toán 7 : Hình thang vuông ABCD có A = D = [{{90}^{0}}], C = [{{45}^{0}}]. Biết đường caobằng 4cm. AB + CD = 10cm,Tính hai đáy.

Gợi ý :

– Vẽ hình

– Đường cao AD = 4cm.

– Dựng đường cao BH [to ] BH = AB = 4cm.

– Tam giác BHC vuông tại H và C = 45o [to ]tam giác BHC là tam giác vuông cân [to ] BH = CH = 4cm.

– AB + CD = 10

AB + DH + CH = 10

AB + AB + 4 = 10 (vì AB = DH)

2AB = 6 [to ]AB = 3 [to ] DH = 3 [to ] DC = DH + CH = 3 + 4 = 7cm.

Bài toán 8 : Tính các góc của hình thang cân ABCD (AB // CD), biết D = 2A.

Gợi ý : AB // CD [to ] A và D là hai góc trong cùng phía bù nhau [to ] A + D = 180

Bài toán 9 : Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Gợi ý :

Bước 1 : Chứng minh tứ giác BEDC là hình thang (hai góc đồng vị AED = ABC tính thông qua góc chung A của 2 tam giác cân ABC và tam giác cân AED [to ]chứng minh tam giác AED là tam giác cân [to ] chứng minh AE = AD)

Bước 2 : BEDC là hình thang dễ dàng thấy B = C (vì tam giác ABC cân tại A) [to ]là hình thang cân.

Bài toán 10 : Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD.

Chứng minh rằng AC là tia phân giác của góc C.

Gợi ý :

ABCD là hình thang cân, đáy nhỏ AB

AB = AD (gt)

BC = AD (vì ABCD là hình thang cân)

Nên tam giác ABC cân tại B [to ]học sinh tự tư duy tiếp.

Bài toán 11 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN.

a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang cân.

b) Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng A = [{{40}^{0}}].

Gợi ý : tứ giác BMNC là hình thang cân[Rightarrow ]BMNC là hình thang (đồng vị, so le trong, trong cùng phía bù nhau)[Rightarrow ]hình thang cân (2 cách chứng minh hình thang cân).

Bài toán 12 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của AC lấy điểm D, trên tia đối của AB lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.

Bài toán 13 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên BC lấy điểm M sao cho CM = CA. Đường thẳng đi qua M và song song với CA cắt AB tại I.

a) Tứ giác ACMI là hình gì ?

b) Chứng minh AB + AC < AH + BC.

Bài toán 14 : Cho tam giác ABC, các tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AB và AC tại D và E.

a) Vẽ hình và tìm các hình thang trong hình vẽ.

b) Chứng minh rằng hình thang BCED có một cạnh đáy bằng tổng hai cạnh bên.

Bài toán 15 : Cho tam giác ABC có BC = 4cm, các trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm cuẩ BE, CD. Gọi giao điểm của MN với BD, CE theo thứ tự là P, Q.

a) Tính độ dài MN.

b) Chứng minh rằng MP = PQ = QN.

Bài toán 16 : Cho hình thang vuông ABCD có A = D = [{{90}^{0}}], C = [{{45}^{0}}] . Biết đường cao bằng 4cm, AB + CD = 10 cm, tính hai đáy.

Bài toán 17 : Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC sao cho

AD = AE.

a) Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?

b) Tính các góc của hình thang BEDC, biết A = [{{70}^{0}}].

c) Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC?

Bài viết gợi ý: