Tính chất đường phân giác trong tam giác
I . Lí thuyết:
1. Đường phân giác của tam giác:
Trongtam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm M.
+ Đoạn thẳng AM được gọi là đường phân giác của tam giác ABC
+ Đường thẳng AM cũng được gọi là đường phân giác của tam giác ABC
+ Mỗi tam giác có ba đường phân giác.
Tính chất:
Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy
2. Tính chất ba đường phân giác của tam giác:
Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
GT : ∆ABC
Hai phân giác BE, CF cắt nhau tại I
KL: AI là tia phân giác của góc A
IH = IK = IL
II . Bài tập :
1 . Bài toán ví dụ:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác. Biết AB = 15cm, DC = 21cm, BD = 9cm. Tính AC?
Giải
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác , ta có:.png)
[Rightarrow AC=frac{21.15}{9}=35,(cm)]
Vậy độ dài đoạn AC là 35 cm.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác. Biết AB = 30cm, AC = 45cm, BC = 50cm. Tính độ dài đoạn thẳng BD, CD?
Giải
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác , ta có:
Lại có: BD + CD = 50 (2)
Thay (1) vào (2) ta được : [frac{2CD}{3}+CD=50Rightarrow frac{5}{3}CD=50Rightarrow CD=30] (3)
Thay (3) và (2) ta được : BD = 50 – 30 = 20
Vậy độ dài BD và CD cần tìm là 20cm và 30cm.
2 . Bài tập tự luyện :
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 15cm, AC = 20cm, đường cao AH. Tia phân giác của góc HAB cắt HB tại D. Tia phân giác của góc HAC cắt HC tại E.
a, Tính độ dài AH;
b, Tính độ dài HD, HE.
Bài 2: Cho tam giác ABC, ba đường phân giác AN, BM, CP
a, Tính NC, biết AB:AC = 4:5 và BC = 18cm
b, Tính AC, biết AB:BC = 4:7 và MC – MA = 3cm
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD, có AB = 10cm, AC = 15cm. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E. Tinh độ dài đoạn thẳng AE, EC.
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 12cm, BC = 9cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác, G là trongj tâm của tam giác.
a, Chứng minh IG // BC;
b, Tính độ dài đoạn IG.
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 7cm, BC = 5cm, AC = 6cm. Gọi O là giao điểm của ba đường phân giác, G là trọng tâm của tam giác. Tính độ dài OG?
Bài 6: Cho tam giác ABC có AD, BE, CF là các đường phân giác. Chứng minh
Bài 7: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E.
a, Chứng minh DE // BC;
b, Gọi I là giao điểm của DE và AM. Chứng minh ID = IE.
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Tính góc B và góc C của tam giác biết [GDbot AC].
Bài 9: Cho tam giác ABC. Kẻ phân giác trong và phân giác ngoài của góc B cắt AC ở I và D. TỪ I và D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở M và N.
a, Tính AB và MN, Biết MI = 12cm, BC = 20cm;
b, Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BI ở E và cắt BD ở F. Chứng minh rằng: BI.IC = AI.IE và CE = CF.
Bài 10: Cho tam giác ABC (AB < AC ), hai đường phân giác BD và CE.
a, Đường thẳng kẻ qua D song song với BC cắt AB ở K. Chứng minh E nằm giữa B và K;
b, Chứng minh CD > DE > BE.