Cách tìm khoảng đồng biến nghịch biến bằng máy tính casio từ cơ bản tới nâng cao

Xét khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số trên một khoảng thực chất là ta dẫu của đạo hàm hàm số y’ trên khoảng đó. Để tìm khoảng đồng biến và nghịch biến ta có nhiều cách tuy nhiên trong bài này ta sẽ sử dụng máy tính casio để tìm khoảng đồng biến nghịch biến

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1. Tính đồng biến nghịch biến: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I. Nếu $f’left( x right) ge 0$ với mọi $x in I$ (hoặc $f’left( x right) le 0$ với mọi $x in I$) và $f’left( x right) = 0$ tại hữu hạn điểm của I thì hàm số $y = fleft( x right)$ đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I
2. Cách 1 Casio: Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio. Quan sát bảng kết quả nhận được, khoảng nào làm cho hàm số luôn tăng thì là khoảng đồng biến, khoảng nào làm cho hàm số luôn giảm là khoảng ngịch biến.
3. Cách 2 Casio: Tính đạo hàm, thiết lập bât phương trình đạo hàm, cô lập m và đưa về dạng $m ge fleft(x right)$ hoặc $m le fleft( x right)$ . Tìm Min,Max của hàm $fleft( x right)$ rồi kết luận.
4. Cách 3 Casio: Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm. Sử dụng tính năng giải bất phương trình INEQ của máy tính Casio (đôi với bất phương trình bậc hai, bậc ba)

II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gia lần 1 ] Hỏi hàm số $y = 2{x^4} + 1$ đồng biến trên khoảng nào ? A. $left( { – propto ; – frac{1}{2}} right)$ B. $left( {0; + propto } right)$ C. $left( { – frac{1}{2}; + propto } right)$ D. $left( { – propto ;0} right)$

GIẢI

Cách 1 : CASIO MODE 7 Để kiểm tra đáp án A ta sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 với thiết lập Start -10 End $ – frac{1}{2}$ Step 0.5

Ta thấy ngay khi x càng tăng thì $fleft( x right)$ càng giảm $ Rightarrow $ Đáp án A sai Tương tự như vậy, để kiểm tra đáp án B ta cũng sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start 0 End 9 Step 0.5

Cách 2 : CASIO ĐẠO HÀM Kiểm tra khoảng $left( { – propto ; – frac{1}{2}} right)$ ta tính $f’left( { – frac{1}{2} – 0.1} right)$ Đạo hàm ra âm (hàm số nghịch biến) $ Rightarrow $ Giá trị $ – frac{1}{2} – 0.1$ vi phạm $ Rightarrow $ Đáp án A sai Kiểm tra khoảng $left( { – propto ;0} right)$ ta tính $f’left( {0 – 0.1} right)$ Điểm $0 – 0.1$ vi phạm $ Rightarrow $ Đáp án D sai và C cũng sai $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là B Xác minh thêm 1 lần nữa xem B đúng không . Ta tính $f’left( {1 + 0.1} right) = frac{{1331}}{{125}}$ $ Rightarrow $ Chính xác Rõ ràng $x ge 0$ Cách tham khảo: Tự luận

• Tính đạo hàm $y’ = 8{x^3}$
• Để hàm số đồng biến thì $y’ ge 0 Leftrightarrow {x^3} ge 0 Leftrightarrow x ge 0$ .
• Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $left( {0; + propto } right)$

Bình luận: Khi sử dụng Casio ta phải để ý: Hàm số đồng biến trên khoảng $left( {a;b} right)$ thì sẽ luôn tăng khi x tăng. Nếu lúc tăng lúc giảm thì không đúng.

Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 ] Hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m$ đồng biến trên tập xác định khi giá trị của m là : A. $m le 1$ B. $m ge 3$ C. $ – 1 le m le 3$ D. $m < 3$

Hướng dẫn

• Để giải các bài toán liên quan đến tham số m thì ta phải cô lập m Hàm số đồng biến $ Leftrightarrow y’ ge 0 Leftrightarrow 3{x^2} + 6x + m ge 0 Leftrightarrow m ge – 3{x^3} – 6x = fleft( x right)$
• Vậy để hàm số y đồng biến trên tập xác định thì $m ge fleft( x right)$ hay $m ge fleft( {max } right)$ với mọi x thuộc R
• Để tìm Giá trị lớn nhất của $fleft( x right)$ ta vẫn dùng chức năng MODE 7 nhưng theo cách dùng của kỹ thuật Casio tìm min max

Cách tham khảo: Tự luận

• Tính đạo hàm $y’ = 3{x^2} + 6x + m$
• Để hàm số đồng biến thì $y’ ge 0 Leftrightarrow 3{x^2} + 6x + m ge 0$ với mọi $x in R$ (*) $ Leftrightarrow Delta ‘ le 0 Leftrightarrow 9 – 3m le 0 Leftrightarrow m ge 3$

Bình luận : Kiến thức (*) áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc 2: “Nếu tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$ có $Delta le 0$ thì dấu của tam thức bậc 2 luôn cùng dấu với a” .

VD3-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 ] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = frac{{tan x – 2}}{{tan x – m}}$ đồng biến trên khoảng $left( {0;frac{pi }{4}} right)$ A. $left[ begin{array}{l} m le 0\ 1 le m < 2 end{array} right.$ B. $m < 2$ C. $1 le m < 2$ D. $m ge 2$

Giải

Để bài toán dễ nhìn hơn ta tiến hành đặt ẩn phụ: Đặt $tan x = t$ . Đổi biến thì phải tìm miền giá trị của biến mới. Để làm điều này ta sử dụng chức năng MODE 7 cho hàm $fleft( x right) = tan x$ Ta thấy $0 le tan x le 1$ vậy $t in left( {0;1} right)$ Bài toán trở thành tìm m để hàm số $y = frac{{t – 2}}{{t – m}}$ đồng biến trên khoảng $left( {0;1} right)$

• Tính đạo hàm : $y’ = frac{{left( {t – m} right) – left( {t – 2} right)}}{{{{left( {t – m} right)}^2}}} = frac{{2 – m}}{{{{left( {t – m} right)}^2}}}$ $y’ > 0 Leftrightarrow frac{{2 – m}}{{{{left( {t – m} right)}^2}}} > 0 Leftrightarrow m < 2$ (1)
• Kết hợp điều kiện xác định $t – m ne 0 Leftrightarrow m ne t Rightarrow m notin left( {0;1} right)$ (2) Từ (1) và (2) ta được $left[ begin{array}{l} m le 0\ 1 le m < 2 end{array} right.$ $ Rightarrow $

Đáp án A là chính xác

• Bình luận

Bài toán chứa tham só m ở dưới mẫu thường đánh lừa chúng ta. Nếu không tỉnh táo chúng ta sẽ chọn luôn đáp án B Tuy nhiên điểm nhấn của bài toán này là phải kết hợp điều kiện ở mẫu số. $m ne t$ mà $t in left( {0;1} right)$ vậy $m notin left( {0;1} right)$ .

VD4-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 ] Với giá trị nào của tham số m thì hàm số $y = sin x – cos x + 2017sqrt 2 mx$ đồng biến trên R A. $m ge 2017$ B. $m < 0$ C. $m ge frac{1}{{2017}}$ D. $m ge – frac{1}{{2017}}$

GIẢI

• Tính đạo hàm $y’ = cos x + sin x + 2017sqrt 2 m$ $y’ ge 0 Leftrightarrow m ge frac{{ – sin x – cos x}}{{2017sqrt 2 }} = fleft( x right)$
• Để hàm số luôn đồng biến trên R thì $m ge fleft( x right)$ đúng với mọi $x in R$ hay $m ge fleft( {max } right)$
• Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số ta lại sử dụng chức năng MODE 7. Vì hàm $fleft( x right)$ là hàm lượng giác mà hàm lượng giác $sin x,cos x$ thì tuần hoàn với chu kì $2pi $ vậy ta sẽ thiết lập Start 0 End $2pi $ Step $frac{{2pi }}{{19}}$

Đây là 1 giá trị $ approx frac{1}{{2017}}$ vậy $m ge frac{1}{{2017}}$ $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là C Cách tham khảo: Tự luận

• Tính đạo hàm $y’ = cos x + sin x + 2017sqrt 2 m$. $y’ ge 0 Leftrightarrow m ge frac{{ – sin x – cos x}}{{2017sqrt 2 }} = fleft( x right)$
• Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì ${left( { – sin x – cos x} right)^2} le left( {{{left( { – 1} right)}^2} + {{left( { – 1} right)}^2}} right)left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right) = 2$ $ Rightarrow – sqrt 2 le left( { – sin x – cos x} right) le sqrt 2 $ $ Rightarrow frac{{ – sqrt 2 }}{{2017sqrt 2 }} le fleft( x right) le frac{{sqrt 2 }}{{2017sqrt 2 }}$ $fleft( x right)$ đạt giá trị lớn nhất là $frac{{sqrt 2 }}{{2017sqrt 2 }} = frac{1}{{2017}}$
• Bình luận : • Vì chu kì của hàm $sin x,cos x$ là $2pi $ nên ngoài thiết lập Start 0 End $2pi $ thì ta có thể thiết lập Start $ – pi $ End $ – pi $ • Nếu chỉ xuất hiện hàm $tan x,,,cot x$ mà hai hàm này tuần hoàn theo chu kì π thì ta có thể thiết lập Start 0 End $pi $ Step $frac{pi }{{19}}$

VD5-[Thi thử chuyên Trần Phú – Hải Phòng lần 1 ] Tìm $m$ để hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m$ nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2. A. m = 0 B.$m < 3 C. m = 2 D. m > 3

GIẢI

Tính $y’ = 3{x^3} + 6{x^2} + m$ Ta nhớ công thức tính nhanh “Nếu hàm bậc 3 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $alpha $ thì phương trình đạo hàm có hai nghiệm và hiệu hai nghiệm bằng $alpha $” Với $alpha $ là một số xác định thì $m$ cũng là 1 số xác định chứ không thể là khoảng $ Rightarrow $ Đáp số phải là A hoặc C . Với $m = 0$ phương trình đạo hàm $3{x^2} + 6x = 0$ có hai nghiệm phân biệt $left[ begin{array}{l} x = – 2\ x = 0 end{array} right.$ và khoảng cách giữa chúng bằng 2 Đáp án A là chính xác Cách tham khảo: Tự luận

• Tính $y’ = 3{x^3} + 6{x^2} + m$. Để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì phương trình đạo hàm có 2 nghiệm ${x_1},{x_2}$ và $left| {{x_1} – {x_2}} right| = 0$
• Theo Vi-et ta có $left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – 2\{x_1}{x_2} = frac{m}{3}end{array} right.$
• Giải $left| {{x_1} – {x_2}} right| = 2 Leftrightarrow {left( {{x_1} – {x_2}} right)^2} = 4 Leftrightarrow {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 4$ $ Leftrightarrow 4 – frac{{4m}}{3} = 4 Leftrightarrow m = 0$

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên KHTN -HN lần 2 ] Cho hàm số $y = – {x^4} + 2{x^2} + 1$ . Mệnh đền nào dưới đây đúng ? A. Hàm số đồng biến trên khoảng $left( { – propto ; – 1} right)$ B. Hàm số đồng biến trên khoảng $left( { – propto ;0} right)$ C. Hàm số đồng biến trên khoảng $left( {0; + propto } right)$ D. Hàm số đồng biến trên khoảng $left( {1; + propto } right)$

Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 ] Trong các hàng số sau, hãy chỉ ra hàm số giảm (nghịch biến) trên R A. $y = {left( {frac{pi }{3}} right)^x}$ B. $y = {left( {frac{5}{{3e}}} right)^{ – x}}$ C. $y = {left( pi right)^{3x}}$ D. $y = {left( {frac{1}{{2sqrt 2 }}} right)^x}$

Bài 3-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình ] Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = frac{{left( {m – 1} right)x + 1}}{{2x + m}}$ đồng biến trên từng khoảng xác định A. $m < 2$ B. $left[ begin{array}{l} m < – 1\ m > 2 end{array} right.$ C. $m ne 2$ D. $ – 1 < m < 2$ Bài 4-[Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 ] Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = frac{{m – sin x}}{{{{cos }^2}x}}$ nghịch biến trên khoảng $left( {0;frac{pi }{6}} right)$ A. $m ge frac{5}{2}$ B. $m le frac{5}{2}$ C. $m le frac{5}{4}$ D. $m ge frac{5}{4}$ Bài 5-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 ] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = 2{sin ^3}x – 3{sin ^2}x + msin x$ đồng biến trên khoảng $left( {0;frac{pi }{2}} right)$ A. $m > 0$ B. $m < frac{3}{2}$ C. $m ge frac{3}{2}$ D. $m > frac{3}{2}$

Bài 6-[Thi thử chuyên Lương Văn Tụy lần 1 ] Tìm m để hàm số $y = m{x^3} – {x^2} + 3x + m – 2$ đồng biến trên khoảng $left( { – 3;0} right)$ ? A. $m = 0$ B. $m = pm 1$ C. $3m ne pm 1$ D. $m = 1$

Bài 7-[Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 ] Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = frac{{{e^x} – m – 2}}{{{e^x} – {m^2}}}$ đồng biến trong khoảng $left( {ln frac{1}{4};0} right)$ A. $m in left[ { – 1;2} right]$ B. $m in left[ { – frac{1}{2};frac{1}{2}} right]$ C. $m in left( {1;2} right)$ D. $m in left[ { – frac{1}{2};frac{1}{2}} right] cup left[ {1;2} right)$

Bài 8-[Thi thử chuyên Trần Phú – Hải Phòng lần 1 ] Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số $y = 2{x^3} + 3left( {m – 1} right){x^2} + 6left( {m – 2} right)x + 3$ nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3. A. $left[ begin{array}{l} m > 6\ m < 0 end{array} right.$ B. $m > 6$ C. $m < 0$ D. $m = 9$