Đừng bỏ lỡ Top 24 các phương trình đường tròn [Đầy Đủ Nhất]

1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng (Oxy) cho đường thẳng (left(Cright)) tâm (Ileft(a;bright)), bán kính (R).

Ta có (Mleft(x;yright)inleft(Cright)Leftrightarrow IM=R)

(Leftrightarrowsqrt{left(x-aright)^2+left(y-bright)^2}=R)

(Leftrightarrowleft(x-aright)^2+left(y-bright)^2=R^2)

Phương trình (left(x-aright)^2+left(y-bright)^2=R^2) được gọi là phương trình đường tròn tâm (Ileft(a;bright)) bán kính (R).

Chẳng hạn, phương trình đường tròn tâm (Ileft(2;-3right)) bán kính (R=5) là: (left(x-2right)^2+left(y+3right)^2=25)

Ví dụ 1: Cho hai điểm (Aleft(1;2right)) và (Bleft(-3;4right)). Viết phương trình đường tròn (left(Cright)) đường kính (AB).

Giải:

Gọi (I) là trung điểm của đoạn thẳng (AB). Ta có (Ileft(-1;3right))

Bán kính của đường tròn (left(Cright)) là (IA=sqrt{left(-1-1right)^2+left(3-2right)^2}=sqrt{5})

Như vậy ta được đường tròn (left(Cright)) tâm (Ileft(-1;3right)) bán kính (R=sqrt{5})

Suy ra phương trình đường tròn (left(Cright)) là: (left(x+1right)^2+left(y-3right)^2=5).

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn tâm (Ileft(2;-3right)) và đi qua điểm (Mleft(-2;3right)).

Giải:

Với (Ileft(2;-3right)), (Mleft(-2;3right)) ta có (IM=sqrt{left(2+2right)^2+left(-3-3right)^2}=sqrt{52})

Đường tròn tâm (I) và đi qua điểm (M) có bán kính (R=IM=sqrt{52})

Do đó ta có phương trình đường tròn là: (left(x-2right)^2+left(y+3right)^2=52).

Ví dụ 3: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a) (x^2+y^2-2x-2y-2=0) ;

b) (16x^2+16y^2+16x-8y-11=0)

Giải:

a) Ta có: (x^2+y^2-2x-2y-2=0) (Leftrightarrowleft(x-1right)^2+left(y-1right)^2=4)

Vậy đường tròn này có tâm (Ileft(1;1right)) và bán kính (R=2).

b) Ta có: (16x^2+16y^2+16x-8y-11=0)

(Leftrightarrow x^2+y^2+x-dfrac{1}{2}y-dfrac{11}{16}=0)

(Leftrightarrowleft(x+dfrac{1}{2}right)^2+left(y-dfrac{1}{4}right)^2=1)

Vậy đường tròn này có tâm (Ileft(-dfrac{1}{2};dfrac{1}{4}right)) bán kính (R=1).

Chú ý: Phương trình đường tròn có tâm là gốc toạ độ (O) và có bán kính (R) là:

(x^2+y^2=R^2)

2. Nhận xét

Phương trình đường tròn (left(x-aright)^2+left(y-bright)^2=R^2) có thể được viết dưới dạng (x^2+y^2-2ax-2by+c=0) , trong đó (c=a^2+b^2-R^2).

Ngược lại, phương trình (x^2+y^2-2ax-2by+c=0) là phương trình của đường tròn (left(Cright)) khi và chỉ khi (a^2+b^2-c>0). Khi đó đường tròn (left(Cright)) có tâm (Ileft(a;bright)) và bán kính (R=sqrt{a^2+b^2-c}).

Ta xét lại ví dụ 3 trên nhưng với cách làm khác.

Ví dụ 3: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a) (x^2+y^2-2x-2y-2=0) ;

b) (16x^2+16y^2+16x-8y-11=0)

Giải:

a) Ta có (x^2+y^2-2x-2y-2=0) (Leftrightarrow) (x^2+y^2-2.1.x-2.1y-2=0)

Suy ra phương trình trên có các hệ số (a=1,b=1,c=-2)

Nên đường tròn có tâm (Ileft(1;1right)) và bán kính (R=sqrt{1^2+1^2-left(-2right)}=sqrt{4}=2)

b) Ta có (16x^2+16y^2+16x-8y-11=0) (Leftrightarrow x^2+y^2+x-dfrac{1}{2}y-dfrac{11}{16}=0)

(Leftrightarrow x^2+y^2-2.dfrac{-1}{2}.x-2.dfrac{1}{4}.y-dfrac{11}{16}=0)

Suy ra phương trình trên có các hệ số (a=-dfrac{1}{2},b=dfrac{1}{4},c=-dfrac{11}{16})

Nên đường tròn có tâm (Ileft(-dfrac{1}{2};dfrac{1}{4}right)), bán kính (R=sqrt{left(-dfrac{1}{2}right)^2+left(dfrac{1}{4}right)^2-left(-dfrac{11}{16}right)}=1)

Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn (left(Cright)) đi qua 3 điểm (Aleft(1;2right)), (Bleft(5;2right)) và (Cleft(1;-3right)).

Giải:

Gọi phương trình đường tròn (left(Cright)) là (x^2+y^2-2ax-2by+c=0)

Do (Aleft(1;2right)inleft(Cright)) nên ta có (1^2+2^2-2.a.1-2.b.2+c=0) (Rightarrow2a+4b-c=5) (1)

Do (Bleft(5;2right)inleft(Cright)) nên ta có (5^2+2^2-2.a.5-2.b.2+c=0) (Rightarrow10a+4b-c=29) (2)

Do (Cleft(1;-3right)inleft(Cright)) nên ta có (1^2+left(-3right)^2-2.a.1-2.b.left(-3right)+c=0) (Rightarrow2a-6b-c=10) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình (left{{}begin{matrix}2a+4b-c=5\10a+4b-c=29\2a-6b-c=10end{matrix}right.)

Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm (a=3,b=-dfrac{1}{2},c=-1)

Thay vào ta được phương trình đường tròn (left(Cright)) là (x^2+y^2-6x+y-1=0).

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm (M_0left(x_0;y_0right)) nằm trên đường tròn (left(Cright)) tâm (Ileft(a;bright)).

Gọi (Delta) là tiếp tuyến với (left(Cright)) tại (M_0).

Ta có (M_0) thuộc (Delta) và vectơ (overrightarrow{IM_0}=left(x_0-a;y_0-bright)) là vectơ pháp tuyến của (Delta).

Do đó (Delta) có phương trình là:

(left(x_0-aright)left(x-x_0right)+left(y_0-bright)left(y-y_0right)=0) (2)

Phương trình (2) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn (left(x-aright)^2+left(y-bright)^2=R^2) tại điểm (M_0) nằm trên đường tròn.

Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm (Mleft(3;4right)) thuộc đường tròn (left(Cright):left(x-1right)^2+left(y-2right)^2=8).

Giải:

Từ phương trình (left(x-1right)^2+left(y-2right)^2=8) ta suy ra (left(Cright)) có tâm (Ileft(1;2right))

Suy ra phương trình tiếp tuyến với (left(Cright)) tại (Mleft(3;4right)) là

(left(3-1right)left(x-3right)+left(4-2right)left(y-4right)=0)

(Leftrightarrow2x+2y-14=0)

(Leftrightarrow x+y-7=0)

Vậy phương trình tiếp tuyến với (left(Cright)) tại (Mleft(3;4right)) là (x+y-7=0).

Top 24 các phương trình đường tròn biên soạn bởi Nhà Xinh