Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 11
1. Lý thuyết
a) Hoán vị
– Cho tập A gồm n phần tử (n≥1). Khi xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập hợp A, (gọi tắt là một hoán vị của A).
– Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1.
– Đặc điểm: Đây là sắp xếp có thứ tự và số phần tử sắp xếp đúng bằng số phần tử trong nhóm (bằng n).
– Chú ý: Giai thừa: n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1
Quy ước: 0! = 1; 1! = 1.
b) Chỉnh hợp
– Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, (1≤k≤n). Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp n chập k của A).
– Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là: Ank=n!(n−k)!.
– Một số quy ước: 0!=1, An0=1, Ann=n!
– Đặc điểm: Đây là sắp xếp có thứ tự và số phần tử được sắp xếp là k: 0≤k≤n.
c) Tổ hợp
Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, (1≤k≤n). Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.
– Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là: Cnk=n!(n−k)!k!=Ankk!.
– Tính chất:
Cn0=Cnn=1Cnk=Cnn−k,(0≤k≤n)Cn+1k+1=Cnk+Cnk+1,(1≤k≤n)
– Đặc điểm: Tổ hợp là chọn phần tử không quan trọng thứ tự, số phần tử được chọn là k: 0≤k≤n
2. Các dạng bài tập
Dạng 1: Bài toán đếm số tự nhiên
Ví dụ 1. Từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn
a) Số có 7 chữ số khác nhau
b) Số có 5 chữ số khác nhau
c) Số có 7 chữ số khác nhau và có chữ số 1 là hàng chục nghìn
d) Số có 7 chữ số khác nhau và chữ số 2 không ở hàng đơn vị
Lời giải
a) Số các số có 7 chữ số khác nhau được lập từ 7 chữ số trên là 7! = 5040
b) Số các số có 5 chữ số khác nhau được lập từ 7 chữ số trên là A75=2520
c) Số có 7 chữ số khác nhau và có chữ số 1 là hàng chục nghìn
Chữ số hàng chục nghìn có 1 cách chọn (là chữ số 1)
Các hàng khác, số cách chọn là một hoán vị của 6 chữ số còn lại: 6!
Vậy có 1.6! = 720 số có 7 chữ số khác nhau và có chữ số 1 là hàng chục nghìn.
d) Số có 7 chữ số khác nhau và chữ số 2 không ở hàng đơn vị
Số các số có 7 chữ số khác nhau là 7!
Ta lập số có 7 chữ số khác nhau có chữ số 2 ở hàng đơn vị
Chữ số hàng đơn vị có 1 cách chọn (là chữ số 2)
Các hàng khác, số cách chọn là một hoán vị của 6 chữ số còn lại: 6!
Số các số có 7 chữ số và chữ số 2 ở hàng đơn vị là: 1.6!
Vậy có 7! – 6! = 4320 số có 7 chữ số khác nhau và chữ số 2 không ở hàng đơn vị.
Ví dụ 2. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn
a) Số có 10 chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần.
b) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau.
c) Số có 6 chữ số khác nhau, trong đó chữ số 1 là hàng đơn vị.
d) Số có 6 chữ số khác nhau, trong đó chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau.
Lời giải
a) Giả sử số có 10 chữ số cần lập ở 10 vị trí như hình dưới
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
+ Số các số có 10 chữ số, chữ số 3 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần (Kể cả chữ số 0 đứng đầu)
Chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, ta chọn 3 vị trí để đặt số 3: có C103 cách chọn
Các chữ số khác có mặt đúng 1 lần là hoán vị của 7: có 7! cách chọn
Do đó có C103.7! số (kể cả số 0 đứng đầu).
+ Số các số có 10 chữ số, chữ số 3 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần và chữ số 0 đứng đầu
Vị trí đầu tiên có 1 cách chọn (là chữ số 0)
Chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, ta chọn 3 vị trí trong 9 vị trí còn lại để đặt số 3: có C93 cách chọn
Các chữ số khác có mặt đúng 1 lần là hoán vị của 6: có 6! cách chọn.
Do đó có C93.6!
Vậy có C103.7!−C93.6!=544320 số có 10 chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần.
b) Gọi số abcde¯ là số chẵn có 5 chữ số trong các số trên
Vì abcde¯ là số chẵn nên e∈0;2;4;6
+ Trường hợp 1: e = 0
Số cách chọn a, b, c, d trong 7 số còn lại là A74
Do đó có A74.
+ Trường hợp 2: e∈2;4;6
Chọn e: có 3 cách chọn
Chọn a từ các số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}{e}: có 6 cách chọn
Chọn b, c, d từ các số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}{a, e}: có A63
Do đó có 3.6.A63 số
Vậy có A74+3.6.A63=3000 số chẵn có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số trên.
c) Giả sử số có 6 chữ số cần lập ở 6 vị trí như hình dưới
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Lập số có 6 chữ số khác nhau, chữ số 1 ở hàng đơn vị
Vị trí (6) có 1 cách chọn (là chữ số 1)
Vị trí (1) có 6 cách chọn (là các chữ số 2; 3; 4; 5; 6; 7)
Bốn vị trí còn lại là chỉnh hợp chập 4 của 6 số còn lại: có A64 số
Vậy có 1.6.A64=2160 số có 6 chữ số, trong đó chữ số 1 là hàng đơn vị.
d) Để lập số có số 2 và 3 đứng cạnh nhau ta ghép số 2 và 3 với nhau, đặt vào 1 vị trí.
Giả sử số có 6 chữ số cần lập ở 5 vị trí như hình dưới
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Vị trí (1) có 6 cách chọn (là 1; 2 và 3; 4; 5; 6; 7)
Các vị trí còn lại có là chỉnh hợp chập 4 của 6 số còn lại: có A64
Ở vị chí chứa số 2 và 3: có 2! cách sắp xếp chữ số 2 và 3.
Vậy có 6.A64.2!=4230 số có 6 chữ số khác nhau, trong đó chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau.
Dạng 2: Bài toán xếp chỗ
Phương pháp giải:
* Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân
* Chú ý:
– Bài toán đếm yêu cầu sắp xếp phần tử A và B phải đứng cạnh nhau, ta bó (gộp) 2 phần tử làm 1, coi như chúng là 1 phần tử rồi sắp xếp.
– Bài toán đếm yêu cầu sắp xếp phần tử A và B không đứng cạnh nhau, ta đếm phần bù (Tức là đếm 2 phần tử A và B đứng cạnh nhau).
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Có 7 học sinh nữ và 3 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để:
a) Sắp xếp tùy ý.
b) Các bạn nam ngồi cạnh nhau và các bạn nữ ngồi cạnh nhau.
c) 3 học sinh nam ngồi kề nhau.
d) Không có 2 bạn nam nào ngồi cạnh nhau.
Lời giải
a) Sắp xếp 10 bạn tùy ý là hoán vị của 10: có 10! cách xếp.
b) Xếp các 7 bạn nữ ngồi cạnh nhau và 3 bạn nam ngồi cạnh nhau. Ta ghép tất cả 7 bạn nữ vào 1 “bó”, 3 bạn nam vào 1 “bó”
Rồi mang sắp xếp 2 “bó” ta được 2! cách xếp.
Trong 7 bạn nữ: ta có 7! cách xếp
Trong 3 bạn nam: ta có 3! cách xếp
Vậy có 2! . 7! . 3! = 60480 cách xếp.
c) Xếp 3 bạn nam ngồi cạnh nhau. Ta ghép 3 bạn nam vào 1 “bó”
Rồi mang sắp xếp 7 bạn nữ và 1 “bó” ta được 8! cách xếp
Trong 3 bạn nam: ta có 3! cách xếp
Vậy có 8! . 3! = 241920 cách xếp.
d) Để xếp không có bạn nam nào ngồi cạnh nhau, ta sắp xếp 7 bạn nữ vào bàn dài trước: ta được 7! c&aacu
Tôi là Nguyễn Văn Sỹ có 15 năm kinh nghiệm trong lĩnh vực thiết kế, thi công đồ nội thất; với niềm đam mê và yêu nghề tôi đã tạo ra những thiết kếtuyệt vời trong phòng khách, phòng bếp, phòng ngủ, sân vườn… Ngoài ra với khả năng nghiên cứu, tìm tòi học hỏi các kiến thức đời sống xã hội và sự kiện, tôi đã đưa ra những kiến thức bổ ích tại website nhaxinhplaza.vn. Hy vọng những kiến thức mà tôi chia sẻ này sẽ giúp ích cho bạn!