I. Tọa độ của điểm và của vectơ

1. Hệ tọa độ

Trong không gian, ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi $overrightarrow {i,} overrightarrow {j,} overrightarrow k $ với $overrightarrow {i}(1;0;0),$ $overrightarrow {j}(0;1;0),$ $overrightarrow {k}(0;0;1)$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz. Hệ ba trục này được gọi là hệ tọa độ Oxyz.

Trong đó:

– O là gốc tọa độ.

– Các mặt phẳng (Oxy, Oyz, Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

– Không gian với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz.

Vì $overrightarrow {i,} overrightarrow {j,} overrightarrow k $ là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:

$overrightarrow {{i^2},} overrightarrow {{j^2},} overrightarrow {{k^2}} = 1$

Và $overrightarrow i .overrightarrow j = overrightarrow j .overrightarrow k = overrightarrow k .overrightarrow i = 0$.

2. Tọa độ của một điểm

$overrightarrow {OM} = xoverrightarrow {i} + yoverrightarrow {j} + zoverrightarrow k $

Gọi bộ ba số (x ; y ; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz, được viết: $M = left( {x;y;z} right)$ hoặc $Mleft( {x;y;z} right)$.

3. Tọa độ của vectơ

Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vectơ $overrightarrow {OM} $. Ta có:

$M = left( {x;y;z} right) Leftrightarrow overrightarrow {OM} = left( {x;y;z} right)$

II. Biểu thức tọa độ của phép toán vectơ

Định lí

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $overrightarrow a = left( {{a_1};{a_2};{a_3}} right)$ và $overrightarrow b = left( {{b_1};{b_2};{b_3}} right)$. Ta có:

a) $vec a + overrightarrow b = left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2};{a_3} + {b_3}} right)$.

b) $vec a – overrightarrow b = left( {{a_1} – {b_1};{a_2} – {b_2};{a_3} – {b_3}} right)$.

c) $kvec a = kleft( {{a_1};{a_2};{a_3}} right) = left( {k{a_1};k{a_2};k{a_3}} right)$ với k là một số thực.

Hệ quả

a) Cho vectơ $overrightarrow a = left( {{a_1};{a_2};{a_3}} right)$ và $overrightarrow b = left( {{b_1};{b_2};{b_3}} right)$.

Ta có:

$vec a = overrightarrow b = left{ begin{array}{l} {a_1} = {b_1}\ {a_2} = {b_2}\ {a_3} = {b_3} end{array} right.$

b) Vectơ $overrightarrow 0 $ có tọa độ là $left( {0;0;0} right)$.

c) Với $overrightarrow b ne overrightarrow 0 $ thì hai vectơ ${vec a}$ và $overrightarrow b $ cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho: ${a_1} = k{b_1},{a_2} = k{b_2},{a_3} = k{b_3}$.

d) Trong không gian Oxyz, nếu cho hai điểm $Aleft( {{x_A};{y_A};{z_A}} right),Bleft( {{x_B};{y_B};{z_B}} right)$ thì:

* $overrightarrow {AB} = overrightarrow {OA} – overrightarrow {OB} = left( {{x_A} – {x_B};{y_A} – {y_B};{z_A} – {z_B}} right)$

* Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

$Mleft( {frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} right)$.

III. Tích vô hướng

1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Định lí

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $overrightarrow a = left( {{a_1};{a_2};{a_3}} right)$ và $overrightarrow b = left( {{b_1};{b_2};{b_3}} right)$ được xác định bởi công thức:

$overrightarrow a .overrightarrow b = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} + {a_3}.{b_3}$

2. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ: $left| {overrightarrow a } right| = sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} $

b) Khoảng cách giữa hai điểm: $AB = left| {overrightarrow {AB} } right| = sqrt {{{left( {{x_B} – {x_A}} right)}^2} + {{left( {{y_B} – {y_A}} right)}^2} + {{left( {{z_B} – {z_A}} right)}^2}} $

c) Góc giữa hai vectơ: $cos varphi = cos left( {vec a,overrightarrow b } right) = frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} .sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2} }}$.

IV. Phương trình mặt cầu

Định lí

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm $Ileft( {a;b;c} right)$ bán kính r có phương trình là:

${left( {x – a} right)^2} + {left( {y – b} right)^2} + {left( {z – c} right)^2} = {r^2}$