Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn

Với dạng toán yêu cầu tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn có lẽ là bài toán đơn giản nhất với các bạn. Bởi với dạng toán này đề bài đã cho trước một phương trình đường tròn, chỉ yêu cầu chúng ta tìm ra tâm và bán kính của đường tròn có phương trình đó. Để thuận lợi hơn cho việc tìm tâm và bán kính, các bạn có thể xem lại lý thuyết phương trình đường tròn trong bài giảng trước. Giờ chúng ta sẽ đi tìm hiểu hai bài tập cho dạng toán này.

Bài tập tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn

Bài tập 1: Cho đường tròn có phương trình $x^2+y^2-6x+10y-2=0$. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn trên.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Dựa trực tiếp vào phương trình đã cho

Phương trình đường tròn tổng quát của chúng ta có dạng: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a^2+b^2-c>0$. Tâm sẽ là $I(a;b)$ bán kính $R=sqrt{a^2+b^2-c}$.

Nhìn vào dạng tổng quát trên các bạn dễ dàng xác định được tâm như sau:

Gọi tâm của đường tròn cần tìm là $I(a;b)$, bán kính là $R$. Khi đó ta có:

$left{begin{array}{ll}-2ax=-6x\-2by=10yend{array}right.Leftrightarrowleft{begin{array}{ll}a=3\b=-5end{array}right.$.

Vậy tọa độ của tâm đường tròn là: $I(3;-5)$.

Bán kính của đường tròn là:$R=sqrt{3^2+(-5)^2-(-2)}=sqrt{9+25+2}=6$

Cách 2: Chuyển phương trình đã cho về dạng khác.

Gọi tâm của đường tròn cần tìm là $I(a;b)$, bán kính là $R$. Khi đó ta có:

$x^2+y^2-6x+10y-2=0$

$Leftrightarrow x^2-6x+y^2+10y-2=0$

$Leftrightarrow x^2-6x+9+y^2+10y+25-9-25-2=0$

$Leftrightarrow (x-3)^2+(y+5)^2=36$

$Leftrightarrow (x-3)^2+(y+5)^2=6^2$

Vậy đường tròn trên có tâm là $I(3;-5)$ và bán kính đường tròn là $R=6$

Có thể bạn sẽ thích: Các dạng và phương pháp giải phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy

Bài tập 2: Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn có phương trình sau: $4x^2+4y^2-4x+8y-59=0$

Hướng dẫn giải:

Với phương trình đường tròn cho ở dạng này sẽ có nhiều bạn nhầm lẫn nếu không để ý một chút. Các bạn để ý sẽ thấy hệ số của $x^2; y^2$ không phải là $1$ như trong phương trình tổng quát. Vậy ta cần phải biến đổi sao cho chúng về đúng dạng, ta có:

$4x^2+4y^2-4x+8y-59=0Leftrightarrow x^2+y^2-x+2y-frac{59}{4}=0$ (1)

Tới đây phương trình đã đúng dạng rồi, ta sẽ tiến hành giải theo 2 cách tương tự như bài 1:

Cách 1: Sử dụng trực tiếp phương trình (1)

Gọi tâm của đường tròn cần tìm là $I(a;b)$, bán kính là $R$. Khi đó ta có:

$left{begin{array}{ll}-2ax=-x\-2by=2yend{array}right.Leftrightarrowleft{begin{array}{ll}a=frac{1}{2}\b=-1end{array}right.$.

Vậy tọa độ của tâm đường tròn là: $I(frac{1}{2};-1)$.

Bán kính của đường tròn là:$R=sqrt{(frac{1}{2})^2+(-1)^2-(-frac{59}{4})}=sqrt{frac{1}{4}+1+frac{59}{4}}=sqrt{16}=4$

Cách 2: Chuyển phương trình đã cho về dạng khác.

Gọi tâm của đường tròn cần tìm là $I(a;b)$, bán kính là $R$. Khi đó ta có:

$x^2+y^2-x+2y-frac{59}{4}=0$

$Leftrightarrow x^2-x+y^2+2y-frac{59}{4}=0$

$Leftrightarrow x^2-x+frac{1}{4}+y^2+2y+1-16=0$

$Leftrightarrow (x-frac{1}{2})^2+(y+1)^2=16$

$Leftrightarrow (x-frac{1}{2})^2+(y+1)^2=4^2$

Vậy tọa độ tâm của đường tròn là $I(frac{1}{2};-1)$ và bán kính đường tròn là: $R=4$

Bài tập tự luyện tìm tâm và bán kính của đường tròn

Bài tập 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn sau:

a. $x^2+y^2-2x-2y-2=0$

b. $16x^2+16y^2+16x-8y-11=0$

c. $x^2+y^2-4x+6y-3=0$

d. $36x^2+36y^2+48x-36y-119=0$