Cách giải bài toán dạng: Chứng minh hai tam giác bằng nhau Toán lớp 7

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)

– Chú ý: Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ thì ta ngầm hiểu AB và A’B’ là cặp cạnh tương ứng, tương tự góc A và góc A’ là cặp góc tương ứng, …

– Muốn tìm được cạnh tương ứng và góc tương ứng, ta phải tưởng tượng dịch chuyển sao cho tam giác này trùng khít lên tam giác kia (bởi vì các tam giác có thể ở các vị trí khác nhau)

– Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có thể chồng khít lên nhau. Khái niệm trùng khít tức là ba đỉnh trùng nhau và tất nhiên ba góc tương ứng, ba cạnh tương ứng cũng trùng nhau.

– Để hiểu rõ hơn nếu trên vở có hai tam giác ở hai vị trí khác nhau mà bằng nhau. Ta lấy tấm bìa cắt một hình tam giác bằng hình tam giác thứ nhất trên vở, rồi đem tấm bìa đó đặt chồng lên hình tam giác thứ hai trên vở sẽ thấy chúng trùng khít lên nhau.

Ví dụ 1: Xem các hình vẽ sau, những đoạn đánh dấu giống nhau là những đoạn thẳng bằng nhau. Những tam giác nào bằng nhau trong hình vẽ đó.

Hình 1: Hình 2:

Hình 3:

Hướng dẫn:

Hình 1: AP = BQ, PB = QA, AB chung.

Vậy $Delta $APB = $Delta $BQA (c.c.c)

Hình 2:

Ta có: AM = AN. AB = AC, BM = CN

Vậy $Delta $ABM = $Delta $ACN (c.c.c)

Ta có: AN = AM, AB = AC và BM = CN.

suy ra BM + MN = NC + MN hay BN = MC

Do đó $Delta $ABN = $Delta $ACM (c.c.c)

Hình 3:

Ta có: IC = ID, IA = IB, AC = DB

Vậy $Delta $IAC = $Delta $IBD (c.c.c)

2. Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

– Theo thứ tự cạnh, góc, cạnh nghĩa là góc bằng nhau phải xen giữa hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

Lưu ý: Nếu đảo thứ tự: góc – cạnh – cạnh hoặc cạnh – cạnh – góc là không đúng.

– Hai cạnh và góc xen giữa là hai cạnh này có chung điểm đầu và điểm đầu đó chính là đỉnh của góc xen giữa và hai cạnh của góc chính là hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

– Với tam giác vuông: Ta thấy tất cả các tam giác vuông bao giờ cũng có góc vuông bằng nhau. Đó là góc xen giữa hai cạnh góc vuông. Nên trong hai tam giác vuông nếu có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Kết luận này được gọi là hệ quả.

Hệ quả cũng là một định lí nhưng định lí này được suy ra trực tiếp từ một định lí hoặc một tính chất toán học

– Dấu hiệu góc có thể cho trực tiếp, có thể gián tiếp chẳng hạn:

• Hai tam giác có một góc chung
• Hai góc đối đỉnh
• Góc của các đường song song hay vuông góc
• Tia phân giác của góc -> chia góc thành hai phần bằng nhau …

Ví dụ 2: Cho điểm C nằm giữa 2 điểm A và B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ có chứa đoạn AB vẽ tia Cx và Cy sao cho góc $widehat{BCx}=60^{circ}; widehat{BCy}=120^{circ}$. Lấy điểm E trên Ox và điểm F trên Oy sao cho CE = CB, CF = CA. Chứng minh AE = BF

Hướng dẫn:

C nằm giữa A và B do đó $widehat{ACE}+widehat{BCE}=180^{circ}$

Mà $widehat{BCE}=60^{circ}$ (giả thiết) $Rightarrow widehat{ACE}+60^{circ}=180^{circ}Rightarrow widehat{ACE}=120^{circ}$

Xét $Delta $ACE và $Delta $FCB có:

$widehat{ACE}=widehat{BCF}=120^{circ}$

CE = CB, CF = CA

Do đó $Delta $ACE = $Delta $FCB (c.g.c)

Vậy AE = BF (hai cạnh tương ứng)

3. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc – cạnh – góc (g.c.g)

– Trong tam giác có tổng ba góc trong bằng $180^{circ}$ tính chất này có ý nghĩa quan trọng:

Trong các trường hợp bằng nhau của tam giác, số yếu tố góc cho không quá hai (vì cho biết hai góc ta tính được góc thứ ba nên cho biết ba góc là thừa)

Trường hợp hai góc kề với một cạnh (trường hợp thứ ba). Trong hai góc cho nếu có một góc không kề với cạnh mà bằng nhau thì ta cũng có thể suy ra góc thứ ba (là góc kề với cạnh bằng nhau) cũng bằng nhau.

– Ứng dụng vào các tam giác vuông $Delta $ABC và $Delta $A’B’C’ ta có:

$widehat{A}=widehat{A’}

Nếu cạnh huyền BC = B’C’k; chỉ cần $widehat{B}=widehat{B’}$ thì suy ra được $widehat{C}=widehat{C’}$ (2 góc nhọn phụ nhau). Vậy $Delta $ABC = $Delta $A’B’C’ (c.g.c)

Suy ra hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và một góc nhọn bằng nhau thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

– Qua ba trường hợp bằng nhau của tam giác thường ta thấy một tam giác xác định khi biết ba yếu tố. Trong đó yếu tố góc không quá hai.

Ví dụ 3: Cho $Delta $ABC có AB = 2cm, AC = 2,5cm, BC = 3cm. Từ A kẻ C’B’ // BC, từ B kẻ A’C’ // AC, từ C kẻ A’B’ // AB. Tính chu vi $Delta $A’B’C’

Hướng dẫn:

– Xét $Delta $ABC và $Delta $CB’A có:

AC chung

$widehat{A_{1}}=widehat{C_{2}}$ (B’C’ // BC)

$widehat{A_{2}}=widehat{C_{3}}$ (A’B’ // AB)

Do đó $Delta $ABC = $Delta $CB’A (g.c.g)

$Rightarrow $ AB’ = BC, CB’=AB (1)

Chứng minh tương tự ta có:

$Delta $ABC = $Delta $A’CB $Rightarrow $ A’C = AB, BA’=AC (2)

$Delta $ABC = $Delta $BC’A $Rightarrow $ AC’ = BC, BC’=AC (3)

Từ (1), (2) và (3) ta được:

AB’ + CB’ + AC’ + BC’ + A’C + BA’ = BC + AB + BC + AC + AB + AC

$Leftrightarrow $ B’C’ + B’A’ + C’A’ = 2.(AB+BC+AC) = 2.(2+2,5+3) = 15cm

Vậy chu vi $Delta $A’B’C’ là 15cm.