Ánh xạ (f:D subset R to R) được gọi là một hàm số thực.

D: miền xác định của f.

f(D): miền giá trị của f

Cho hai hàm số f và g có miền xác định lần lượt là D1 và D2. Ta nói : f = g nếu

(left{ begin{array}{l} {D_1} = {D_2}\ f(x) = g(x),forall x in {D_1} end{array} right. )

Hàm số f có miền xác định là D1 và g có miền xác định là D2.

i) Hàm (1 + g) và fg được định nghĩa:

(begin{array}{l} (f + g)(x) = f(x) + g(x)\ (fg)(x) = f(x)g(x) end{array} )

có miền xác định là ({D_1} cap {D_2})

ii) Hàm (frac{f}{g}(x) = frac{{f(x)}}{{g(x)}}) có miền xác định ({D_1} cap {D_2}backslash {D_3})

với ({D_3} = left{ {x notin {D_2}/g(x) = 0} right})

iii) Hàm (sqrt f :sqrt f (x) = sqrt {f(x)})

có miền xác định là ({{rm{D}}_{{rm{1 }}}}{rm{backslash A}}) với (A = left{ {x in D{}_1:fleft( x right) < 0} right})

Vài hàm lượng giác ngược:

y = arcsinx có miền xác định là [-1,1] và miền giá trị (left[ { – frac{pi }{2},frac{pi }{2}} right])

y = arccosx có miền xác định là [-1,1] và miền giá trị là (left[ {0,pi } right])

y = arctgx có miền xác định là (left( { – infty , + infty } right) = R) và miền giá (left( { – frac{pi }{2},frac{pi }{2}} right))

y = arccotgx có miền xác định là (left( { – infty , + infty } right) = R) và miền giá trị là (left[ {0,pi } right])

Nhắc lại: Cho (varepsilon > 0).

(left( {{x_0} – varepsilon ,{x_0} + varepsilon } right) = left{ {x/{x_0} – varepsilon < x < {x_0} + varepsilon } right} = left{ {x/left| {x – {x_0}} right| < varepsilon } right})

được gọi là khoảng mở tâm x0 bán kính (varepsilon) hay còn gọi là lân cận tâm x0 bán kính (varepsilon).

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên (Ibackslash left{ {{x_0}} right})). Ta nói L là giới hạn của f tại x0 nệu điều kiện sau thỏa:

“(forall varepsilon > 0) cho trước, luôn tồn tại (alpha > 0) sao cho (x in I) và (0 < left| {x – {x_0}} right| < alpha Rightarrow left| {f(x) – L} right| < varepsilon )”

Khi đó ta ký hiệu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = L) (ta còn nói là f có giới hạn là L khi (x to {x_0}))

Nhận xét:

i) Định nghĩa này tương tự như định nghĩa sự hội tụ của dãy. Thay N bằng (alpha ), thay n > N bằng (x in I cap ({x_0} – varepsilon ,{x_0} + varepsilon )backslash left{ {{x_0}} right})

ii) Ta cũng có thể định nghĩa: f có giới hạn là L khi (x to {x_0}) nếu với mọi khoảng mở W tâm L bán kính (varepsilon), luôn tồn tại một khoảng mở V tâm x0 bán kính (alpha), sao cho (x in I cap Vbackslash left{ {{x_0}} right} Rightarrow f(x) in W)

iii) Trong định nghĩa trên (x to {x_0}) nhưng (x ne {x_0})

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I {x0}).

i) Ta nói L là giới hạn bên trái tại x0 nếu:

“ (forall varepsilon > 0,exists alpha > 0) sao cho (x in I) và (0 < {x_0} – x < alpha Rightarrow left| {f(x) – L} right| < varepsilon )

ta ký hiệu (mathop {lim }limits_{x to x_{_0}^ – } f(x) = L)

ii) Ta nói L là giới hạn bên phải tại x0 nếu:

“(forall varepsilon > 0,exists alpha > 0)sao cho (x in I) và (0 < {x_0} – x < alpha Rightarrow left| {f(x) – L} right| < varepsilon )

ta ký hiệu (mathop {lim }limits_{x to x_{_0}^ + } f(x) = L)

Nhận xét:

(mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = L Leftrightarrow mathop {lim }limits_{x{ to _{{x^ – }}}} f(x) = mathop {lim }limits_{x{ to _{{x^ + }}}} f(x) = L)

(hay nói khác đi: f có giới hạn là L tại x0 ⇔ f có giới hạn trái và phải tại x0 và hai giới hạn này cùng bằng L)

(vì (0 < left| {x – {x_0}} right| < alpha Leftrightarrow 0 < x – {x_0} < alpha ,hay,0 < {x_0} – x < alpha))

Ví dụ 1: Cho hàm số

(f(x) = left{ begin{array}{l} 2x + 5,,,,,,,,,,,neu,,,,x ne 2\ 6,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,neu,,,,x = 2 end{array} right. )

Chứng minh rằng (mathop {lim }limits_{x to 2} f(x) = 9)

Giải:

Ta có

(begin{array}{l} left| {fleft( x right) – 9} right| = left| {2x + 5 – 9} right| = left| {2x – 4} right| = 2left| {x – 2} right| < varepsilon \ Leftrightarrow left| {x – 2} right| < frac{varepsilon }{2} end{array} )

Vậy (forall varepsilon > 0,exists alpha = frac{varepsilon }{2}) sao cho (left| {x – 2} right| < alpha = frac{varepsilon }{2})

(Rightarrow left| {f(x) – 9} right| < varepsilon Rightarrow mathop {lim }limits_{x to 2} f(x) = 9)

Ví dụ 2: Cho (g(x) = left{ begin{array}{l} {x^2},,,,,,,,,neu,,,x ne 4\ 6,,,,,,,,,,,neu,,,x = 4 end{array} right.). Chứng minh rằng (mathop {lim }limits_{x to 4} g(x) = 16)

Giải: Ta có

(left| {{x^2} – 16} right| = left| {left( {x – 4} right)left( {x + 4} right)} right| = left| {x + 4} right|left| {x – 4} right|)

Coi khoảng mở I tâm 4 bán kính 1 (I = (3, 5))

Ta có (left| {gleft( x right) – 16} right| = left| {x + 4} right|left| {x – 4} right| < 9left| {x – 4} right|left( * right),,forall x in I)và (x ne 4)

Do đó: (forall varepsilon > 0,exists alpha = min left{ {frac{varepsilon }{9},1} right})sao cho (0 < left| {x – 4} right| < alpha)

( Rightarrow left| {f(x) – 16} right| < varepsilon)

Nhận xét: Giả sử (frac{varepsilon }{9} > 1). Nếu chỉ chọn (alpha = frac{varepsilon }{9} > 1) thì bất phương trình (*) không còn đúng (vì có thể (0 < left| {x – 4} right| < alpha) nhưng (x notin I))

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I {x0}). Hai mệnh đề sau là tường đương:

i) (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = L)

ii) Với mọi dãy {xn} chứa trong I hội tụ về x0 và ({x_n} ne {x_0},forall n) thì ta có (mathop {lim }limits_{x to infty } fleft( {{x_n}} right) = L)

Chứng minh:

(i) ⇒ (ii) Vì (mathop {lim }limits_{x to x_0} fleft( {{x}} right) = L)nên “(forall varepsilon > 0,exists alpha > 0) sao cho (x in I) và (0 < left| {x – {x_0}} right| < alpha Rightarrow left| {f(x) – L} right| < varepsilon)” (1)

Dãy {xn} trong I hội tụ về x0 và ({x_n} ne {x_0},forall n) thì với (alpha) ở trên, tồn tại N sao cho (0 < left| {{x_n} – {x_0}} right| < alpha) với mọi n > N (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

“(forall varepsilon > 0,exists N) sao cho (left| {f({x_n}) – L} right| < varepsilon ,forall n > N)”

Vậy (mathop {lim }limits_{n to infty } f({x_n}) = L)

(ii) ⇒ (i) Giả sử (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) ne L)

⇒ “(exists varepsilon > 0) sao cho (forall alpha > 0) thỏa (0 < left| {x – {x_0}} right| < alpha) thì (left| {f(x) – L} right| ge varepsilon)

(forall n in {N^*}), chọn (alpha = frac{1}{n}) thì tồn tại xn sao cho

(0 < left| {{x_n} – {x_0}} right| < alpha = frac{1}{n})và (left| {f({x_n}) – L} right| ge varepsilon)

⇒ tồn tại dãy {xn} chứa trong I hội tụ về x0 và ({x_n} ne {x_0},forall n) nhưng (mathop {lim }limits_{n to + infty } f({x_n}) ne L)

Ví dụ 1: Cho (f(x) = left{ begin{array}{l} sin frac{1}{x},,neu,x ne 0,,\ 0,,,,,,,,,neu,,x = 0 end{array} right. )

Chứng minh rằng f không có giới hạn tại 0 (hay (mathop {lim }limits_{x to infty } f(x)) không tồn tại)

Chứng minh: Xét dãy ({x_n} = frac{1}{{(2n + 1)frac{pi }{2}}} to 0). Nhưng dãy (fleft( {{x_n}} right) = sin frac{1}{{{x_n}}} = sin (2n + 1)frac{pi }{2} = {( – 1)^n})không hội tụ.

Do đó (mathop {lim }limits_{x to 0} f(x)) không tồn tại.

Ví dụ 2: Xét hàm số f(x) = x2. Chứng minh rằng (mathop {lim }limits_{x to 3} f(x) = 9)

Giải:

Với mọi dãy {xn} → 3.

Ta có: (f({x_n}) = x_n^2 = {x_n}.{x_n} to 3.3 = 9 Rightarrow mathop {lim }limits_{x to 3} fleft( x right) = 9)

i) Cho f xác định trên (I = left( {a, + infty } right) = left{ {x in R/x > a} right}). Ta nói f có giới hạn là L ở ( + infty), nếu: “(forall varepsilon > 0,exists B > 0) sao cho (x in I) và (x > B Rightarrow left| {f(x) – L} right| < varepsilon)”

Ký hiệu (mathop {lim }limits_{x to + infty } f(x) = L)

ii) f xác định trên (I = left( { – infty ,{rm{ }}a} right) = left{ {x in R/x < a} right})

Ta nói f có giới hạn là L ở (- infty) nếu: “(forall varepsilon > 0,exists B > 0) sao cho (x in I) và (x >- B Rightarrow left| {f(x) – L} right| < varepsilon)” .

Ký hiệu (mathop {lim }limits_{x to – infty } f(x) = L)

Nhận xét: Định nghĩa trên hoàn toàn tương tự với định nghĩa giới hạn của dãy số.

Cho hàm số f xác định trên (I = left( {a, + infty } right)). Khi đó, hai tính chất sau tương đương :

i) (mathop {lim }limits_{x to + infty } f(x) = L)

ii) (forall ) dãy (left{ {{x_n}} right} to + infty Rightarrow mathop {lim }limits_{n to + infty } f(x) = L)

Ghi chú: Ta có phát biểu tương tự cho trường hợp (mathop {lim }limits_{n to – infty } f(x) = L)

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I {x0} ). Giới hạn của f tại x0 (nếu có) là duy nhất

Chứng minh :

Giả sử (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} = {L_1},va,mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = {L_2})

Giả sử ({L_1} < {L_2} Rightarrow {L_2} – {L_1} > 0)

Coi (varepsilon = frac{{{L_2} – {L_1}}}{2} > 0), ta có: vì f có giới hạn là L1 và L2 tại x0 nên (exists {alpha _1} > 0) và ({alpha _2} > 0) sao cho:

(x in I,va,0 < left| {x – {x_0}} right| < {alpha _1})

(Rightarrow – frac{{{L_2} – {L_1}}}{2} < f(x) – {L_1} < frac{{{L_2} – {L_1}}}{2})

(Rightarrow f(x) < frac{{{L_1} + {L_2}}}{2},,,,,(1))

(x in I) và (0 < left| {x – {x_0}} right| < {alpha _2})

(Rightarrow – frac{{{L_2} – {L_1}}}{2} < f(x) – {L_2} < frac{{{L_2} – {L_1}}}{2})

(Rightarrow f(x) > frac{{{L_1} + {L_2}}}{2},,,,,(2))

Chọn (alpha = min left{ {{alpha _1},{alpha _2}} right})

Ta có: khi (x in I) và (0 < left| {x – {x_0}} right| < alpha). Ta có (1) và (2) đồng thời xảy ra, suy ra vô lý.

Tương tự khi L1 > L2

Vậy L1 = L2

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I {x0} ).

i) Nếu giới hạn của f tại x0 tồn tại hữu hạn thì tồn tại k > 0 và một khoảng mở J chứa x0 sao cho (left| {f(x)} right| le k,forall x in Jbackslash left{ {{x_0}} right})

ii) Giả sử (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = L ne 0)thì tồn tại k1 > 0 và một khoảng mở J1 sao cho (left| {f(x)} right| > {k_1},forall x in {J_1}backslash { {x_0}})

Chứng minh:

Giả sử (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = A)

Coi (varepsilon = 1,exists alpha > 0) sao cho (x in I) và (0 < left| {x – {x_0}} right| < alpha)

(Rightarrow left| {f(x) – A} right| < varepsilon = 1)

( Rightarrow left| {fleft( x right){rm{ }}} right| = {rm{ }}left| {A{rm{ }} + {rm{ }}fleft( x right){rm{ }} – {rm{ }}A} right|{rm{ }} < {rm{ }}left| A right|{rm{ }} + {rm{ }}left| {fleft( x right){rm{ }} – {rm{ }}A} right|)

(< left| A right| + 1,forall x in I) và (0 < left| {x – {x_0}} right| < alpha)

Vậy (exists k = left| A right| + 1,,va,,J = I cap ({x_0} – alpha ,{x_0} + alpha )) sao cho (left| {f(x)} right| le k,forall x in Jbackslash left{ {{x_0}} right})

Tất cả các mệnh đề sau được suy từ các tính chất của giới hạn của dãy số, mệnh đề 3 và mệnh đề 5 của chương này.

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I {x0} ).

Nếu (left{ begin{array}{l} f(x) ge 0,,,forall x in Ibackslash left{ {{x_0}} right}\ mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = L end{array} right. ) thì (L ge 0)

Mệnh đề trên vẫn đúng khi thay x → x0 bằng (x to x_0^ + ;x to x_0^ – ,hay,x to pm infty)

Ghi chú: tương tự như dãy số, nếu thay giả thiết bởi giả thiết (fleft( x right){rm{ }} > {rm{ }}0,{rm{ }}forall x in I{rm{ backslash }}left{ {{x_0}} right})ta cũng chỉ kết luận (L ge 0)

(Các phép toán trên giới hạn hàm số)

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I {x0} ).

Giả sử (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = L,mathop {lim }limits_{x to {x_0}} ,g(x) = M)

Khi đó:

(begin{array}{l} i),mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {f(x) + g(x)} right] = L + M\ ii),mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {kf(x)} right] = kL\ iii),mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {f(x)g(x)} right] = LM\ iv),mathop {lim }limits_{x to {x_0}} frac{{f(x)}}{{g(x)}} = frac{L}{M},,(dk,M ne 0)\ v),mathop {lim }limits_{x to {x_0}} sqrt {f(x)} = sqrt L , end{array} )

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f, g xác định trên I (hoặc xác định trên I {x0} ) và (f(x) ge g(x),forall x in Ibackslash { {x_0}})

Nếu (left{ begin{array}{l} mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = L\ mathop {lim }limits_{x to {x_0}} g(x) = M end{array} right.,,,thi,L ge M )

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f, g, h xác định trên I (hoặc xác định trên I {x0} ) và (fleft( x right){rm{ }} le {rm{ }}gleft( x right){rm{ }} le {rm{ }}hleft( x right),{rm{ }}forall x{rm{ }} in Ibackslash {rm{ }}left{ {{x_0}} right}).

Nếu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {x_0}} h(x) = L,,,thi,,mathop {lim }limits_{x to {x_0}} g(x) = ,L)

Ví dụ: Tìm (mathop {lim }limits_{x to 0} {x^2}sin frac{1}{2})

Ta có: (0 le left| {{x^2}sin frac{1}{x}} right| le {x^2},forall x ne 0)

Mà (mathop {lim }limits_{x to 0} {x^2} = mathop {lim }limits_{x to 0} 0 = 0,nen,mathop {lim }limits_{x to 0} left| {{x^2}sin frac{1}{x}} right| = 0)

Vậy (mathop {lim }limits_{x to 0} {x^2}sin frac{1}{x} = 0)

Cho hàm số I xác định trên D. Ta nói

• f bị chận trên trên D nếu (exists M{rm{ }}:{rm{ }}fleft( x right){rm{ }} le M,{rm{ }}forall x{rm{ }} in {rm{ }}D)
• f bị chận dưới trên D nếu (exists M{rm{ }}:{rm{ }}fleft( x right){rm{ }} ge M,{rm{ }}forall x{rm{ }} in {rm{ }}D)
• f bị chận trên D ⇔ f bị chận trên, bị chận dưới trên D ( Leftrightarrow exists M{rm{ }}:{rm{ }}left| {fleft( x right)} right|{rm{ }} le {rm{k}},{rm{ }}forall x{rm{ }} in {rm{ }}D)

Từ mệnh đề 7, ta thấy nếu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x)) tồn tại hữu hạn thì có một khoảng mở J chứa x0 để f bị chặn trên J{x0} (f có giới hạn hữu hạn tại x0 ⇒ f bị chặn trên khoảng mở chứa x0 (có thể ngoại trừ x0))

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I{x0} ).

Nếu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = 0,,va,,left| {g(x)} right| le M,forall x in Ibackslash left{ {{x_0}} right},,thi,,mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x)g(x) = 0)