Trang 1 của 19
ÔN THI TỐT NGHIỆP
CÔNG THỨC CƠ BẢN
MÔN TOÁN LỚP 12
Trang 2 của 19
PHẦN 1: HÀM SỐ
Đạo hàm Hàm số hợp
Các quy tắc tính
‘
0 C ( C là hằng số )
‘
‘
‘
”
‘
”
‘
”
2
. . ,
. . .
..
k u k u k R
u v u v
u v u v u v
u u v u v
vv
‘
1 x
‘
1
xx
‘
‘1
.. u u u
‘
1
2
x
x
‘
‘
2
u
u
u
‘
2
ax b ad bc
cx d
cx d
‘
2
11
xx
‘
‘
2
1 u
uu
‘
sin cos xx
‘
os sin c x x
‘
sin ‘.cos u u u
‘
‘
cos .sin u u u
‘
2
1
tan
os
x
cx
‘
2
1
cot
sin
x
x
‘
‘
2
tan
os
u
u
cu
‘
‘
2
cot
sin
u
u
u
‘
‘
.ln
xx
xx
a a a
ee
‘
‘
‘
‘
. .ln
.
uu
uu
a u a a
e u e
‘
‘
1
log
ln
1
ln
a
x
xa
x
x
‘
‘
‘
‘
log
ln
ln
a
u
u
ua
u
u
u
Trang 3 của 19
I. ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN – CỰC TRỊ:
Dạng 1: Tìm m để hàm số luôn đb hoặc nb trên D.
Phƣơng pháp:
– Hàm số
axb
y
cx d
đồng biến trên D
‘
0 y x D
– Hàm số
axb
y
cx d
đồng biến trên D
‘
0 y x D
– Hàm số
32
a y x bx cx d đồng biến trên R
‘
0
0
0
a
yx
– Hàm số
32
a y x bx cx d nghịch biến trên R
‘
0
0
0
a
yx
Chú ý:
32
a y x bx cx d nếu a có chứa tham số ta xét thêm
trƣờng hợp 0 a khảo sát sự biến thiên xem có thỏa bài toán không.
Dạng 2: Tìm m để hàm số
y f x đạt cực trị tại
0
x
Phƣơng pháp:
– Tìm TXĐ
– Tìm đạo hàm
‘
y
– Hàm số đạt cực trị tại
0
x thì:
‘
0
0 fx giải tìm tham số m
Chú ý: Muốn kiểm tra xem hàm số đạt CĐ hay CT ta thế giá trị m vào
hàm số sau đó khảo sát tính tăng giảm của hàm số, rồi kết luận.
Dạng 3: : Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu:
–
32
a y x bx cx d có cực đại cực tiểu
‘
0 y có 2 nghiệm phân biệt
–
42
a y x bx c có cực đại cực tiểu
‘
0 y có 3 nghiệm phân biệt
Trang 4 của 19
II. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Dạng : Tìm GTLN_GTNN của hàm số
y f x trên đoạn
; ab
Phƣơng pháp:
– Tìm đạo hàm
‘
y
– Giải phương trình
1
2 ‘
0
………
i
xx
xx
y
xx
(chỉ nhận
; x a b )
– Tính
12
, , , …,
i
y a y b y x y x y x so sánh chúng và kết
luận giá trị LN và NN.
Nhận xét:
– Nếu hàm số không chỉ rõ đoạn
; ab ta tìm giá trị LN và NN
trên tập xác định của nó.
– Dùng bảng biến thiên để tìm giá trị LN và NN trong các
trường hợp không phải xét trên
; ab
– Nếu đặt ẩn phụ t phải tìm điều kiện của ẩn phụ đó (có thể dùng bbt)
2
2
1 sin 1 0 sin 1
1 os 1 0 os 1
2 sin o 2
xx
c x c x
x c x
Trang 5 của 19
III. MỘT SỐ BÀI TOÁN THƢỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ:
1. Giao điểm của hai đồ thị :
Dạng: Giaû söû hai haøm soá y = f(x), y = g(x) laàn löôït coù hai ñoà thò (C
1
) vaø (C
2
).
Haõy tìm caùc giao ñieåm cuûa (C
1
) vaø (C
2
).
2. Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bằng đồ thị:
Dạng: Cho hàm số
y f x có đồ thị (C). Dựa vào đồ thị (C) hãy biện
luận số nghiệm của phƣơng trình
1
,0 F x m theo tham số m.
Phƣơng pháp:
– Chuyển pt
,0 F x m f x g m
– Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của hai đường (C) và
đường thẳng
y g m
– Dựa vào đồ thị (C) đã vẽ biện luận số nghiệm pt (1) theo m.
Lƣu ý :
y g m có đồ thị song song ox. Cắt oy tại g(m)
Phƣơng pháp:
– Giaûi phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm f(x) = g(x) ta coù
nghieäm x
0
–
Thay x
0
vaøo moät trong hai haøm soá ta coù y
0
.
–
Toïa ñoä giao ñieåm laø M(x
0
,y
0
).
Nhaän xeùt:
– Soá giao ñieåm cuûa (C
1
) vaø (C
2
) bằng soá nghieäm phöông trình
f(x) = g(x)
–
Trang 6 của 19
3. Viết phƣơng trình tiếp tuyến:
Dạng 1: Tiếp tại điểm thuộc đồ thị của hàm số.
Dạng 2: Phƣơng trình tiếp tuyến biết trƣớc hệ số góc của nó:
Dạng 3: Phƣơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm:
Cho hàm số
y f x có đồ thị là (C).
00
; M x y C phương
trình tiếp tuyến tại M là:
– Tìm ‘ y
– Tính
‘
0
yx
– Tìm
00
; M x y
– Pttt tại
00
; M x y là
‘
0 0 0
: y y x x x y
Cho hàm số
y f x có đồ thị là (C). Tìm phương trình tiếp
tuyến với (C) biết có hệ số góc là k.
Phƣơng pháp:
– Gọi
00
; M x y là tọa độ tiếp điểm
– Giải pt
‘
0
y x k tìm
0 0 0
x y f x
– Phương trình
00
: y k x x y
Nhận xét:
a a . 1 y x b k a y x b k a
Cho hàm số
y f x có đồ thị là (C). Tìm phương trình tiếp
tuyến với (C) biết đi qua
;
AA
A x y
– Gọi
00
; M x y là tọa độ tiếp điểm
00
y f x
–
‘
0
y x k
– Phương trình
00
: ( ) y k x x y
–
0 0 0 0
;
A A A A
A x y y k x x y x y
Trang 7 của 19
PHẦN 2: MŨ-LÔGARIT
1. Công thức mũ hay sử dụng :
Giả sử các điều kiện đƣợc thỏa mãn.
1
1
1 1 1
1
n n n
n
ab
a a a
b a a a a
1
2
m
n m n
nn
a a a a
3 . .
m
m
m
mm
m
aa
a b a b
bb
4.
m
m n m n m n
n
a
a a a a
a
m.n
5
nm
mn
a a a
2. Công thức logarit hay sử dụng:
Giả sử các điều kiện đƣợc thỏa mãn.
1 log , lg 10 , ln
m m m
b m a b b m b b m e b
a
log
2
b
a
ab
3 log . log log log log log
A
A B A B A B
a a a a a a
B
1
1
4 log .log log log .log
m m
m
A m A A A A
a a a a a
m
1
5 log log
m
AA
a
m
a
1
6 log
lg
b
a
oa
b
log
7 log log .log log
log
c
a
c b c c
aa
bb
b
a
3. Hàm số lũy thừa – hàm số mũ – hàm số logarit:
Trang 8 của 19
Định nghĩa TXĐ Đạo hàm
Hàm số lũy thừa
yx
Phụ thuộc
‘
1
. xx
‘
1
.u’.u u
Hàm số mũ
x
ya 0; 1 aa
D
‘
‘
.ln
xx
ee
xx
a a a
‘
‘.
‘
‘ .ln
uu
e u e
uu
a u a a
Hàm số logarit
log yx
a
0; 1 aa
0; D
1
‘
ln
1
‘
log
.ln
x
x
x
a
xa
‘
‘
lnu
‘
‘
log
u.ln
u
u
u
u
a
a
4. Phƣơng trình mũ – logarit hay gặp:
PT Mũ PT Logarit
Dạng cơ bản: 0; 1 aa
: 0 log
x
a
TH b a b x b
:0
x
TH b a b x
Dạng cơ bản: 0; 1 aa
log ( )
lg 10
ln
b
a
b
b
f x b f x a
f x b f x
f x b f x e
Đƣa về cùng cơ số:
0; 1 aa
f x g x
a a f x g x
Đƣa về cùng cơ số: 0; 1 aa
log ( ) log ( )
aa
f x g x
– Điều kiện: ( ) 0 fx hoặc ( ) 0 gx
– PT trở thành: ( ) ( ) f x g x
Đặt ẩn phụ: 0; 1 aa
– Đƣa về dạng:
2
. . 0
f x f x
A a B a C
Đặt ẩn phụ: 0; 1 aa
– Điều kiện logrit
log
a
fx là
0 fx
Trang 9 của 19
– – Đặt
fx
ta
– – Điều kiện: 0 t
– – Giải pt so điều kiện
t > 0 tx
– Đƣa về dạng:
2
. log .log 0
aa
A f x B f x C
– Đặt:
log
a
t f x
– Giải pt t so điều kiện x x
5. Bất phƣơng trình mũ và logarit:
Bất PT mũ Bất PT logarit
Đƣa về cùng cơ số:
:1
: 0 1
f x g x
f x g x
TH a
a a f x g x
TH a
a a f x g x
Chú ý : cách đƣa về số mũ
cơ số a tùy ý
log b
a
ba
Đƣa về cùng cơ số:
log log
aa
f x g x
Đk ban đầu :
0
0
fx
gx
:1
log log
aa
TH a
f x g x f x g x
: 0 1
log log
aa
TH a
f x g x f x g x
Giải xong so với Đk ban đầu x
Chú ý : cách đƣa về logarit cơ số a tùy ý
log
b
ba
a
Trang 10 của 19
Đặt ẩn phụ:
– Đƣa pt về cùng
fx
a
– Đặt
fx
ta Đk: 0 t
– Giải BPT theo t
– So đk 0 t
– Giải BPT tìm x
Đặt ẩn phụ:
– Tìm Đk ban đầu của logarit
– Đƣa pt về cùng logarit
log
a
fx
– Đặt
log
a
t f x
– Giải BPT theo t
– Giải BPT theo x
– So Đk ban đầu tìm x
Trang 11 của 19
PHẦN 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
I. BẢNG NGUYÊN HÀM:
ĐN:
‘
( ) ( ) f x dx G x C G x C f x
1
2
1 0 , 1
2
1
11
3
1
4 ln
dx C dx x C
x
x dx C
dx C
xx
dx x C
x
1
1
2.
1
11
4 .ln
ax b
ax b dx C
a
dx ax b C
ax b a
5
ln
x
x x x
a
e dx e C a dx C
a
1
5.
ax b ax b
e dx e C
a
6 sin cos
7 cos sin
xdx x C
xdx x C
1
6 sin( ) .cos
1
7 cos( ) .sin
ax b dx ax b C
a
ax b dx ax b C
a
2
2
1
8 tan
os
1
9 cot
sin
dx x C
cx
dx x C
x
2
2
11
8 .tan
os
11
9 cot
sin
dx ax b C
c ax b a
dx ax b C
ax b a
II. TÍCH PHÂN- PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:
ĐN: ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a
1. Đổi biến số: . ‘( ).
b
a
I f u x u x dx
– Đặt:
‘( ) t u x dt u x dx
Trang 12 của 19
– Đổi cận:
x a t u a
x b t u b
– Thế vào:
. ‘( ).
ub
b
a u a
I f u x u x dx f t dt
2. Công thức từng phần:
Chú ý:
a/
a
22
( ).sin a
( ). osa
( ).
( ) ( )
sin cos
x
I P x xdx
I P x c xdx
I P x e dx
P x P x
I dx I dx
xx
đặt () u P x
b/ ( ).ln(a ) I P x x b dx
đặt ln(a ) u x b
3/ Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối:
b
a
I f x dx
– Giải phương trình
0 fx tìm các nghiệm
1 2 3
; ; … ; x x x a b
–
3 1
1
…
n
x x b
a x x
I f x dx f x dx f x dx
4/ Tích phân hàm số hữu tỉ:
()
()
b
a
Px
I dx
Qx
– Nếu bậc P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc Q(x) thì lấy P(x) chia Q(x).
– Đặt
t Q x
–
11
.ln a
a
I dx x b C
x b a
..
bb
b
a
aa
I u dv u v vdu
Trang 13 của 19
–
2
1 2 1 2
1 1 1 1
a ( )
I dx dx
x bx c a x x x x x x
Công thức phân tích đa thức:
1 2 1 2
22
… …
( ) ( )
nm
n m n m
Px AB A A B B
x a x a x a x a
x a x b x a x a
III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN:
1/ Tính điện tích hình phẳng:
0 ( )
:
b
a
y f x
y Ox
H S f x dx
xa
xb
()
: ( ) ( )
b
a
y f x
y g x
H S f x g x dx
xa
xb
Chú ý: giải pthđgđ:
() f x g x tìm a và b (nếu chưa có)
2/ Thể tích vật thể tròn xoay quay quanh trục Ox:
2
0 ( )
:
b
a
y f x
y Ox
H V f x dx
xa
xb
2
:
b
a
y f x
y g x
H V f x g x dx
xa
xb
Chú ý: giải pthđgđ:
0 fx tìm a và b (nếu chưa có)
Trang 14 của 19
PHẦN 4: SỐ PHỨC
2
1 i
1 , ( )
0
0
z a bi a b z x yi
z lathuan ao a
z lathuanthuc b
2
2 2 2 2
z a b z a b
z a bi
; z x yi M x y Oxy
2
2
4 : 0
4
0
2
2
0
2
Pt az bz c
b ac
b
z
a
bi
z
a
bi
z
a
12
12
12
12
2
1 2 0
; à : 0
b
S z z
a
Viet
c
P z z
a
z z S
z z P
z z l n pt Z SZ P
22
2 ‘ ‘ ‘
‘
‘
‘
‘ ‘ ‘
. ‘ ‘ ‘
. ‘ . ‘
‘ ‘ ‘ .’
z a bi and z a b i
aa
zz
bb
z z a a b b i
z z a bi a b i
z z z z z
z a b zz
30
b
pt az b z
a
5. Tìm số phức thỏa điều kiện cho trƣớc
Cách giải (chú ý bài toán thƣờng có giả thiết ;; z z z )
B1: Đặt , z a bi a b hay z x yi , xy
B2: Thế vào biến đổi giả thiết thường đưa về dạng hai số phức bằng nhau
B3: Biến đổi điều kiện hai số phức bằng nhau đưa về hệ phương trình
giải hệ kq
Trang 15 của 19
PHẦN 5 : KHỐI ĐA DIỆN-MẶT CẦU-MẶT TRỤ-MẶT NÓN
Hình Chóp
1
.
3
V B h – B diện tích đáy
– h chiều cao
Lăng trụ . V B h
Hình nón
2
11
..
33
xq
V B h r h
S rl
– B diện tích đáy
– h chiều cao
– r bán kính
– l đường sinh
Hình trụ
2
.
2
xq
V B h r h
S rl
– B diện tích đáy
– h chiều cao
– r bán kính
– l đường sinh
Hình cầu
3
2
4
3
4
Vr
Sr
– r bán kính mặt cầu
Trang 16 của 19
PHẦN 6: PP TỌA TRONG KHÔNG GIAN
I. CÔNG THỨC TỌA ĐỘ:
1 2 3 1 2 3
; ; ; ; a a a a b b b b
1 2 2
1 1 2 2 3 3
11
22
33
1 . ; ;
2 ; ;
3
k a ka ka ka
a b a b a b a b
ab
a b a b
ab
1 1 2 2 3 3
4 . . . . a b a b a b a b
33 2 1 1 2
2 3 3 1 1 2
5 ; , ,
aa a a a a
b b b b b b
ab
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
6 cos ,
.
a b a b a b ab
ab
ab a a a b b b
– Hai vectơ ; ab vuông góc .0 ab
– Hai vectơ ; ab cùng phương
3 12
1 2 3
;0
a aa
ab
b b b
; ; ; ;
A A A B B B
A x y z B x y z
2 2 2
1 ; ;
2
B A B A B A
B A B A B A
AB x x y y z z
AB x x y y z z
3 M là trung điểm của AB thì
;;
2 2 2
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x y z
Nhận xét:
( ,0,0)
0, ,0
0,0,
M
M
M
M Ox M x
M Oy M y
M Oz M z
Trang 17 của 19
II. PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:
1. Phƣơng trình tổng quát của mp :
A 0 : ; ; x By Cz D VTPT n A B C
2. PT mp đi qua điểm
0 0 0 0
;; M x y z và có
;; VTPT n A B C là:
0 0 0
A0 x x B y y C z z
Nhận xét: nếu mp có 2
1 2 3 1 2 3
: ; ; , ; ; VTCP a a a a b b b b
Thì :; VTPT n a b
– Mp qua
A ;0;0 , (0; ;0), 0;0; a B b C c là:
:1
x y z
ABC
a b c
3. Khoảng cách từ ( ; ; )
M M M
M x y z đến mp
:A 0 x By Cz D
là
2 2 2
. . .
,
M M M
A x B y C z D
dM
A B C
Chú ý:
– Mp:
Ox : 0 Ox ; ;0
MM
y z M y M x y
– Mp:
Oxz : 0 Oxz ;0;
MM
y M M x z
– Mp:
O : 0 O 0; ;
MM
yz x M yz M y z
III. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG:
Đường thẳng đi qua
0 0 0 0
( ; ; ) M x y z có VTCP ;; u a b c
– Pt tham số
0
0
0
:
x x at
y y bt
z z ct
– 0 abc Pt chính tắt
0 0 0
:
x x y y z z
a b c
Nhận xét:
0 0 0
;; M M x at y bt z ct
Trang 18 của 19
IV. PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU:
– Mặt cầu (S) tâm ( ; ; ) I a b c bán kính R có phương trình là:
2 2 2
2
x a y b z c R
– PT:
2 2 2
2a 2 2 0 x y z x by cz d
Là phương trình mặt cầu nếu:
2 2 2
0 a b c d
Tâm: ( ; ; ) I a b c bán kính
2 2 2
R a b c d
V. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI:
1. Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng:
0
0
0
: ; ;
x x at
y y bt u a b c
z z ct
và
0
0
0
‘ ‘ ‘
‘: ‘ ‘ ‘ ‘ ‘; ‘; ‘
‘ ‘ ‘
x x a t
y y b t u a b c
z z c t
Xét hệ phƣơng trình:
00
00
00
‘ ‘ ‘
‘ ‘ ‘
‘
‘ ‘ ‘
x at x a t
y bt y b t
z ct z c t
TH1: nếu hệ có nghiệm thì 2 đƣờng cắt nhau tại ( ; ; )
I I I
I x y z là
nghiệm của hệ.
TH2: nếu hệ vô nghiệm
– ,’ uu cùng phƣơng thì ‘
– ,’ uu không cùng phƣơng thì chéo với ‘
Chú ý: ‘ . ‘ 0 uu
Trang 19 của 19
2. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng:
0
0
0
:
x x at
y y bt
z z ct
và
:0 Ax By Cz D
Xét hệ phƣơng trình:
0
0
0
:0 Ax By Cz D
x x at
y y bt
z z ct
TH1: hệ vô nghiệm
TH2: hệ có nghiệm duy nhất
I tọa độ là n
o
của hệ
TH3: hệ vô số nghiệm
3. Vị trí tƣơng đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:
Cho mp
:0 Ax By Cz D
Và mặt cầu (S) tâm
;; I a b c bán kính R
Tính:
;( ) dI
TH1:
dR tiếp xúc với (S)
TH2:
dR cắt (S) theo đường tròn (C) có bán kính
22
r R d
TH3:
dR và (S) không có điểm chung.
Thầy chúc các em học tốt !