Đề cương ôn thi tốt nghiệp toán 12

Trang 1 của 19

ÔN THI TỐT NGHIỆP

CÔNG THỨC CƠ BẢN

MÔN TOÁN LỚP 12

Trang 2 của 19

PHẦN 1: HÀM SỐ

Đạo hàm Hàm số hợp

Các quy tắc tính

 

‘

0 C  ( C là hằng số )

 

 

 

‘

‘

‘

”

‘

”

‘

”

2

. . ,

. . .

..

k u k u k R

u v u v

u v u v u v

u u v u v

vv



  



 







 

‘

1 x 

 

‘

1

xx









 

‘

‘1

.. u u u









 

‘

1

2

x

x



 

‘

‘

2

u

u

u



 

‘

2

ax b ad bc

cx d

cx d

 







 

‘

2

11

xx









‘

‘

2

1 u

uu









 

‘

sin cos xx 

 

‘

os sin c x x 

 

‘

sin ‘.cos u u u 

 

‘

‘

cos .sin u u u 

 

‘

2

1

tan

os

x

cx



 

‘

2

1

cot

sin

x

x



 

‘

‘

2

tan

os

u

u

cu



 

‘

‘

2

cot

sin

u

u

u



 

 

‘

‘

.ln

xx

xx

a a a

ee





 

 

‘

‘

‘

‘

. .ln

.

uu

uu

a u a a

e u e





 

 

‘

‘

1

log

ln

1

ln

a

x

xa

x

x





 

 

‘

‘

‘

‘

log

ln

ln

a

u

u

ua

u

u

u





Trang 3 của 19

I. ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN – CỰC TRỊ:

Dạng 1: Tìm m để hàm số luôn đb hoặc nb trên D.

Phƣơng pháp:

– Hàm số

axb

y

cx d







đồng biến trên D

‘

0 y x D    

– Hàm số

axb

y

cx d







đồng biến trên D

‘

0 y x D    

– Hàm số

32

a y x bx cx d     đồng biến trên R

‘

0

0

0

a

yx

 

    







– Hàm số

32

a y x bx cx d     nghịch biến trên R

‘

0

0

0

a

yx

 

    







Chú ý:

32

a y x bx cx d     nếu a có chứa tham số ta xét thêm

trƣờng hợp 0 a  khảo sát sự biến thiên xem có thỏa bài toán không.

Dạng 2: Tìm m để hàm số

  y f x  đạt cực trị tại

0

x

Phƣơng pháp:

– Tìm TXĐ

– Tìm đạo hàm

‘

y

– Hàm số đạt cực trị tại

0

x thì:

 

‘

0

0 fx  giải tìm tham số m

Chú ý: Muốn kiểm tra xem hàm số đạt CĐ hay CT ta thế giá trị m vào

hàm số sau đó khảo sát tính tăng giảm của hàm số, rồi kết luận.

Dạng 3: : Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu:

–

32

a y x bx cx d     có cực đại cực tiểu

‘

0 y  có 2 nghiệm phân biệt

–

42

a y x bx c  có cực đại cực tiểu

‘

0 y  có 3 nghiệm phân biệt

Trang 4 của 19

II. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Dạng : Tìm GTLN_GTNN của hàm số

  y f x  trên đoạn

 

; ab

Phƣơng pháp:

– Tìm đạo hàm

‘

y

– Giải phương trình

1

2 ‘

0

………

i

xx

xx

y

xx

 

















(chỉ nhận

 

; x a b  )

– Tính

         

12

, , , …,

i

y a y b y x y x y x so sánh chúng và kết

luận giá trị LN và NN.

Nhận xét:

– Nếu hàm số không chỉ rõ đoạn

 

; ab ta tìm giá trị LN và NN

trên tập xác định của nó.

– Dùng bảng biến thiên để tìm giá trị LN và NN trong các

trường hợp không phải xét trên

 

; ab

– Nếu đặt ẩn phụ t phải tìm điều kiện của ẩn phụ đó (có thể dùng bbt)

2

2

1 sin 1 0 sin 1

1 os 1 0 os 1

2 sin o 2

xx

c x c x

x c x

     

     

   

Trang 5 của 19

III. MỘT SỐ BÀI TOÁN THƢỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ:

1. Giao điểm của hai đồ thị :

Dạng: Giaû söû hai haøm soá y = f(x), y = g(x) laàn löôït coù hai ñoà thò (C

1

) vaø (C

2

).

Haõy tìm caùc giao ñieåm cuûa (C

1

) vaø (C

2

).

2. Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bằng đồ thị:

Dạng: Cho hàm số

  y f x  có đồ thị (C). Dựa vào đồ thị (C) hãy biện

luận số nghiệm của phƣơng trình

 

  1

,0 F x m  theo tham số m.

Phƣơng pháp:

– Chuyển pt

      ,0 F x m f x g m   

– Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của hai đường (C) và

đường thẳng

  y g m 

– Dựa vào đồ thị (C) đã vẽ biện luận số nghiệm pt (1) theo m.

Lƣu ý :

  y g m  có đồ thị song song ox. Cắt oy tại g(m)

Phƣơng pháp:

– Giaûi phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm f(x) = g(x) ta coù

nghieäm x

0

–

Thay x

0

vaøo moät trong hai haøm soá ta coù y

0

.

–

Toïa ñoä giao ñieåm laø M(x

0

,y

0

).

Nhaän xeùt:

– Soá giao ñieåm cuûa (C

1

) vaø (C

2

) bằng soá nghieäm phöông trình

f(x) = g(x)

–

Trang 6 của 19

3. Viết phƣơng trình tiếp tuyến:

Dạng 1: Tiếp tại điểm thuộc đồ thị của hàm số.

Dạng 2: Phƣơng trình tiếp tuyến biết trƣớc hệ số góc của nó:

Dạng 3: Phƣơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm:

Cho hàm số

  y f x  có đồ thị là (C).

   

00

; M x y C  phương

trình tiếp tuyến tại M là:

– Tìm ‘ y

– Tính

 

‘

0

yx

– Tìm

 

00

; M x y

– Pttt tại

 

00

; M x y là    

‘

0 0 0

: y y x x x y    

Cho hàm số

  y f x  có đồ thị là (C). Tìm phương trình tiếp

tuyến  với (C) biết  có hệ số góc là k.

Phƣơng pháp:

– Gọi

 

00

; M x y là tọa độ tiếp điểm

– Giải pt

 

‘

0

y x k  tìm  

0 0 0

x y f x 

– Phương trình

 

00

: y k x x y    

Nhận xét:

a a . 1 y x b k a y x b k a            

Cho hàm số

  y f x  có đồ thị là (C). Tìm phương trình tiếp

tuyến  với (C) biết  đi qua

  ;

AA

A x y

– Gọi

 

00

; M x y là tọa độ tiếp điểm

 

00

y f x 

–

 

‘

0

y x k 

– Phương trình

00

: ( ) y k x x y    

–

   

0 0 0 0

;

A A A A

A x y y k x x y x y          

Trang 7 của 19

PHẦN 2: MŨ-LÔGARIT

1. Công thức mũ hay sử dụng :

Giả sử các điều kiện đƣợc thỏa mãn.

1

1

1 1 1

1

n n n

n

ab

a a a

b a a a a





       

      

       

       

1

2

m

n m n

nn

a a a a   

  3 . .

m

m

m

mm

m

aa

a b a b

bb



  





4.

m

m n m n m n

n

a

a a a a

a



  

   

m.n

5

nm

mn

a a a 

2. Công thức logarit hay sử dụng:

Giả sử các điều kiện đƣợc thỏa mãn.

1 log , lg 10 , ln

m m m

b m a b b m b b m e b

a

        

log

2

b

a

ab 

  3 log . log log log log log

A

A B A B A B

a a a a a a

B



    





1

1

4 log .log log log .log

m m

m

A m A A A A

a a a a a

m

   

1

5 log log

m

AA

a

m

a



1

6 log

lg

b

a

oa

b



log

7 log log .log log

log

c

a

c b c c

aa

bb

b

a

  

3. Hàm số lũy thừa – hàm số mũ – hàm số logarit:

Trang 8 của 19

Định nghĩa TXĐ Đạo hàm

Hàm số lũy thừa

yx





Phụ thuộc



 

‘

1

. xx









 

‘

1

.u’.u u









Hàm số mũ

x

ya    0; 1 aa 

D 

 

 

‘

‘

.ln

xx

ee

xx

a a a





 

 

‘

‘.

‘

‘ .ln

uu

e u e

uu

a u a a





Hàm số logarit

log yx

a

   0; 1 aa 

  0; D   

 

 

1

‘

ln

1

‘

log

.ln

x

x

x

a

xa





 

 

‘

‘

lnu

‘

‘

log

u.ln

u

u

u

u

a

a





4. Phƣơng trình mũ – logarit hay gặp:

PT Mũ PT Logarit

Dạng cơ bản: 0; 1 aa 

: 0 log

x

a

TH b a b x b    

:0

x

TH b a b x     

Dạng cơ bản: 0; 1 aa 

 

   

   

log ( )

lg 10

ln

b

a

b

b

f x b f x a

f x b f x

f x b f x e

  

  

  

Đƣa về cùng cơ số:

0; 1 aa 

   

   

f x g x

a a f x g x   

Đƣa về cùng cơ số: 0; 1 aa 

log ( ) log ( )

aa

f x g x 

– Điều kiện: ( ) 0 fx  hoặc ( ) 0 gx 

– PT trở thành: ( ) ( ) f x g x 

Đặt ẩn phụ: 0; 1 aa 

– Đƣa về dạng:

 

 

 

2

. . 0

f x f x

A a B a C   

Đặt ẩn phụ: 0; 1 aa 

– Điều kiện logrit

  log

a

fx là

  0 fx 

Trang 9 của 19

– – Đặt

  fx

ta 

– – Điều kiện: 0 t 

– – Giải pt  so điều kiện

t > 0 tx 

– Đƣa về dạng:

     

2

. log .log 0

aa

A f x B f x C   

– Đặt:

  log

a

t f x 

– Giải pt t   so điều kiện x x 

5. Bất phƣơng trình mũ và logarit:

Bất PT mũ Bất PT logarit

Đƣa về cùng cơ số:

   

   

   

   

:1

: 0 1

f x g x

f x g x

TH a

a a f x g x

TH a

a a f x g x



  



  

Chú ý : cách đƣa về số mũ

cơ số a tùy ý

log b

a

ba 

Đƣa về cùng cơ số:

    log log

aa

f x g x 

Đk ban đầu :

 

 

0

0

fx

gx

 











       

:1

log log

aa

TH a

f x g x f x g x



  

       

: 0 1

log log

aa

TH a

f x g x f x g x



  

Giải xong so với Đk ban đầu x 

Chú ý : cách đƣa về logarit cơ số a tùy ý

log

b

ba

a



Trang 10 của 19

Đặt ẩn phụ:

– Đƣa pt về cùng

  fx

a

– Đặt

  fx

ta  Đk: 0 t 

– Giải BPT theo t

– So đk 0 t 

– Giải BPT tìm x

Đặt ẩn phụ:

– Tìm Đk ban đầu của logarit

– Đƣa pt về cùng logarit

  log

a

fx

– Đặt

  log

a

t f x 

– Giải BPT theo t

– Giải BPT theo x

– So Đk ban đầu tìm x

Trang 11 của 19

PHẦN 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

I. BẢNG NGUYÊN HÀM:

ĐN:      

‘

( ) ( ) f x dx G x C G x C f x     



1

2

1 0 , 1

2

1

11

3

1

4 ln

dx C dx x C

x

x dx C

dx C

xx

dx x C

x









  





  











 

 

1

1

2.

1

11

4 .ln

ax b

ax b dx C

a

dx ax b C

ax b a











  



  







5

ln

x

x x x

a

e dx e C a dx C

a

   



1

5.

ax b ax b

e dx e C

a







6 sin cos

7 cos sin

xdx x C

xdx x C

  







 

 

1

6 sin( ) .cos

1

7 cos( ) .sin

ax b dx ax b C

a

ax b dx ax b C

a

    

   





2

2

1

8 tan

os

1

9 cot

sin

dx x C

cx

dx x C

x



  





 

 

 

 

2

2

11

8 .tan

os

11

9 cot

sin

dx ax b C

c ax b a

dx ax b C

ax b a

  



   







II. TÍCH PHÂN- PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:

ĐN:   ( ) ( )

b

a

f x dx F b F a 



1. Đổi biến số:   . ‘( ).

b

a

I f u x u x dx  

 

– Đặt:

  ‘( ) t u x dt u x dx   

Trang 12 của 19

– Đổi cận:

 

 

x a t u a

x b t u b

  

  

– Thế vào:    

 

 

. ‘( ).

ub

b

a u a

I f u x u x dx f t dt  



2. Công thức từng phần:

Chú ý:

a/

a

22

( ).sin a

( ). osa

( ).

( ) ( )

sin cos

x

I P x xdx

I P x c xdx

I P x e dx

P x P x

I dx I dx

xx

































đặt () u P x 

b/ ( ).ln(a ) I P x x b dx 



đặt ln(a ) u x b 

3/ Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối:  

b

a

I f x dx 



– Giải phương trình

  0 fx  tìm các nghiệm

 

1 2 3

; ; … ; x x x a b 

–      

3 1

1

…

n

x x b

a x x

I f x dx f x dx f x dx    

  

4/ Tích phân hàm số hữu tỉ:

()

()

b

a

Px

I dx

Qx





– Nếu bậc P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc Q(x) thì lấy P(x) chia Q(x).

– Đặt

  t Q x 

–

11

.ln a

a

I dx x b C

x b a

   





..

bb

b

a

aa

I u dv u v vdu   



Trang 13 của 19

–

2

1 2 1 2

1 1 1 1

a ( )

I dx dx

x bx c a x x x x x x



  



    





Công thức phân tích đa thức:

 

       

1 2 1 2

22

… …

( ) ( )

nm

n m n m

Px AB A A B B

x a x a x a x a

x a x b x a x a

       

   

   

III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN:

1/ Tính điện tích hình phẳng:

 

 

0 ( )

:

b

a

y f x

y Ox

H S f x dx

xa

xb

 



 

















 

 

()

: ( ) ( )

b

a

y f x

y g x

H S f x g x dx

xa

xb

 



 

  















Chú ý: giải pthđgđ:

  () f x g x  tìm a và b (nếu chưa có)

2/ Thể tích vật thể tròn xoay quay quanh trục Ox:

 

 

2

0 ( )

:

b

a

y f x

y Ox

H V f x dx

xa

xb



 



 

 

















 

 

   

2

:

b

a

y f x

y g x

H V f x g x dx

xa

xb



 



 

   

















Chú ý: giải pthđgđ:

  0 fx  tìm a và b (nếu chưa có)

Trang 14 của 19

PHẦN 4: SỐ PHỨC

2

1 i 

1 , ( )

0

0

z a bi a b z x yi

z lathuan ao a

z lathuanthuc b

    

  

  

2

2 2 2 2

z a b z a b

z a bi

     

  

  ; z x yi M x y Oxy     

2

2

4 : 0

4

0

2

2

0

2

Pt az bz c

b ac

b

z

a

bi

z

a

bi

z

a

  

  

     



   







   



   







12

12

12

12

2

1 2 0

; à : 0

b

S z z

a

Viet

c

P z z

a

z z S

z z P

z z l n pt Z SZ P

 

  

















 







   

 

   

22

2 ‘ ‘ ‘

‘

‘

‘

‘ ‘ ‘

. ‘ ‘ ‘

. ‘ . ‘

‘ ‘ ‘ .’

z a bi and z a b i

aa

zz

bb

z z a a b b i

z z a bi a b i

z z z z z

z a b zz

   

 

  







     

   

  



30

b

pt az b z

a



   

5. Tìm số phức thỏa điều kiện cho trƣớc

Cách giải (chú ý bài toán thƣờng có giả thiết ;; z z z )

B1: Đặt   , z a bi a b    hay z x yi    , xy 

B2: Thế vào biến đổi giả thiết thường đưa về dạng hai số phức bằng nhau

B3: Biến đổi điều kiện hai số phức bằng nhau đưa về hệ phương trình

giải hệ  kq

Trang 15 của 19

PHẦN 5 : KHỐI ĐA DIỆN-MẶT CẦU-MẶT TRỤ-MẶT NÓN

Hình Chóp

1

.

3

V B h  – B diện tích đáy

– h chiều cao

Lăng trụ . V B h 

Hình nón

2

11

..

33

xq

V B h r h

S rl









– B diện tích đáy

– h chiều cao

– r bán kính

– l đường sinh

Hình trụ

2

.

2

xq

V B h r h

S rl









– B diện tích đáy

– h chiều cao

– r bán kính

– l đường sinh

Hình cầu

3

2

4

3

4

Vr

Sr









– r bán kính mặt cầu

Trang 16 của 19

PHẦN 6: PP TỌA TRONG KHÔNG GIAN

I. CÔNG THỨC TỌA ĐỘ:

   

1 2 3 1 2 3

; ; ; ; a a a a b b b b 

 

 

1 2 2

1 1 2 2 3 3

11

22

33

1 . ; ;

2 ; ;

3

k a ka ka ka

a b a b a b a b

ab

a b a b

ab



    







  









1 1 2 2 3 3

4 . . . . a b a b a b a b   

33 2 1 1 2

2 3 3 1 1 2

5 ; , ,

aa a a a a

b b b b b b

ab













 

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

.

6 cos ,

.

a b a b a b ab

ab

ab a a a b b b





   

– Hai vectơ ; ab vuông góc .0 ab 

– Hai vectơ ; ab cùng phương

3 12

1 2 3

;0

a aa

ab

b b b



    



    ; ; ; ;

A A A B B B

A x y z B x y z

 

     

2 2 2

1 ; ;

2

B A B A B A

B A B A B A

AB x x y y z z

AB x x y y z z

   

     

3 M là trung điểm của AB thì

;;

2 2 2

A B A B A B

M M M

x x y y z z

x y z

  

  

Nhận xét:  

 

( ,0,0)

0, ,0

0,0,

M

M

M

M Ox M x

M Oy M y

M Oz M z







Trang 17 của 19

II. PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:

1. Phƣơng trình tổng quát của mp :

  A 0 : ; ; x By Cz D VTPT n A B C      

2. PT mp đi qua điểm

 

0 0 0 0

;; M x y z và có

  ;; VTPT n A B C  là:

     

0 0 0

A0 x x B y y C z z      

Nhận xét: nếu mp có 2

   

1 2 3 1 2 3

: ; ; , ; ; VTCP a a a a b b b b 

Thì :; VTPT n a b







– Mp qua    

A ;0;0 , (0; ;0), 0;0; a B b C c là:

 :1

x y z

ABC

a b c

  

3. Khoảng cách từ ( ; ; )

M M M

M x y z đến mp

 :A 0 x By Cz D     

là

   

2 2 2

. . .

,

M M M

A x B y C z D

dM

A B C



  





Chú ý:

– Mp:

      Ox : 0 Ox ; ;0

MM

y z M y M x y    

– Mp:

      Oxz : 0 Oxz ;0;

MM

y M M x z    

– Mp:

      O : 0 O 0; ;

MM

yz x M yz M y z    

III. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG:

Đường thẳng  đi qua

0 0 0 0

( ; ; ) M x y z có VTCP   ;; u a b c 

– Pt tham số

0

0

0

:

x x at

y y bt

z z ct

 



  









– 0 abc  Pt chính tắt

0 0 0

:

x x y y z z

a b c

  

  

Nhận xét:

 

0 0 0

;; M M x at y bt z ct      

Trang 18 của 19

IV. PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU:

– Mặt cầu (S) tâm ( ; ; ) I a b c bán kính R có phương trình là:

     

2 2 2

2

x a y b z c R      

– PT:

2 2 2

2a 2 2 0 x y z x by cz d       

Là phương trình mặt cầu nếu:

2 2 2

0 a b c d    

Tâm: ( ; ; ) I a b c bán kính

2 2 2

R a b c d    

V. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI:

1. Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng:

 

0

0

0

: ; ;

x x at

y y bt u a b c

z z ct

 



    









và  

0

0

0

‘ ‘ ‘

‘: ‘ ‘ ‘ ‘ ‘; ‘; ‘

‘ ‘ ‘

x x a t

y y b t u a b c

z z c t

 



    









Xét hệ phƣơng trình:

00

00

00

‘ ‘ ‘

‘ ‘ ‘

‘

‘ ‘ ‘

x at x a t

y bt y b t

z ct z c t

   

  

   









  



TH1: nếu hệ có nghiệm thì 2 đƣờng cắt nhau tại ( ; ; )

I I I

I x y z là

nghiệm của hệ.

TH2: nếu hệ vô nghiệm

– ,’ uu cùng phƣơng thì ‘ 

– ,’ uu không cùng phƣơng thì  chéo với ‘ 

Chú ý: ‘ . ‘ 0 uu     

Trang 19 của 19

2. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng:

0

0

0

:

x x at

y y bt

z z ct

 



  









và

 :0 Ax By Cz D     

Xét hệ phƣơng trình:

 

 

0

0

0

:0 Ax By Cz D

x x at

y y bt

z z ct





    



 







 



 







TH1: hệ vô nghiệm

   

TH2: hệ có nghiệm duy nhất

  I      tọa độ là n

o

của hệ

TH3: hệ vô số nghiệm

     

3. Vị trí tƣơng đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:

Cho mp

 :0 Ax By Cz D     

Và mặt cầu (S) tâm

  ;; I a b c bán kính R

Tính:

  ;( ) dI 

TH1:

  dR   tiếp xúc với (S)

TH2:

  dR   cắt (S) theo đường tròn (C) có bán kính

22

r R d 

TH3:

  dR   và (S) không có điểm chung.

Thầy chúc các em học tốt !