Cách phân biệt sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp

Video bài giảng hay: Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Khi nói tới hai khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp rất nhiều bạn học sinh gặp khó khăn ở chỗ này. Việc phân biệt hai khái niệm này là rất mơ hồ vì thế khi làm bài tập nhiều bạn không biết nên áp dụng chỉnh hợp hay tổ hợp. Bài giảng hôm nay thầy sẽ chỉ ra sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp để các bạn có thể hiểu rõ hơn hai khái niệm này. Trước khi đi phân tích sự không giống nhau này chúng ta sẽ cùng nhau xem lại định nghĩa chỉnh hợp và tổ hợp.

1. Định nghĩa chỉnh hợp

Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử ($ngeq 1$).

Kết quả của việc lấy $k$ phần tử khác nhau từ $n$ phần tử của tập hợp $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho.

Kí hiệu: $A^k_n$ là số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử ($1leq k leq n$).

$A^k_n = frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-k+1)$ (1)

Chú ý:

• Với $ k=nRightarrow A^n_n =P_n = n! $. Tức là mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp hợp chập $n$ của $n$ phần tử đó.
• Quy ước: $0! =1$.

2. Định nghĩa tổ hợp

Giả sử tập $A$ có $n$ phần tử ( $n geq 0 $). Mỗi tập con gồm $k$ phần tử của tập $A$ được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho.

Kí hiệu: $C^k_n $ là số các tổ hợp chập $k$ của n phần tử ($0 leq k leq n$)

$C^k_n = frac{n!}{k!(n-k)!}$

Chú ý:

• Số $k$ trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện ($1 leq k leq n$). Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập $0$ của $n$ phần tử là tập rỗng.
• Quy ước: $C^0_n = 1$
• $C^k_n = frac{1}{k!}.A^k_n$

*. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:

– Tính chất 1: $C^k_n = C^{n-k}_n$

– Tính chất 2 (công thức Pascal): $C^{k-1}_{n-1} + C^k_{n-1} = C^k_n$

Đó là những lý thuyết cơ bản về chỉnh hợp và tổ hợp. Nhiều bạn học sinh nói rằng em thấy hai khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp sao nó cứ giống giống nhau thế nào ý, làm sao mà phân biệt được khi nào là tổ hợp, khi nào là chỉnh hợp?

Để các bạn có phân biệt được rõ hai khái niệm này và áp dụng được vào làm bài tập thì thầy có thể giải thích như thế này nhé:

Xem thêm bài giảng:

• Các dạng toán chỉnh hợp tổ hợp chọn vật, chọn bi ve – phần 1
• Giải phươngtrình tổ hợp và chỉnh hợp

3. Phân biệt sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp

– Với khái niệm chỉnh hợp:

Trong $n$ phần tử của tập $A$ ta lấy ra $k$ phần tử. Trong $k$ phần tử lấy ra này ta lại sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó, mỗi cách sắp xếp như vậy cho ta một chỉnh hợp. Chẳng hạn ta lấy ra 3 số là 1; 2; 3 sau đó từ 3 số này ta lại sắp xếp thành các số có 3 chữ số. Như vậy ta có các số là: 123; 132; 213; 231; 312; 321. Các bạn thấy đó với việc thay đổi vị trí ta lại có được các số khác nhau (6 số khác nhau). Mỗi số đó là 1 chỉnh hợp.

– Còn đối với khái niệm tổ hợp:

Trong $n$ phần tử của tập $A$ ta lấy ra một tập con gồm $k$ phần tử (chú ý từ tập con nhé). Khi nói tới khái niệm tập hợp thì ta không phân biệt vị trí, thứ tự của các phần tử trong đó, mà ta chỉ quan tâm xem trong tập đó có bao nhiêu phần tử mà thôi. Mỗi cách lấy ra một tập con gồm $k$ phần tử như vậy cho ta một tổ hợp.

Chẳng hạn ta lấy ra 3 phần tử là các số 1; 2; 3 sau đó đặt các số này vào các vị trí khác nhau trong tập con, ta sẽ có các tập con đó là:$A = {1; 2; 3}$; $B = {1; 3; 2}$; $C = {2; 1; 3}$; $D = {2; 3; 1}$; $E = {3; 1; 2}$; $F = {3; 2; 1}$. Các bạn sẽ thấy chúng ta có 6 tập con là A; B; C; D; E; F nhưng các phần tử vẫn là 1; 2 và 3. Do vậy 6 tập con trên là bằng nhau, tức chúng chỉ là một. Đó là tổ hợp. (Trong tập hợp người ta không phân biệt vị trí của các phần tử, mà chỉ quan tâm trong tập đó có những phần tử nào.)

Như vậy số chỉnh hợp bao giờ cũng nhiều hơn số tổ hợp. Vì trong chỉnh hợp còn phân biệt cả vị trí, thứ tự của các phần tử. Nói như vậy không biết các bạn đã hiểu hơn sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp chưa nhỉ? Đã phân biệt được hai khái niệm này hay chưa? Thầy có thể lấy một bài tập đơn giản như thế này để giải thích thêm hai khái niệm này nhé.

Với bài tập trên thì các bạn sẽ sử dụng chỉnh hợp hay tổ hợp để làm đây?

Hướng dẫn giải:

a. Để cho dễ nhận biết thầy sẽ gọi tên 4 bạn là a, b, c, d.

Giả sử thầy sẽ chọn ra 3 bạn có tên là a, b, c đi thi văn nghệ. Thầy sẽ thực hiện như sau:

Chọn người thứ 1: thầy chọn bạn a

Chọn người thứ 2: thầy chọn bạn b

Chọn người thứ 3: thầy chọn bạn c

Như vậy thầy đã chọn được 3 bạn đi thi văn nghệ là a, b và c. Vậy thầy có 1 cách chọn.

Chúng ta tiếp tục theo dõi tiếp nhé, nếu dưới đây thầy sẽ chọn khác đi 1 chút.

Chọn người thứ 1: thầy chọn bạn b

Chọn người thứ 2: thầy chọn bạn c

Chọn người thứ 3: thầy chọn bạn a

Như vậy thầy cũng chọn được 3 bạn đi thi văn nghệ và vẫn là các bạn có tên là a, b, c. Như vậy thầy cũng có 1 cách chọn.

Nhưng các bạn để ý với 2 cách chọn như trên có cho ta 2 kết quả khác nhau hay không?

Không. Chúng ta cũng chỉ có được 1 kết quả duy nhất. Tuy hai cách có khác nhau về vị trí chọn người nhưng cuối cùng 3 bạn cần chọn ra vẫn là 3 bạn có tên là a, b, c và thỏa mãn điều kiện bài toán. Tức là việc chọn này không phân biệt vị trí hay thứ tự. Việc chọn ai trước trong 3 người đó không quan trọng, điều quan trọng là chúng ta chọn ra 3 người đó là ai.

Tới đây chúng ta biết phải sử dụng chỉnh hợp hay tổ hợp chưa? Chắc chắn là tổ hợp rồi.

Việc chọn ra 3 bạn trong 4 bạn để đi thi văn nghệ là ta đã chọn ra 1 tập con gồm 3 người. Mỗi tập con này chính là 1 tổ hợp chập 3 của 4 bạn. Ta có: $C^3_4 = frac{4!}{3!1!} = 4$ cách chọn.

Có thể bạn quan tâm: Các bài toán số áp dụng chỉnh hợp

b. Trong 4 bạn học sinh, em hãy bầu ra cho thầy 3 bạn để làm lớp trưởng, lớp phó, bí thư đoàn.

Giả sử thầy sẽ chọn ra 3 bạn có tên là a, b, c để bầu làm Lớp trưởng, Lớp phó, Bí thư. Thầy sẽ thực hiện như sau:

Chọn người thứ 1 (Lớp trưởng): thầy chọn bạn a

Chọn người thứ 2 (Lớp phó): thầy chọn bạn b

Chọn người thứ 3 (Bí thư đoàn): thầy chọn bạn c

Như vậy thầy đã chọn được 3 bạn để làm Lớp trưởng, Lớp phó và Bí thư đoàn là a, b và c. Vậy thầy có 1 cách chọn.

Chúng ta tiếp tục theo dõi tiếp nhé, nếu dưới đây thầy sẽ chọn khác đi 1 chút.

Chọn người thứ 1 (Lớp trưởng): thầy chọn bạn b

Chọn người thứ 2 (Lớp phó): thầy chọn bạn c

Chọn người thứ 3 (Bí thư đoàn): thầy chọn bạn a

Như vậy thầy cũng chọn được 3 bạn để làm Lớp trưởng, Lớp phó và Bí thư đoàn là a, b và c. Như vậy thầy cũng có 1 cách chọn.

Nhưng các bạn để ý với 2 cách chọn như trên có cho ta 2 kết quả khác nhau hay không?

Có chứ. Với hai cách chọn như trên cho ta hai kết quả hoàn toàn khác nhau. Tuy ở hai cách những bạn mà ta chọn ra vẫn có tên là a; b và c nhưng ở mỗi cách chọn thì mỗi bạn lại đảm nhiệm các chức vụ khác nhau (Lớp trưởng, Lớp phó, Bí thư). Dó đó mà ta sẽ được hai kết quả hoàn toàn khác nhau. Vậy mỗi cách chọn như thế cho ta một chỉnh hợp hay tổ hợp đây các bạn? Chắc chắn là một chỉnh hợp rồi.

Việc chọn ra 3 bạn trong 4 bạn để làm Lớp trưởng, Lớp phó, Bí thư sẽ là 1 chỉnh hợp chập 3 của 4 bạn. Ta có: $A^3_4 = frac{4!}{(4-3)!} = frac{4!}{1!} =24$ cách chọn.

Xem thêm: Tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton

4. Lời kết

Bài giảng trên thầy đi phân tích cho các bạn thấy sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp. Hai khái niệm này gây nhầm lẫn và hiểu lầm cho rất nhiều bạn khi áp dụng vào làm bài tập. Thầy hy vọng với bài phân tích trên sẽ giúp các bạn gỡ rối phần nào khó khăn trước đây đã gặp phải và sẽ phân biệt được chúng. Bài viết có thể vẫn chưa toát lên hết ý, nên mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ mọi người.