1. Hoán vị là gì?

Nếu tách riêng nghĩa từng từ ra, chúng ta có thể hiểu đơn giản rằng “hoán” trong từ hoán đổi và “vị” trong từ vị trí.

Ta cho một tập hợp X gồm n phần tử phân biệt với n ≥ 0. Mỗi một cách sắp xếp n phần tử của X theo thứ tự nào đó thì được gọi là một hoán vị của n phần tử.

Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là Pn.

2. Tổ hợp là gì?

Trong chương trình Toán học, tổ hợp là cách ta chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Trong một vài trường hợp chúng ta còn có thể đếm được số tổ hợp.

Tổ hợp chập k của n phần tử được hiểu là số những nhóm gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử, mà giữa chúng chỉ khác nhau về thành phần cấu tạo chứ không quan trọng về thứ tự sắp xếp các phần tử.

Với mỗi một tập con gồm k phần tử của tập hợp gồm n phần tử (n > 0) được gọi là một tổ hợp chập k của n.

3. Chỉnh hợp là gì?

Chỉnh hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn và có phân biệt thứ tự, trái với tổ hợp là không phân biệt thứ tự.

Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử. Tập con này gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và có sắp xếp theo thứ tự.

4. Mối quan hệ giữa tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị

Thông qua định nghĩa, chúng ta có thể thấy tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị có một mối liên hệ với nhau.

Cụ thể một chỉnh hợp chập k của n được tạo thành bằng cách thực hiện 2 bước như sau:

• Bước 1: Lấy 1 tổ hợp chập k của n phần tử.

• Bước 2: Hoán vị k phần tử.

Do đó chúng ta có công thức liên hệ giữa chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị như sau:

$A^{k}n=C^{k}nP_{k}$

5. Công thức tính hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp

5.1. Công thức tính chỉnh hợp

Theo những định nghĩa nêu trên, ta có số chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử với $1leq kleq n$ với công thức:

$A^{k}n=frac{n!}{(n-k)!}=n.(n-1)(n-2)…(n-k+1)$

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách xếp ba bạn Hưng, Hoàng, Hiếu vào hai chỗ ngồi cho trước?

Giải: $A_{3}^{2}=frac{3!}{(3-2)!}=3!=6$ cách

Ví dụ 2: Sẽ có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số (1,2,3,4,5,6,7)?

Giải: Ta có mỗi một số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy ra từ 4 chữ số từ tập A={1;2;3;4;5;6;7} và sắp xếp chúng theo thứ tự nhất định. Mỗi số như vậy sẽ được coi là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử.

Vậy số các số cần tìm là các số: $A_{7}^{4}$=840 số

5.2. Công thức tổ hợp, ví dụ về tổ hợp

Ta có tổ hợp chập k của n phần tử ($1leq kleq n$) là :

$C^{k}n=frac{n!}{k!(n-k)!}=frac{n(n-1)(n-2)…(n-k+1)}{k!}$

Trong đó có kn và có kết quả bằng 0 khi có k > n.

Ví dụ 1: Ông A có 11 người bạn. Ông A muốn mời 5 người trong họ đi chơi. Trong 11 người có 2 người không muốn gặp mặt nhau. Hỏi ông A có bao nhiêu cách mời?

Giải: Ông A chỉ mời 1 trong 2 người bạn đó và mời thêm 4 trong số 9 người bạn còn lại, ta có: $2.C_{4}^{9}$=252

Ông A không mời 2 người bạn đó mà chỉ mời 5 trong số 9 người bạn kia, ta có: $C_{5}^{9}$=126

Như vậy tổng cộng ông A có 252+126=378 cách mời.

Ví dụ 2: Một bàn học sinh có 3 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 bạn để làm trực nhật?

Mỗi một cách chọn ra 2 bạn để làm công việc trực nhật là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. Vậy chúng ta có số cách chọn là: $C_{5}^{2}$=10.

>> Xem thêm: Công thức tính tổ hợp xác suất và các dạng bài tập

5.3. Công thức tính hoán vị

Ở công thức hoán vị rất đơn giản, khi cho tập hợp gồm n phần tử (n > 0), chúng ta có được công thức hoán vị của n phần tử đã cho là:

Pn=n!

Ví dụ 1: Cho một tập hợp A = {3, 4, 5, ,6, 7}. Từ tập hợp A chúng ta có thể lập được bao nhiêu số gồm có 5 chữ số phân biệt?

Giải: Áp dụng theo công thức $P_{n}$=n! ta có: $P_{5}$=5!=120 số

Ví dụ 2: Hãy tính số cách xếp 10 bạn học sinh thành một hàng dọc.

Giải: Mỗi cách xếp 10 bạn học sinh thành hàng dọc là một hoán vị của 10 phần tử.

Vậy số cách xếp bạn học sinh thành một hàng dọc là $P_{10}$=10!

VUIHOC đã giúp các em nắm rõ hơn về lý thuyết công thức tổ hợp chỉnh hợp cũng như hoán vị. Bên cạnh đó, nền tảng học online Vuihoc.vn có những khóa học và ôn thi đại học dành cho học sinh lớp 11, các em có thể đăng ký khóa học để bổ sung thêm nhiều kiến thức bổ ích của môn Toán nhé! Chúc các bạn học tập thật tốt.

>> Xem thêm: Hoán vị gen là gì? Ý nghĩa, quy luật liên kết và bài tập