Cách vẽ đồ thị hàm số bậc 2

1. Lý thuyết chung về hàm số bậc 2 lớp 10

Trước khi tìm hiểu về đồ thị hàm số bậc 2, các em học sinh cần nắm vững các kiến thức nền tảng của hàm số bậc hai như định nghĩa và chiều biến thiên trước tiên.

1.1. Định nghĩa

Hàm số bậc hai lớp 10 được định nghĩa là dạng hàm số có công thức tổng quát là $y=ax^2+bx+c$, trong đó a,b,c là hằng số cho trước, $aneq 0$.

Tập xác định của hàm số bậc hai lớp 10 là: $D=mathbb{R}$

Biệt thức Delta: $Delta =b^2-4ac$

1.2. Chiều biến thiên và bảng biến thiên

Xét chiều biến thiên và bảng biến thiên là bước rất quan trọng để vẽ được đồ thị hàm số bậc 2. Cho hàm số bậc 2 $y=ax^2+bx+c$ với $a>0$, chiều biến thiên của hàm só bậc hai lớp 10 khi đó là:

• Đồng biến trên khoảng $(frac{-b}{2a};+infty )$

• Nghịch biến trên khoảng $(-infty ;frac{-b}{2a})$

• Giá trị cực tiểu của hàm số bậc hai lớp 10 đạt tại $(frac{-b}{2a}; frac{-Delta }{4a})$. Khi đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là $frac{-Delta }{4a}$ tại $x=frac{-b}{2a}$.

Cho hàm số $y=ax^2+bx+c$ với $a<0$, chiều biến thiên khi đó là:

• Đồng biến trên khoảng $(-infty ;frac{-b}{2a})$

• Nghịch biến trên khoảng $(frac{-b}{2a};+infty )$

• Giá trị cực đại của hàm số bậc 2 đạt tại $(frac{-b}{2a}; frac{-Delta }{4a})$. Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số là $frac{-Delta }{4a}$ tại $x=frac{-b}{2a}$.

Sau khi xét được chiều biến thiên, ta có thể vẽ được bảng biến thiên như sau:

2. Đồ thị hàm số bậc 2 có dạng như thế nào?

2.1. Cách vẽ đồ thị hàm số bậc 2

Để vẽ đồ thị hàm số bậc 2, các em học sinh có thể tuỳ theo từng trường hợp để sử dụng 1 trong 2 cách sau đây.

Cách 1 (cách này có thể dùng cho mọi trường hợp):

• Bước 1: Xác định toạ độ đỉnh I

• Bước 2: Vẽ trục đối xứng của đồ thị

• Bước 3: Xác định toạ độ các giao điểm của Parabol lần lượt với trục tung và trục hoành (nếu có).

Cách 2 (sử dụng cách này khi đồ thị hàm số có dạng $y=ax^2$)

Đồ thị hàm số bậc 2 $y=ax^2+bx+c (aneq 0)$ được suy ra từ đồ thị hàm $y=ax^2$ bằng cách:

• Nếu $frac{b}{2a}>0$ thì tịnh tiến song song với trục hoành $frac{b}{2a}$ đơn vị về phía bên trái, về bên phải nếu $frac{b}{2a}<0$.

• Nếu $frac{-Delta }{4a}>0$ thì tịnh tiến song song với trục tung $-left |frac{Delta }{4a} right |$ đơn vị lên trên, xuống dưới nếu $frac{-Delta }{4a}<0$.

Đồ thị hàm số $y=ax^2+bx+c (aneq 0)$ có dạng như sau:

Đồ thị hàm số bậc hai lớp 10 $y=ax^2+bx+c (aneq 0)$ có đặc điểm là đường parabol với:

• Đỉnh: $I(frac{-b}{2a};frac{-Delta }{4a})$

• Trục đối xứng: đường thẳng $x=frac{-b}{2a}$

• Nếu $a>0$, phần lõm của parabol quay lên trên; Nếu $a<0$, phần lõm của parabol quay xuống dưới.

• Giao điểm với trục tung: $A(0;c)$

• Hoành độ giao điểm với trục hoành (nếu có) là nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$.

Lưu ý: Để vẽ đồ thị hàm số bậc 2 chứa trị tuyệt đối $y=ax^2+bx+c$ ta làm theo các bước sau:

Trước hết ta vẽ đồ thị $(P): ax^2+bx+c$

Ta có:

Vậy đồ thị hàm số $y=ax^2+bx+c$ bao gồm 2 phần:

• Phần 1: Chính là đồ thị hàm số bậc 2 (P) lấy phần phái trên trục Ox.

• Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị (P) phía dưới trục Ox qua trục Ox.

Vẽ đồ thị hàm số $(P_1)$ và $(P_2)$, ta được đồ thị hàm số bậc 2 $y=ax^2+bx+c$.

2.2. Bài tập ví dụ vẽ đồ thị hàm số bậc 2

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số bậc 2 $y=x^2+3x+2$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy ta có thể suy ra: Đồ thị hàm số $y=x^2+3x+2$ có đỉnh I(-3/2;-¼) và đi qua các điểm A(-2;0), B(-1;0), C(0;2), D(-3;2).

Đồ thị hàm số $y=x^2+3x+2$ nhận đường x=-3/2 làm trục đối xứng và có phần lõm hướng lên trên.

Ví dụ 2 (Luyện tập 2 trang 41 Toán lớp 10 tập 1): Vẽ đồ thị mỗi hàm số bậc hai sau:

a) $y=x^2-4x-3$

b) $y=x^2+2x+1$

Hướng dẫn giải:

a) $y=x^2-4x-3$

Ta có: $a=1, b=-4, c=-3, =(-4)^2-4.1.(-3)=28$.

Toạ độ đỉnh: I(2;-7)

Trục đối xứng: $x=2$

Giao điểm của parabol với trục tung: A(0;-3)

Giao điểm của parabol với trục hoành: B(2-7;0) và C(2+7;0)

Điểm đối xứng với A(0;-3) qua trục x=2 là D(4;-3)

Vì a>0 nên phần lõm của đồ thị hướng lên trên.

Đồ thị của hàm số bậc 2 lớp 10 $y=x^2-4x-3$ có dạng như sau:

b) $y=x^2+2x+1$

Ta có: a=1; b=2; c=1; =$2^2-4.1+1=0$

Toạ độ đỉnh: I(-1;0)

Trục đối xứng: x=-1

Giao điểm của parabol với trục tung là A(0;1)

Giao điểm của parabol với trục hoành chính là đỉnh I.

Điểm đối xứng với A(0;1) qua trục đối xứng x=-1 là B(-2;0)

Lấy điểm C(1;4) thuộc đồ thị hàm số đề bài, điểm đối xứng C qua trục x=-1 là điểm D(-3;4)

Vì a>0 nên phần lõi của đồ thị hướng lên phía trên.

Đồ thị hàm số $y=x^2+2x+1$ có dạng sau đây:

Ví dụ 3: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 2 sau:

1. $y=x^2-3x+2$

2. $y=-2x^2+4$

Hướng dẫn giải:

1. Ta có:

Bảng biến thiên:

Xét thấy, đồ thị hàm số $y=x^2-3x+2$ có đỉnh là I(3/2; -1/4), đi qua các điểm A(2; 0); B (1; 0), C(0; 2).

Suy ra, đồ thị hàm số nhận đường $x=frac{3}{2}$ làm trục đối xứng và có bề lõm hướng lên trên.

Đồ thị hàm số bậc 2 $y=x^2-3x+2$ có hình dạng như sau:

1. Ta có:

Bảng biến thiên:

Xét thấy, đồ thị hàm số có $y=-2x^2+4x$ nhận I(1;2) là đỉnh, đi qua các điểm O(0;0), B(2;0).

Suy ra, đồ thị hàm số nhận đường x=1 làm trục đối xứng và có bề lõm hướng xuống dưới.

3. Luyện tập vẽ đồ thị hàm số bậc 2

Để luyện tập thành thạo các dạng bài tập về đồ thị hàm số bậc 2, các em học sinh cùng VUIHOC thực hành với bộ câu hỏi trắc nghiệm sau đây nhé!

Câu 1: Cho hàm số $y=ax^2+bx+c$ có đồ thị như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $a>0, b<0, c<0$

B. $a>0, b<0, c>0$

C. $a>0, b>0, c>0$

D. $a<0, b<0, c<0$

Câu 2: Parabol $y=-x^2+2x+3$ có phương trình trục đối xứng là:

A. x=-1

B. x=2

C. x=1

D. x=-2

Câu 3: Cho hàm số $y=x^2-2x-1$. Mệnh đề nào dưới đây là sai?

Câu 4: Parabol $(P):y=-2x^2-6x+3$ có hoành độ đỉnh bằng bao nhiêu?

Câu 5: Viết phương trình trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc 2 $y=x^2-2x+4$

Câu 6: Trục đối xứng của parabol $y=2x^2+2x-1$ là đường thẳng có phương trình:

Câu 7: Toạ độ đỉnh I của parabol $y=x^2-2x+7$ là:

Câu 8: Cho parabol $(P):y=3x^2-2x+1$. Điểm nào sau đây là đỉnh của (P)?

Câu 9: Cho hàm số bậc hai $y=ax^2+bx+c (aneq 0)$ có đồ thị hàm số bậc 2 (P), đỉnh của (P) được xác định bởi công thức nào sau đây?

Câu 10: Cho hàm số $y=ax^2+bx+c (a>0)$. Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 11: Cho hàm số $y=(m-1)x^2-2(m-2)x+m-3 (mneq 1)$ (P). Đỉnh của (P) là $S(-1;-2)$ thì m bằng bao nhiêu?

Câu 12: Đồ thị bên dưới là đồ thị của hàm số nào?

A.$y=-2x^2+3x-1$

B.$y=-x^2+3x-1$

C.$y=2x^2-3x+1$

D.$y=x^2-3x+1$

Câu 13: Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào?

Câu 14: Cho hàm số $y=ax^2+bx+c$ có đồ thị như hình vẽ sau đây, dấu các hệ số của hàm số đó là:

Câu 15: Hàm số $y=-x^2+2x+3$ có đồ thị là hình nào trong các hình sau đây?

Câu 16: Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình?

Câu 17: Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình?

Câu 18: Đồ thị hàm số bậc 2: $y=x^2-6x+5$

Câu 19: Hàm số $y=ax^2+bx+c$ có đồ thị như hình vẽ sau. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Câu 20: Cho đồ thị hàm số bậc 2 dạng parabol (P): $y=ax^2+bx+c (aneq 0)$ có đồ thị như hình dưới. Tìm các giá trị m để phương trình $ax^2+bx+c=m$ có 4 nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải chi tiết

Câu 1:

Chọn A.

Parabol có bề lõm quay lên trên => $a>0$. Loại D.

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $c<0$. Loại B, C.

Câu 2:

Chọn C.

Parabol $y=-x^2+2x+3$ có trục đối xứng là đường thẳng $x=frac{-b}{2a}$ => $x=1$.

Câu 3:

Chọn D.

Trục đối xứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x=frac{-b}{2a}=1$.

Câu 4:

Chọn A

Hoành độ đỉnh của parabol (P) được tính như sau:

Câu 5:

Chọn A.

Đồ thị hàm số $y=ax^2+bx+c$ với $aneq 0$ có trục đối xứng là đường thẳng có phương trình x=-b/2a

Vậy đồ thị hàm số $y=x^2-2x+4$ có trục đối xứng là đường thẳng phương trình x=1.

Câu 6:

Chọn D.

Phương trình của trục đối xứng là x=-2/2.2=-½

Câu 7:

Chọn B.

Câu 8:

Chọn B.

Câu 9:

Chọn A.

Đỉnh của parabol $(P): ax^2+bx+c (aneq 0)$ là điểm:

Câu 10:

Chọn B.

Dựa bào biến thiên của hàm số $y=ax^2+bx+c (a>0)$ ta thấy các khẳng định A, C, D đúng.

Khẳng định B là sai vì có những hàm số bậc hai không cắt trục hoành như hàm số $y=-2x^2+3x-9/8$

Câu 11:

Chọn A.

Do đỉnh của (P) là S(-1;-2) nên ta có:

Câu 12:

Chọn C.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, phương trình hoành độ giao điểm phải có nghiệm x=1, ta có phương trình sau đây:

Câu 13:

Chọn B.

Do bề lõm của đồ thị hướng lên trên nên a>0 => Loại đáp án C, D.

Đồ thị giao trục Ox tại điểm (1;0) và (½; 0) =>< Loại A.

Câu 14:

Chọn B.

Đồ thị là parabol có bề lõm hướng xuống dưới nên $a<0$.

Đồ thị cắt chiều dương của trục Oy nên $c>0$.

Trục đối xứng $x=-b/2a>0$, mà $a<0$, nên $b>0$.

Câu 15:

Chọn A.

Do $a=-1$ nên đồ thị có dạng lõm xuống dưới => Loại C

Tính toán được đỉnh của đồ thị có toạ độ $I (1;4)$

Câu 16:

Chọn B.

Quan sát đồ thị ta loại đáp án A và D. Phần đồ thị bên phải trục tung là đồ thị (P) của hàm số $y=-x^2+5x-3$ với $x>0$, toạ độ đỉnh của (P) là (5/2; 13/4), trục đối xứng là x=2,5. Phần đồ thị bên trái trục tung là do lấy đối xứng phần đồ thị bên phải của (P) qua trục tung Oy. Ta được cả hai phần là đồ thị của hàm số $y=-x^2+5x-3$.

Câu 17:

Chọn B.

Dựa vào đồ thị ta suy được a<0 và hoành độ đỉnh là 2.

$y=-x^2+4x-3 => a=-1; I(2;1)$.

Câu 18:

Chọn D.

Đồ thị © của hàm số $y=x^2-6x+5$ gồm 2 phần:

• Phần đồ thị $(C_1)$: là phần đồ thị của hàm số $y_1=x^2-6x+5$ nằm bên phải trục tung.

• Phần đồ thị $(C_2)$: là phần đô fthij của hàm số $y_2=x^2-6x+5$ có được bằng cách lấy đối xứng phần đồ thị $(C_1)$ qua trục tung.

Ta có đồ thị © có dạng như hình vẽ dưới đây:

Kết luận đồ thị C) có trục đối xứng phương trình x=0.

Câu 19:

Chọn D.

Quan sát đồ thị, ta thấy:

Đồ thị quay bề lõm xuống dưới nên $a<0$; Hoành độ đỉnh $x_1=frac{-b}{2a}>0 b/a<0$ => $b>0$.

Ta có: Đồ thị cắt Ox tại điểm có tung độ âm nên $c<0$.

Vậy $a<0, b>0,c<0$.

Câu 20:

Chọn B.

Quan sát đồ thị ta có đỉnh của parabol là $I(2;3)$ nên:

Mặt khác (P) cắt trục tung tại $(0;-1)$ nên $c=-1$. Suy ra:

$(P):y=-x^2+4x-1$ suy ra hàm số $y=-x^2+4x-1$ có đồ thị là phần hình phía trên trục hoành của (P) và phần có được do lấy đối xứng phần dưới trục hoành của (P), như hình vẽ:

Phương trình $ax^2+bx+c=m$ hay $-x^2+4x-1=m$ có 4 nghiệm phân biệt khi đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số bậc 2 $y=-x^2+4x-1$ tại 4 điểm phân biệt.

kết luận $0<m<3$.

Trên đây là toàn bộ lý thuyết bao gồm khái niệm, các bước vẽ đồ thị hàm số bậc 2 lớp 10, đi kèm là bộ 20 câu hỏi trắc nghiệm VUIHOC có giải chi tiết giúp các em học sinh luyện tập để thành thạo hơn dạng toán này. Để học nhiều hơn về kiến thức lớp 10, Toán THPT,… truy cập trang web trường học online vuihoc.vn hoặc đăng ký ngay các khoá học cấp 3 môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hoá, Sinh siêu bổ ích nhé!