Hình không gian 12 góc và khoảng cách trong không gian – Vật lí phổ thông

Lý thuyết góc, khoảng cách hình không gian lớp 12

I/ GÓC TRONG KHÔNG GIAN

1. Góc giữa hai mặt phẳng.

Góc giữa hai mặt phẳng (P): $Ax{rm{ }} + {rm{ }}By{rm{ }} + {rm{ }}Cz{rm{ }} + {rm{ }}D{rm{ }} = {rm{ }}0$, (Q): $A’x{rm{ }} + {rm{ }}B’y{rm{ }} + {rm{ }}C’z{rm{ }} + {rm{ }}D'{rm{ }} = {rm{ }}0$ được ký hiệu: ${0^o} le ((P),(Q)) le {90^o}$, xác định bởi hệ thức $cos ((P),(Q)) = dfrac{{left| {AA’ + BB’ + CC’} right|}}{{sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .sqrt {A{‘^2} + B{‘^2} + C{‘^2}} }}.$ Đặc biệt: $(P) bot (Q) Leftrightarrow AA’ + BB’ + CC’ = 0.$

2. Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

a) Góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) có vectơ chỉ phương $overrightarrow u = (a;b;c)$và $overrightarrow {u’} = (a’;b’;c’)$là $phi $ $cos phi = dfrac{{left| {aa’ + bb’ + cc’} right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .sqrt {a{‘^2} + b{‘^2} + c{‘^2}} }}$ $({0^o} le phi le {90^o}).$ Đặc biệt: $(d) bot (d’) Leftrightarrow aa’ + bb’ + cc’ = 0.$ b) Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương $overrightarrow u = (a;b;c)$ và mp $(alpha )$có vectơ pháp tuyến $overrightarrow n = (A;B;C).$ $sin phi ,, = ,,left| {cos (overrightarrow n ,,,overrightarrow u )} right| = dfrac{{left| {Aa + Bb + Cc} right|}}{{sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$ $({0^o} le phi le {90^o}).$ Đặc biệt: $(d)//(alpha )$hoặc $(d) subset (alpha )$ $ Leftrightarrow Aa + Bb + Cc = 0.$

II. KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

a) Khoảng cách từ $M({x_0};y{}_0;{z_0})$ đến mặt phẳng $(alpha )$có phương trình $Ax{rm{ }} + {rm{ }}by{rm{ }} + {rm{ }}Cz{rm{ }} + {rm{ }}D{rm{ }} = {rm{ }}0$là: $d(M,(P)) = dfrac{{left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} right|}}{{sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.$ b) Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng – khoảng cách giữa hai đường thẳng.

a) Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng dqua điểm Mocó vectơ chỉ phương $overrightarrow u $(d(M,,,d),, = ,,dfrac{{left| {left[ {overrightarrow {{M_0}M} ;,,overrightarrow u } right]} right|}}{{left| {overrightarrow u } right|}}.) b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: dđi qua điểm M và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u $và d’ đi qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow {u’} $ là: $d(,d,,,d’),, = ,,dfrac{{left| {left[ {overrightarrow u ;,,overrightarrow {u’} } right].overrightarrow {{M_0}M} } right|}}{{left| {left[ {overrightarrow u ;,,overrightarrow {u’} } right]} right|}}.$ d) Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng hoặc khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đến đường thẳng.

• Phương pháp giải nhanh vật lí lớp 12 (file word)
• Bộ sách công phá toán lớp 12 (file word)
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Trắc nghiệm lý thuyết vật lí lớp 12 (file word)

BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(1;2;2) đến mặt phẳng (α): (x + 2y – 2z – 4 = 0) bằng: A. 3. B. 1. C. (dfrac{{13}}{3}.) D. (dfrac{1}{3}.) Câu 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α): 2x – y – 2z – 4 = 0 và β 2x – y – 2z + 2 = 0. A. 2. B. 6. C. (dfrac{{10}}{3}.) D. (dfrac{4}{3}.) Câu 3. Tính khoảng cách giữa mặt phẳng (α): (2x – y – 2z – 4 = 0) và đường thẳng d: (left{ begin{array}{l}x = 1 + t\y = 2 + 4t\z = – tend{array} right.) . A. (dfrac{1}{3}.) B. (dfrac{4}{3}.) C. 0. D. 2. Câu 4. Khoảng cách từ điểm $Aleft( {2;,,4;,,3} right)$ đến mặt phẳng (α): 2x + y + 2z + 1 = 0 và β: x = 0 lần lượt là (d(A,(alpha ))), (d(A,(beta ))). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. (dleft( {A,(alpha )} right))( = 3).(dleft( {A,(beta )} right).) B. (dleft( {A,(alpha )} right))( > )(dleft( {A,(beta )} right).) C. (dleft( {A,(alpha )} right)) = (dleft( {A,(beta )} right).) D. 2.(dleft( {A,(alpha )} right)) = (dleft( {A,(beta )} right).) Câu 5. Tìm tọa độ điểm Mtrên trục Oy sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): (2x – y + 3z – 4 = 0) nhỏ nhất? A. (Mleft( {0;2;0} right).) B. (Mleft( {0;4;0} right).) C. (Mleft( {0; – 4;0} right).) D. (Mleft( {0;dfrac{4}{3};0} right)). Câu 6. Khoảng cách từ điểm (Mleft( { – 4; – 5;6} right)) đến mặt phẳng (Oxy), (Oyz) lần lượt bằng: A. 6 và 4. B. 6 và 5. C. 5 và 4. D. 4 và 6. Câu 7. Khoảng cách từ điểm (Cleft( { – 2;,,0;,,0} right)) đến mặt phẳng (Oxy) bằng: A. 0. B. 2. C. 1. D. (sqrt 2 .) Câu 8. Khoảng cách từ điểm H((1;0;3)) đến đường thẳng ({d_1}:left{ begin{array}{l}x = 1 + t\y = 2t\z = 3 + tend{array} right.), (t in R) và mặt phẳng (P):(z – 3 = 0) lần lượt là (d(H,{d_1})) và (d(H,(P))). Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau: A. (dleft( {H,{d_1}} right) > dleft( {H,(P)} right).) B. (dleft( {H,(P)} right) > dleft( {H,{d_1}} right).) C. (dleft( {H,{d_1}} right) = 6.dleft( {H,(P)} right).) D. (dleft( {H,(P)} right) = 1). Câu 9. Tính khoảng cách từ điểm E((1;1;3)) đến đường thẳng (d:left{ begin{array}{l}x = 2 + t\y = 4 + 3t\z = – 2 – 5tend{array} right.), (t in R) bằng: A(dfrac{1}{{sqrt {35} }}.) B. (dfrac{4}{{sqrt {35} }}.) C. (dfrac{5}{{sqrt {35} }}.) D. 0 Câu 10. Cho vectơ (overrightarrow u left( { – 2;,, – ,2;,,0} right);,,overrightarrow v left( {sqrt 2 ;,,sqrt 2 ;,,2} right)). Góc giữa vectơ (overrightarrow u ) và vectơ (overrightarrow v ) bằng: A. (135^circ ). B. (45^circ ). C. (60^circ ). D. (150^circ ). Câu 11. Cho hai đường thẳng ({d_1}:,,left{ begin{array}{l}x,, = ,,2,, + ,,t\y,, = ,, – 1,, + ,,t\z,, = ,,3end{array} right.) và ({d_2}:,,left{ begin{array}{l}x,, = ,,1,, – ,,t\y,, = ,,2\z,, = ,, – 2,, + ,,tend{array} right.). Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là: A(30^circ ). B. (120^circ ). C. (150^circ ). D. (60^circ ). Câu 12. Cho đường thẳng (Delta :,,dfrac{x}{1},, = ,,dfrac{y}{{ – ,2}},, = ,,dfrac{z}{1}) và mặt phẳng (P): (5x,, + ,,11y,, + ,,2z,, – ,,4,, = ,,0). Góc giữa đường thẳng (Delta ) và mặt phẳng (P) là: A. (60^circ ). B. ( – ,30^circ ). C. (30^circ ). D. ( – ,,60^circ ). Câu 13. Cho mặt phẳng ((alpha ):,,2x,, – ,,y,, + ,,2z,, – ,,1,, = ,,0;,,(beta ):,,x,, + ,,2y,, – ,,2z,, – ,,3,, = ,,0). Cosin góc giữa mặt phẳng (α)và mặt phẳng(,(beta )) bằng: A. (dfrac{4}{9}) B. ( – dfrac{4}{9}.) C. (dfrac{4}{{3sqrt 3 }}.) D. ( – dfrac{4}{{3sqrt 3 }}.) Câu 14. Cho mặt phẳng ((P):,,3x,, + ,,4y,, + ,,5z,, + ,,2,, = ,,0) và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ((alpha ):,,x,, – ,,2y,, + ,,1,, = ,,0;,,(beta ):,,x,, – ,,2z,, – ,,3,, = ,,0). Gọi (varphi ) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó: A. (60^circ ). B. (45^circ ). C. (30^circ ). D. (90^circ ). Câu 15. Cho mặt phẳng ((alpha ):,,3x,, – ,,2y + ,,2z,, – ,,5,, = ,,0). Điểm A(1; – 2; 2). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng (α) một góc (45^circ .) A. Vô số. B. 1. C. 2. D. 4. Câu 16. Hai mặt phẳng nào dưới đây tạo với nhau một góc (60^circ ) A. ((P):,,2x,, + ,,11y,, – ,,5z,, + ,,3 = ,,0) và ((Q):,,x,, + ,,2y,, – ,,z,, – ,,2 = ,,0). B. ((P):,,2x,, + ,,11y,, – ,,5z,, + ,,3 = ,,0) và ((Q):,, – x,, + ,,2y,, + ,,z,, – ,,5 = ,,0). C. ((P):,,2x,, – ,,11y,, + ,,5z,, – ,,21 = ,,0) và ((Q):,,2x,, + ,,y,, + ,,z,, – ,,2 = ,,0). D. ((P):,,2x,, – ,,5y,, + ,,11z,, – ,,6 = ,,0) và ((Q):,, – x,, + ,,2y,, + ,,z,, – ,,5 = ,,0). Câu 17. Cho vectơ (overrightarrow u (1;,,1;,, – ,2),,,overrightarrow v (1;,,0;,,m)). Tìm m để góc giữa hai vectơ (overrightarrow u ,,,overrightarrow v ) có số đo bằng (45^circ ). Một học sinh giải như sau: Bước 1: Tính (cos left( {overrightarrow u ,,,overrightarrow v } right),, = ,,dfrac{{1,, – ,,2m}}{{sqrt 6 .sqrt {{m^2},, + ,,1} }}) Bước 2: Góc giữa (overrightarrow u ,,,overrightarrow v ) có số đo bằng (45^circ ) nên (dfrac{{1,, – ,,2m}}{{sqrt 6 .sqrt {{m^2},, + ,,1} }}, = ,,dfrac{1}{{sqrt 2 }}) ( Leftrightarrow ,,1,, – ,,2m,, = ,,sqrt {3({m^2},, + ,,1)} ) (*) Bước 3: Phương trình ((*),, Leftrightarrow ,,{(1,, – ,,2m)^2},, = ,,3({m^2},, + ,,1)) ( Leftrightarrow ,,{m^2},, – ,,4m,, – ,,2,, = ,,0,, Leftrightarrow ,,left[ begin{array}{l}m,, = ,,2,, – ,,sqrt 6 \m,, = ,,2,, + ,,sqrt 6 .end{array} right.) Bài giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào? A. Sai ở bước 3. B. Sai ở bước 2. C. Sai ở bước 1. D. Đúng. Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm (A( – 3;,, – 4;,,5);)(B(2;,,7;,,7);)(C(3;,,5;,,8);)(D( – 2;,,6;,,1)). Cặp đường thẳng nào tạo với nhau một góc (60^circ )? A. DB và AC. B. AC và CD. C. AB và CB. D. CB và CA. Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua A(2; 1; – 1) tạo với trục Oz một góc (30^circ )? A. (sqrt 2 (x,, – 2),, + ,,(y,, – ,,1),, – ,,(z,, – ,,2),, – 3,, = ,,0.) B. ((x,, – 2),, + ,,sqrt 2 (y,, – ,,1),, – ,,(z,, + ,,1),, – 2,, = ,,0.) C. (2(x,, – 2),, + ,,(y,, – ,,1),, – ,,(z,, – ,,2),, = ,,0.) D. (2(x,, – 2),, + ,,(y,, – ,,1),, – ,,(z,, – ,,1),, – ,,2,, = ,,0.) Câu 20. Cho mặt phẳng ((P):,3x,, + ,,4y,, + ,,5z,, + ,,8,, = ,,0). Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ((alpha ):,,x,, – ,,2y,, + ,,1,, = ,,0;,,(beta ):,,x,, – ,,2z,, – ,,3,, = ,,0). Góc giữa d và (P) là: A. (120^circ .) B. (60^circ .) C. (150^circ .) D. (30^circ .) Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng(left( alpha right):x + 2y + 2z + m = 0) vàđiểm(Aleft( {1;1;1} right)). Khi đó (m) nhận giá trị nào sau đây để khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (left( alpha right)) bằng 1? A. – 2. B. – 8. C. – 2 hoặc – 8. D. 3. Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (left( alpha right)) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm (Aleft( { – 2;0;0} right)),(Bleft( {0;3;0} right)),(Cleft( {0;0;4} right)). Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ (O) đến mặt phẳng (left( {ABC} right)) là A. (dfrac{{sqrt {61} }}{{12}}.) B. 4. C. (dfrac{{12sqrt {61} }}{{61}}.) D. 3. Câu 23. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 3 điểm (Aleft( {1;,2;,3} right);,Bleft( {0;,1;1} right);,Cleft( {1;,0;, – 2} right)). Điểm (M, in ,left( P right):,x + y + z + 2 = 0)sao cho giá trị của biểu thức (T = M{A^2} + ,2M{B^2}, + ,3M{C^2}) nhỏ nhất. Khi đó, điểm (M) cách (left( Q right):,2x – y – 2z + 3 = 0) một khoảng bằng A. (dfrac{{121}}{{54}}.) B. 24. C. (dfrac{{2sqrt 5 }}{3}.) D. (dfrac{{101}}{{54}}.) Câu 24. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng (left( P right):,x + y – z + 2 = 0) và hai đường thẳng (d:,left{ begin{array}{l}x = 1 + t\y = t\z = 2 + 2tend{array} right.); $d’:,left{ begin{array}{l}x = 3 – t’\y = 1 + t’\z = 1 – 2t’end{array} right..$ Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với (left( P right)); cắt d, d’ và tạo với (d) góc ({30^{rm{O}}}.) Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó. A. (dfrac{1}{{sqrt 5 }}.) B. (dfrac{1}{{sqrt 2 }}.) C. (sqrt {dfrac{2}{3}} .) D. (dfrac{1}{2}.) Câu 25. Tập hợp các điểm (Mleft( {x;,y;,z} right))trong không gian (Oxyz) cách đều hai mặt phẳng (left( P right):,x + y – 2z – 3 = 0) và (left( Q right):,x + y – 2z + 5 = 0) thoả mãn: A. x + y – 2z + 1 = 0. B. x + y – 2z + 4 = 0. C. x + y – 2z + 2 = 0. D. x + y – 2z – 4 = 0. Câu 26. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho các điểm (Aleft( {1;0;,0} right),,Bleft( {0;b;,0} right),,Cleft( {0;,0;c} right)) trong đó (b,,c) dương và mặt phẳng (left( P right):,y – ,z, + 1, = 0). Biết rằng (mpleft( {ABC} right)) vuông góc với (mpleft( P right)) và (dleft( {O,,left( {ABC} right)} right), = ,dfrac{1}{3}), mệnh đề nào sau đây đúng? A. (b + ,c = ,1.) B. (2b + ,c = ,1.) C. (b – 3,c = ,1.) D. (3b + ,c = ,3.) Câu 27. Trong không gian (Oxyz) cho điểm (M)thuộc trục Oxcách đều hai mặt phẳng (left( P right):x + y – 2z – 3 = 0) và (left( {Oyz} right)).Khitọa độ điểm (M) là A. (left( {dfrac{3}{{1 + sqrt 6 }};0;0} right))và (left( {dfrac{3}{{sqrt 6 – 1}};0;0} right).) B. (left( {dfrac{3}{{1 + sqrt 6 }};0;0} right)) và (left( {dfrac{3}{{1 – sqrt 6 }};0;0} right).) C. (left( {dfrac{{sqrt 6 – 1}}{3};0;0} right)) và (left( {dfrac{{sqrt 6 + 1}}{3};0;0} right).) D. (left( {dfrac{{1 + sqrt 6 }}{3};0;0} right))và (left( {dfrac{{1 – sqrt 6 }}{3};0;0} right).) Câu 28. Trong không gian $Oxyz$ cho điểm (Aleft( {3; – 2;4} right)) và đường thẳng (d:dfrac{{x – 5}}{2} = dfrac{{y – 1}}{3} = dfrac{{z – 2}}{{ – 2}}). Điểm(M) thuộc đường thẳng $d$ sao cho (M)cách (A) một khoảng bằng(sqrt {17} ). Tọa độ điểm (M) là A. (left( {5;1;2} right))và (left( {6;,,9;,,2} right)). B. (left( {5;1;2} right)) và (left( { – 1; – 8; – 4} right).) C. (left( {5; – 1;2} right))và(left( {1; – 5;6} right).) D. (left( {5;1;2} right)) và (left( {1; – 5;6} right).) Câu 29. Trong không gian (Oxyz) cho tứ diện (ABCD) có các đỉnh (Aleft( {1;2;1} right)),(Bleft( { – 2;1;3} right)),(Cleft( {2; – 1;1} right)) và(Dleft( {0;3;1} right)). Phương trình mặt phẳng (left( P right)) đi qua 2 điểm (A,B) sao cho khoảng cách từ (C)đến (left( P right)) bằng khoảng cách từ (D) đến (left( P right)) là A. (left[ begin{array}{l}4x,, – ,,2y + 7z – 1 = 0\2x + 3z – 5 = 0end{array} right..) B. (2x + 3z – 5 = 0.) C. (4x + 2y + 7z – 15 = 0.) D. (left[ begin{array}{l}4x + 2y + 7z – 15 = 0\2x + 3z – 5 = 0end{array} right..) Câu 30. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,gọi $left( P right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng (d:dfrac{{x – 1}}{1} = dfrac{{y + 2}}{{ – 1}} = dfrac{z}{{ – 2}}) và tạo với trục (Oy) góc có số đo lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc (mpleft( P right))? A. (Eleft( { – 3;0;4} right).) B. (Mleft( {3;0;2} right).) C. (Nleft( { – 1; – 2; – 1} right).) D. (Fleft( {1;,2;1} right).) Câu 31. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm (Mleft( {0;,, – 1;,,,2} right),,Nleft( { – 1;,,1;,,3} right)). Gọi (left( P right)) là mặt phẳng đi qua M, N và tạo với mặt phẳng (Q): 2x – y – 2z – 2 = 0 góc có số đo nhỏ nhất. Điểm $Aleft( {1;,2;,3} right)$ cách mp(left( P right)) một khoảng là A. (sqrt 3 .) B. (dfrac{{5sqrt 3 }}{3}.) C. (dfrac{{7sqrt {11} }}{{11}}.) D. (dfrac{{4sqrt 3 }}{3}.) Câu 32. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho điểm (Aleft( {2;,5;,3} right)) và đường thẳng (d:,dfrac{{x – 1}}{2} = dfrac{y}{1} = dfrac{{z – 2}}{2}). Gọi (left( P right)) là mặt phẳng chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ (A) đến (left( P right)) lớn nhất. Tính khoảng cách từ điểm (Mleft( {1;,2;, – 1} right)) đến mặt phẳng (left( P right)). A. (dfrac{{11sqrt {18} }}{{18}}.) B. (3sqrt 2 .) C. (dfrac{{sqrt {11} }}{{18}}.) D. (dfrac{4}{3}.)