Tổng hợp các đường trong tam giác – Kiến thức dành cho học sinh

Tìm gia sư online

Bài viết ngày hôm nay vieclam88.vn sẽ đề cập tới kiến thức của hình tam giác, cụ thể là các đường trong tam giác. Theo dõi để cập nhật thêm kiến thức hữu ích bạn nhé!

Hình tam giác được chia thành 4 đường khác nhau đó là đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác và đường cao. Mỗi đường sẽ có những đặc điểm cũng như tính chất khác nhau, muốn học tốt môn toán thì bạn cần phải nắm rõ kiến thức về chúng.

1. Đường trung tuyến trong tam giác

1.1. Định nghĩa về đường trung tuyến

Đường trung tuyến chính là 1 đoạn thẳng nối 1 đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện đỉnh đó.

Khái niệm này cũng không quá khó hiểu đúng không, bạn hãy tưởng tượng về đường trung tuyến trong tam giác qua ví dụ sau:

Ví dụ: Tam giác ABC có 1 trung điểm của cạnh BC là AE, nếu E, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB thì tam giác đó sẽ có 3 đường trung tuyến là AE, BG và CH.

1.2. Tính chất của đường trung tuyến

Đường trung tuyến trong tam giác có 3 tính chất đó là:

– Tính chất 1: Cả 3 đường trung tuyến của 1 tam giác sẽ cắt nhau ở 1 điểm duy nhất. Điểm đó sẽ cách đỉnh tam giác 1 khoảng chính bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

– Tính chất 2: Khi ba đường trung tuyến giao nhau ở 1 điểm thì điểm đó sẽ được gọi là trọng tâm.

– Tính chất 3: Đoạn thẳng nối 1 đỉnh của tam giác với trọng tâm chính bằng 2/3 trung tuyến ứng với đỉnh ấy.

Đối với tam giác vuông, đường trung tuyến của tam giác sẽ có 2 tính chất khác biệt như sau:

– Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền sẽ bằng ½ cạnh huyền và ngược lại.

– Một tam giác ABC có góc A vuông, độ dài trung tuyến AI sẽ bằng BI và IC.

Còn với tam giác cân, tam giác đều, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy sẽ vuông góc với cạnh đáy đồng thời sẽ chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau.

Bạn có thể tính độ dài đường trung tuyến qua công thức dưới đây:

Trong đó a, b, c là các cạnh của tam giác; còn ma, mb, mc chính là các đường trung tuyến của tam giác.

Xem thêm: Tìm gia sư toán lớp 7

2. Đường trung trực trong tam giác

2.1. Định nghĩa đường trung trực

Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

Đường trung trực của tam giác chính là yếu tố quan trọng để các em học sinh vận dụng và giải các dạng bài tập hình học khác. Vậy nên ngoài định nghĩa thì những kiến thức về tính chất căn bản hay công thức tính cũng chính là thứ mà các em phải ghi nhớ.

2.2. Tính chất của đường trung trực

Ở đường trung trực của tam giác, bạn cần nhớ các tính chất cơ bản sau:

Thứ nhất, điểm nằm cách đều 2 đầu của đoạn thẳng sẽ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó, ngược lại điểm nằm trên đường trung trực của 1 đoạn thẳng sẽ cách đều 2 đầu của đoạn thẳng đó.

Thứ hai, tâm của đường tròn ngoại tiếp của 1 tam giác chính là giao điểm của 3 đường trung trực.

Thứ ba, xét trong tam giác vuông, giao điểm của 3 đường trung trực chính là trung điểm của cạnh huyền.

2.3. Ví dụ về đường trung trực trong tam giác

Cho 1 tam giác vuông ABC và vuông tại B, có AB = 5cm, BC = 8cm. Chúng ta gọi I là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC. Bạn sẽ tính khoảng cách từ giao điểm I đến các đỉnh của tam giác này như thế nào?

Hướng dẫn lời giải:

Vì I là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC cho nên ta có:

IA = IB = IC

Trong khi đó tam giác ABC lại có góc vuông tại B cho nên I cũng chính là trung điểm của cạnh AC.

Từ đây chúng ta áp dụng định lý Pytago để tính độ dài từ giao điểm I đến 3 đỉnh của tam giác như sau:

AC2 = AB2 + BC2 = 62 + 82 = 100

=> Cạnh AC = 10cm

Do cạnh IA = IB = IC cho nên ta có độ dài của các cạnh này như sau:

IA = IB = IC = AC/2 = 10/2 = 5 cm

3. Đường phân giác trong tam giác

3.1. Khái niệm đường phân giác

Trong toán học về tam giác, đường phân giác chính là kiến thức mà các em học sinh phải học trong chương trình cấp 2. Theo đó cách tính đường phân giác sẽ giúp cho các em giải mã được những bài toán cực kỳ hóc búa có liên quan tới các hình học không gian khác.

Kiến thức về đường phân giác là rất quan trọng, vậy bạn hiểu gì về đường thẳng này?

Tam giác sẽ có 2 đường phân giác đó là đường phân giác trong và đường phân giác ngoài. Đường phân giác trong của 1 góc chính là đường thẳng chia góc đó thành 2 góc bằng nhau. Đường phân giác ngoài của 1 góc lại chính là đường thẳng chia góc kề bù của góc đó thành 2 góc bằng nhau.

3.2. Tính chất của đường phân giác

Không chỉ là đường trung tuyến hay đường trung trực mà đường phân giác cũng có những tính chất riêng, người học nên chú ý tới chúng để có thể áp dụng vào giải bài tập một cách hiệu quả nhất.

Một số tính chất của đường phân giác trong tam giác cần chú ý như sau:

Thứ nhất, đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của 1 góc luôn luôn vuông góc với nhau.

Thứ hai, tập hợp các điểm nằm trong 1 góc và cách đều 2 cạnh của góc đó thì nằm trên đường phân giác trong của góc đó và ngược lại.

Thứ ba, cả 3 đường của tam giác sẽ cùng đi qua 1 điểm, khoảng cách từ giao điểm này tới 3 cạnh là bằng nhau.

3.3. Ví dụ về dạng bài tập cụ thể

Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc BDA trong đó D thuộc BC, cạnh AC dài là 5cm, cạnh BC có độ dài 6cm và cạnh CA có độ dài là 7cm. Hãy tính độ dài của đoạn DC?

Hướng dẫn lời giải:

Theo giả thuyết ta có góc BAD = góc DAC, từ đó suy ra:

BD/CD = AB/AC = 5/7

=> (BD + DC)/CD = (5 + 7)/7 = 12/7

=> 6/CD = 12/7

=> Ta có cạnh CD = (7 x 6)/12 = 3.5cm

Như vậy kiến thức về đường phân giác cũng không quá khó đúng không nào? Hãy dựa vào lý thuyết và ví dụ vừa rồi để thực hành tốt hơn trong việc giải bài tập có liên quan tới đường phân giác trong tam giác nhé.

Tham khảo: Tổng hợp các dạng bài tập về đường tròn phổ biến nhất

4. Các đường cao trong tam giác

4.1. Định nghĩa về đường cao trong tam giác

Đường cao trong tam giác khi định nghĩa theo toán học thì đó chính là đoạn thẳng được kẻ từ 1 đỉnh bất kỳ của tam giác xuống cạnh đối diện và vuông góc với cạnh đó. Cạnh này sẽ được gọi là cạnh đáy ứng với đường cao của tam giác.

Một kiến thức quan trọng nữa mà các bạn cần nhớ khi học về đường cao của tam giác đó là chân của đường cao chính là giao điểm của đường cao ấy với cạnh đáy. Còn khoảng cách giữa đỉnh của tam giác tới cạnh đáy còn được gọi là độ dài của đường cao.

4.2. Tính chất của đường cao trong tam giác

– Trong tam giác cân:

+) Đường cao tương ứng với cạnh đáy bất kỳ chính là đường trung tuyến của cạnh đó, như vậy đường cao của tam giác cân sẽ đi qua trung điểm của cạnh đáy

+) Đường cao của tam giác cân chính là đường phân giác của góc ở đỉnh và đường trung trực của đáy tam giác

– Trong tam giác vuông: Đường cao với đáy là 1 cạnh của góc vuông, đồng thời nó cũng chính là cạnh của góc vuông còn lại. Đỉnh của góc vuông chính là chân đường cao hạ từ 2 đỉnh còn lại xuống 2 góc vuông ở cạnh đáy.

Những thông tin vừa rồi chính là kiến thức hữu ích về các đường trong tam giác giúp các em học sinh học tốt môn toán. Đừng quên đồng hành cùng vieclam88.vn để biết thêm nhiều thông tin về toán học bổ ích khác nhé.

Dưới đây là một số dạng bài tập tham khảo, click vào file để tải về hoặc theo dõi bạn nhé!

7_4_9_bai_tap_tong_hop_ve_chung_minh_tam_giac_5592.pdf

7_6_9_bai_tap_co_ban_ve_cac_duong_trong_tam_giac_4391-đã chuyển đổi.docx

1915317-659-huongdangiaibai58denbai62trang83sgktoan7tap2_2873-đã chuyển đổi.docx