Số nguyên là gì? Khái niệm & các tập hợp số cơ bản khác

Số nguyên là gì? Đây là một khái niệm vô cùng quen thuộc trong lĩnh vực số học. Tuy nhiên bạn đã thực sự hiểu được ý nghĩa của khái niệm này chưa? Hãy cùng Kiến thức máy móc tìm hiểu về khái niệm này nhé!

Số nguyên là gì?

Số nguyên là một trong những khái niệm cơ bản nhất của toán học. Số nguyên bao gồm các số nguyên dương và các số đối của chúng là số nguyên âm. Ngoài ra số nguyên còn bao gồm số 0. Đây là số duy nhất nằm giữa và là ranh giới phân biệt giữa hai đầu âm và dương.

Advertisement

Nếu phát biểu theo đúng khái niệm toán học: Các số nguyên là miền nguyên bao gồm các số được sắp xếp theo một thứ tự duy nhất. Các phần tử dương của nó được sắp xếp theo một thứ tự logic với quy luật được bảo toàn bởi phép cộng. Phát biểu đơn giản và dễ hiểu hơn thì số nguyên chính là những số có thể biểu thị mà không cần sử dụng tới thành phần phân số.

Tập hợp số nguyên Z

Khái niệm

Tập hợp số nguyên được ký hiệu là Z. Ký hiệu này là viết tắt của từ Zahl có nghĩa là chữ số trong tiếng Đức. Đây cũng là tập hợp con của hai tập hợp lớn hơn là tập hợp số hữu tỉ Q và số thực R. Đồng thời cũng là tập hợp mẹ của tập hợp số tự nhiên N. Và với tính chất giống như tập hợp số tự nhiên, tập hợp số Z là vô hạn nhưng đếm được. Tập hợp số nguyên Z có thể được chia thành 2 tập hợp con là Z+ và Z-. Trong đó:

Advertisement

Z+ là tập hợp các nguyên dương lớn hơn 0

Z- là tập hợp các số nguyên âm nhỏ hơn 0

Advertisement

Một lưu ý là số 0 chỉ nằm trong tập hợp Z, không nằm trong hai tập con Z+ và Z-.

Tính chất của tập Z

Các số nguyên thuộc tập Z sẽ có những tính chất cơ bản sau đây:

– Không có khái niệm số nguyên lớn nhất và số nguyên nhỏ nhất. Khái niệm lớn nhất và nhỏ nhất chỉ mang tính chất tương đối và phụ thuộc vào điều kiện trong từng trường hợp.

– Số nguyên dương nhỏ nhất là 1. Số nguyên âm lớn nhất là -1.

– Số nguyên Z bao gồm vô số tập con hữu hạn. Những tập con đó sẽ có số nguyên nhỏ nhất và lớn nhất xác định.

– Không tồn tại một số nguyên nào nằm giữa hai số nguyên liên tiếp.

Các tập hợp số cơ bản khác

Tập hợp số tự nhiên N

N là ký hiệu của tập hợp các số tự nhiên và là tập hợp số cơ bản nhỏ nhất trong hệ thống các tập hợp số. Số tự nhiên bao gồm những số 0, 1, 2, 3, …. Những số này được tìm ra và được sử dụng trong quá trình đếm, ghi chép và lưu trữ thông tin. Đây là tập hợp số đầu tiên được hình thành trong lịch sử loài người.

Khái niệm các con số đã xuất hiện rất lâu trên thế giới, từ thời các nền văn hóa cổ đại như Babylon hay Ai Cập. Tuy nhiên khái niệm tập hợp số tự nhiên mới chỉ xuất hiện trong thời gian hiện đại vào thế kỉ 19. N chính là tập hợp đầu tiên tạo nên nền tảng của lĩnh vực lý thuyết tập hợp và khoa học máy tính.

Ví dụ:

Tập hợp số hữu tỉ Q

Q là tập hợp của các số hữu tỉ – những số có thể được biểu diễn ở dạng phân số a/b với điều kiện cả hai số a và b đều là số nguyên và b0. Q cũng giống như N hay Z đều là những tập hợp số vô hạn nhưng đếm được. Một số hữu tỉ có thể biểu diễn bằng nhiều phân số khác nhau và biểu diễn dưới dạng số thập phân. Số hữu tỉ khi ở dạng thập phân có thể trở thành số thập phân tuần hoàn hoặc số thập phân không tuần hoàn.

Ví dụ:

Tập hợp số vô tỉ I

I là tập hợp các số vô tỉ – Những số không thể biểu diễn được ở dạng phân số. Số vô tỉ thường được diễn ra một cách dễ hiểu là những số thực không phải số hữu tỉ. Người đầu tiên đặt ra vấn đề về sự tồn tại của số vô tỉ là một nhà toán học theo trường phái Pythagore. Ông đã tìm ra vấn đề khi cố gắng xác định độ dài các cạnh của một ngôi sao năm cánh bằng phương pháp Pythagore. Rằng phải có một đơn vị có độ nhỏ phù hợp để thể hiện được độ dài của các cạnh ngôi sao và số đó không thể biểu thị bằng tỉ số của hai số nguyên.

Ví dụ:

Các nhà toán học Hy Lạp đã gọi đó là những số không thể đo lường hoặc diễn tả được. Một thời gian sau, nhà toán học Hy Lạp Theodorus của Cyrene đã thành công chứng minh được tính vô tỉ khi tiến hành khai căn những số nguyên nhỏ hơn 17. Từ đó, nhà toán học Hy Lạp Eudoxus của Cnidus đã xây dựng một nền tảng vững chãi về nghiên cứu các số vô tỉ.

Tập hợp số thực R

R là tập hợp các số thực được xác định là một khái niệm lớn bao hàm các khái niệm số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ và vô tỉ. Đây là tập hợp số lớn nhất và được coi là một hệ thống đại số đồ sộ. Ngoại trừ số 0 nằm ở vị trí trung tâm của trục số, bất kì số thực khác sẽ đều có thể là số âm hoặc số dương. Bản chất của R cũng như các tập con khác, đều là các tập hợp số vô hạn. Tuy nhiên quy mô của tập hợp này quá lớn khiến số lượng số thực là không đếm được.

Khái niệm số thực lần đầu tiên được sử dụng vào thế kỷ 17 bởi nhà toán học người Pháp René Descartes để biểu thị các giá trị nghiệm của đa thức và phân biệt với các nghiệm ảo. Tuy nhiên, đến tận năm 1871 khái niệm chính xác nhất và được sử dụng cho tới tận ngày nay về số thực mới được công bố bởi nhà toán học Georg Cantor.

Ví dụ:

Tập hợp số phức C

C là tập hợp các số phức có dạng a + bi, với a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo. Chính vì dạng biểu diễn này mà số phức sẽ bao gồm hai phần là phần thực và phần ảo.

Cha đẻ của khái niệm số học này là nhà toán học người Ý Gerolamo Cardano vào thế kỉ XIV với ứng dụng đầu tiên được sử dụng để giải các phương trình bậc ba. Và từ đó số phức được sử dụng để có thể giải được những bài toán không tìm được nghiệm là những số thực. Đây là một khái niệm được sử dụng trong rất nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau như khoa học kỹ thuật, điện từ học, cơ học, vật lý lượng tử và lý thuật hỗn loạn trong toán học ứng dụng.

Trên đây là bài viết giới thiệu về số nguyên là gì? cùng các tập hợp số cơ bản khác của lĩnh vực đại số. Hy vọng bài viết này đã cung cấp tới bạn những thông tin về những con số. Đừng quên theo dõi website của chúng tôi để tiếp thu thêm những kiến thức vật lý vô cùng thú vị mỗi ngày nhé!