Tính Toán Phần Bù Đại Số Của Ma Trận Trực Tuyến. Trẻ Vị Thành Niên Và Phép Cộng Đại Số

Tag: phần bù đại số là gì

yếu tố quyết định theo hàng hoặc cột

Các tính chất khác liên quan đến các khái niệm phần bù đại số và phụ

Sự định nghĩa. Người vị thành niên phần tử được gọi là định thức, bao gồm các phần tử còn lại sau khi xóatôi-oh thoát nước vàjcột thứ tại giao điểm của phần tử này. Yếu tố quyết định nhỏ n-th order có order ( n– một). Chúng tôi sẽ biểu thị nó bằng.

ví dụ 1Để cho được , sau đó .

Trẻ vị thành niên này có được từ A bằng cách xóa hàng thứ hai và cột thứ ba.

Sự định nghĩa.Phép cộng đại số phần tử được gọi là phần tử tương ứng, nhân với nat.e , ở đâutôi-số dòng vàj-các cột tại giao điểm của phần tử đã cho.

VІІІ. (Sự phân rã của định thức trên các phần tử của một số chuỗi). Định thức bằng tổng các tích của các phần tử của một hàng nào đó và các phép cộng đại số tương ứng của chúng.

.

Ví dụ 2 Hãy để sau đó

.

Ví dụ 3 Hãy tìm định thức của ma trận, mở rộng nó theo các phần tử của hàng đầu tiên.

Về mặt hình thức, định lý này và các tính chất khác của định thức cho đến nay chỉ có thể áp dụng cho các định thức của ma trận không cao hơn bậc ba, vì chúng ta chưa xét đến các định thức khác. Định nghĩa sau đây sẽ mở rộng các thuộc tính này cho các yếu tố quyết định của bất kỳ thứ tự nào.

Sự định nghĩa. bản ngã ma trận MỘT bậc n là một số được tính bằng cách sử dụng ứng dụng tuần tự của định lý phân rã và các tính chất khác của định thức.

Bạn có thể kiểm tra rằng kết quả tính toán không phụ thuộc vào thứ tự áp dụng các thuộc tính trên và các hàng và cột nào. Định thức có thể được xác định duy nhất bằng cách sử dụng định nghĩa này.

Mặc dù định nghĩa này không chứa công thức rõ ràng để tìm định thức, nhưng nó cho phép bạn tìm định thức bằng cách rút gọn thành định thức của ma trận có bậc thấp hơn. Những định nghĩa như vậy được gọi là tái diễn.

Ví dụ 4 Tính định thức:.

Mặc dù định lý phân rã có thể được áp dụng cho bất kỳ hàng hoặc cột nào của một ma trận nhất định, sẽ có ít tính toán hơn khi phân tích trên một cột chứa càng nhiều số 0 càng tốt.

Vì ma trận không có phần tử nào bằng 0 nên chúng ta thu được chúng bằng cách sử dụng thuộc tính 7). Nhân hàng đầu tiên liên tiếp với các số (-5), (-3) và (-2) rồi cộng nó vào các hàng thứ 2, 3 và 4 và nhận được:

Chúng tôi mở rộng định thức kết quả trong cột đầu tiên và nhận được:

(lấy ra từ dòng đầu tiên (-4), từ dòng thứ 2 – (-2), từ dòng thứ 3 – (-1) theo tính chất 4)

(vì định thức chứa hai cột tỷ lệ).

§ 1.3. Một số loại ma trận và định thức của chúng

Sự định nghĩa. m vuông ma trận không có phần tử nào bên dưới hoặc bên trên đường chéo chính(= 0 khi tôi j, hoặc = 0 lúc tôi j)đã gọihình tam giác .

Chúng ta tiếp tục nói về các hành động với ma trận. Cụ thể là trong quá trình học bài giảng này, các bạn sẽ học cách tìm ma trận nghịch đảo. Học hỏi. Ngay cả khi toán học chặt chẽ.

Ma trận nghịch đảo là gì? Ở đây chúng ta có thể rút ra sự tương tự với các số có đi có lại: chẳng hạn, hãy xem xét số 5 lạc quan và số tương hỗ của nó. Tích của các số này bằng một:. Điều này cũng tương tự với ma trận! Tích của ma trận và nghịch đảo của nó là – ma trận đơn vị, là ma trận tương tự của đơn vị số. Tuy nhiên, điều đầu tiên, chúng ta sẽ giải quyết một vấn đề thực tế quan trọng, đó là chúng ta sẽ học cách tìm ra ma trận rất nghịch đảo này.

Bạn cần biết những gì để có thể tìm được ma trận nghịch đảo? Bạn phải có khả năng quyết định yếu tố quyết định. Bạn phải hiểu những gì là ma trận và có thể thực hiện một số hành động với chúng.

Có hai phương pháp chính để tìm ma trận nghịch đảo: qua phép cộng đại số Và sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Hôm nay chúng ta sẽ nghiên cứu cách thứ nhất, dễ hơn.

Hãy bắt đầu với điều khủng khiếp nhất và không thể hiểu nổi. Xem xét Quảng trường ma trận. Ma trận nghịch đảo có thể được tìm thấy bằng công thức sau:

Đâu là định thức của ma trận, là ma trận chuyển vị của các phần bù đại số của các phần tử tương ứng của ma trận.

Khái niệm ma trận nghịch đảo chỉ tồn tại đối với ma trận vuông, ma trận “hai nhân hai”, “ba nhân ba”, v.v.

Ký hiệu: Như bạn có thể đã nhận thấy, nghịch đảo của ma trận được biểu thị bằng một chỉ số trên

Hãy bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất – ma trận hai nhân hai. Tất nhiên, thường xuyên nhất, “ba nhân ba” là bắt buộc, nhưng, tuy nhiên, tôi thực sự khuyên bạn nên nghiên cứu một nhiệm vụ đơn giản hơn để tìm hiểu nguyên tắc chung của giải pháp.

Ví dụ:

Tìm nghịch đảo của ma trận

Chúng tôi quyết định. Chuỗi các hành động được phân chia thành các điểm một cách thuận tiện.

1) Đầu tiên chúng ta tìm định thức của ma trận.

Nếu hiểu về hành động này chưa tốt, hãy đọc tài liệu Làm thế nào để tính định thức?

Quan trọng! Nếu định thức của ma trận là SỐ KHÔNG– ma trận nghịch đảo KHÔNG TỒN TẠI.

Trong ví dụ đang được xem xét, nó hóa ra, có nghĩa là mọi thứ đều theo thứ tự.

2) Tìm ma trận của trẻ vị thành niên.

Để giải đáp vấn đề của chúng ta không nhất thiết phải biết trẻ vị thành niên là gì, tuy nhiên nên đọc bài viết Cách tính định thức.

Ma trận của trẻ vị thành niên có cùng kích thước với ma trận, nghĩa là trong trường hợp này. Trường hợp nhỏ, nó vẫn là tìm bốn số và đặt chúng thay vì dấu hoa thị.

Quay lại ma trận của chúng tôi Trước tiên, hãy nhìn vào phần tử trên cùng bên trái:

Làm thế nào để tìm thấy nó người vị thành niên?Và điều này được thực hiện như thế này: MENTALLY gạch bỏ hàng và cột mà phần tử này nằm trong đó:

Số còn lại là phần tử phụ của phần tử đã cho, mà chúng tôi viết trong ma trận về trẻ vị thành niên của mình:

Xem xét phần tử ma trận sau:

Tinh thần gạch bỏ hàng và cột mà phần tử này nằm trong đó:

Những gì còn lại là phần nhỏ của phần tử này, mà chúng tôi viết vào ma trận của mình:

Tương tự, chúng tôi xem xét các phần tử của hàng thứ hai và tìm các phần tử phụ của chúng:

Sẵn sàng.

Nó đơn giản. Trong ma trận của trẻ vị thành niên, bạn cần THAY ĐỔI DẤU HIỆU cho hai số:

Chính những con số này mà tôi đã khoanh!

là ma trận các phần phụ đại số của các phần tử tương ứng của ma trận.

Và chỉ một cái gì đó…

4) Tìm ma trận chuyển vị của các phép cộng đại số.

là ma trận chuyển vị của các phần bù đại số của các phần tử tương ứng của ma trận.

5) Trả lời.

Hãy nhớ công thức của chúng tôi Tất cả được tìm thấy!

Vậy ma trận nghịch đảo là:

Tốt nhất hãy để nguyên câu trả lời. KHÔNG CẦN chia mỗi phần tử của ma trận cho 2, vì sẽ thu được các số phân số. Sắc thái này được thảo luận chi tiết hơn trong cùng một bài báo. Hành động với ma trận.

Làm thế nào để kiểm tra các giải pháp?

Phép nhân ma trận phải được thực hiện

Kiểm tra:

đã được đề cập ma trận đơn vị là một ma trận với các đơn vị trên đường chéo chính và số không ở những nơi khác.

Do đó, ma trận nghịch đảo được tìm thấy chính xác.

Nếu bạn thực hiện một hành động, thì kết quả cũng sẽ là một ma trận nhận dạng. Đây là một trong số ít trường hợp phép nhân ma trận có thể hoán vị, có thể tham khảo thêm thông tin trong bài Các thuộc tính của các phép toán trên ma trận. Biểu thức ma trận. Cũng lưu ý rằng trong quá trình kiểm tra, hằng số (phân số) được đưa về phía trước và được xử lý ở cuối – sau phép nhân ma trận. Đây là một tiêu chuẩn.

Hãy chuyển sang một trường hợp phổ biến hơn trong thực tế – ma trận ba nhân ba:

Ví dụ:

Tìm nghịch đảo của ma trận

Thuật toán hoàn toàn giống với trường hợp hai nhân hai.

Chúng ta tìm ma trận nghịch đảo bằng công thức :, ma trận chuyển vị của các phần bù đại số của các phần tử tương ứng của ma trận là ở đâu.

1) Tìm định thức ma trận.

Ở đây yếu tố quyết định được tiết lộ trên dòng đầu tiên.

Ngoài ra, đừng quên điều đó, có nghĩa là mọi thứ đều ổn – tồn tại ma trận nghịch đảo.

2) Tìm ma trận của trẻ vị thành niên.

Ma trận trẻ vị thành niên có thứ nguyên “ba nhân ba” , và chúng ta cần tìm chín số.

Tôi sẽ xem xét chi tiết một số trẻ vị thành niên:

Xem xét phần tử ma trận sau: MENTALLY gạch bỏ hàng và cột mà phần tử này nằm trong đó:

Bốn số còn lại được viết trong định thức “hai bằng hai” Yếu tố quyết định hai x hai này và là một phần tử phụ của phần tử đã cho. Nó cần được tính toán:

Tất cả mọi thứ, trẻ vị thành niên được tìm thấy, chúng tôi viết nó vào ma trận trẻ vị thành niên của chúng tôi:

Như bạn có thể đã đoán, có chín định thức hai nhân hai để tính toán. Tất nhiên, quá trình này rất buồn tẻ, nhưng trường hợp không phải là khó nhất, nó có thể tồi tệ hơn.

Vâng, để củng cố – tìm một trẻ vị thành niên khác trong các bức tranh: Cố gắng tự tính toán phần còn lại của trẻ vị thành niên.

Kết quả cuối cùng: là ma trận các phần tử con của các phần tử tương ứng của ma trận.

Thực tế là tất cả các trẻ vị thành niên hóa ra là tiêu cực là hoàn toàn trùng hợp.

3) Tìm ma trận của các phép cộng đại số.

Trong ma trận của trẻ vị thành niên, cần THAY ĐỔI DẤU HIỆUđối với các yếu tố sau: Trong trường hợp này:

Việc tìm ma trận nghịch đảo cho ma trận “bốn x bốn” không được xem xét, vì chỉ một giáo viên bạo lực mới có thể giao một nhiệm vụ như vậy (cho học sinh tính một định thức “bốn x bốn” và 16 định thức “ba x ba”) . Trong thực tế của tôi, chỉ có một trường hợp như vậy, và khách hàng của bài kiểm tra đã phải trả giá cho sự dày vò của tôi khá đắt =).

Trong một số sách giáo khoa, sách hướng dẫn, bạn có thể tìm thấy một cách tiếp cận hơi khác để tìm ma trận nghịch đảo, nhưng tôi khuyên bạn nên sử dụng thuật toán giải trên. Tại sao? Bởi vì xác suất bị nhầm lẫn trong các phép tính và các dấu hiệu ít hơn nhiều.

Trẻ vị thành niên ma trận

Hãy để một hình vuông ma trận A, đơn hàng thứ n. Người vị thành niên một số phần tử a ij, yếu tố quyết định ma trậnđơn hàng thứ n được gọi là bản ngã(n – 1) -thứ tự, nhận được từ thứ tự ban đầu bằng cách xóa hàng và cột tại giao điểm của phần tử đã chọn a ij. Ký hiệu là M ij.

Hãy xem một ví dụ yếu tố quyết định ma trận 3 – thứ tự của nó:

Sau đó theo định nghĩa người vị thành niên, người vị thành niên M 12 tương ứng với phần tử a 12 sẽ là bản ngã:

Đồng thời, với sự giúp đỡ trẻ vị thành niên có thể giúp tính toán dễ dàng hơn yếu tố quyết định ma trận. Cần phân hủy yếu tố quyết định ma trận dọc theo một số dòng và sau đó bản ngã sẽ bằng tổng tất cả các phần tử của hàng này và các phần tử phụ của chúng. Sự phân hủy yếu tố quyết định ma trận 3 – thứ tự của nó sẽ như thế này:

Dấu trước tích là (-1) n, trong đó n = i + j.

Phép cộng đại số:

Phép cộng đại số phần tử a ij được gọi là phần tử của nó người vị thành niên, được lấy bằng dấu “+” nếu tổng (i + j) là số chẵn và bằng dấu “-” nếu tổng này là số lẻ. Ký hiệu là A ij. A ij u003d (-1) i + j × M ij.

Sau đó, chúng ta có thể định dạng lại thuộc tính trên. Định thức ma trận bằng tổng tích các phần tử của một hàng nhất định (hàng hoặc cột) ma trận tương ứng với họ phép cộng đại số. Ví dụ:

4. Ma trận nghịch đảo và cách tính của nó.

Cho A là một hình vuông ma trậnđơn hàng thứ n.

Quảng trường ma trận A được gọi là không suy biến nếu yếu tố quyết định ma trận(Δ = det A) không bằng 0 (Δ = det A ≠ 0). Ngược lại (Δ = 0) ma trận Nó được gọi là thoái hóa.

Ma trận, liên minh với ma trận Ah, nó được gọi là ma trận

Nơi A ij – phép cộng đại số phần tử a ij đã cho ma trận(nó được định nghĩa theo cách tương tự như phép cộng đại số yếu tố yếu tố quyết định ma trận).

Ma trận A -1 được gọi là ma trận nghịch đảo A, nếu điều kiện được đáp ứng: A × A -1 u003d A -1 × A u003d E, trong đó E là một ma trận thứ tự giống như ma trận NHƯNG. Ma trận A -1 có cùng kích thước với ma trận NHƯNG.

ma trận nghịch đảo

Nếu có hình vuông ma trận X và A thỏa mãn điều kiện: X × A u003d A × X u003d E, trong đó E là đơn vị ma trận cùng một thứ tự, sau đó ma trận X được gọi là ma trận nghịch đảo vào ma trận A và được ký hiệu là A -1. Bất kỳ không thoái hóa ma trận Nó có ma trận nghịch đảo và hơn nữa, chỉ một, tức là, để bình phương ma trận A đã có ma trận nghịch đảo, nó là cần thiết và đủ rằng nó bản ngã khác 0.

Để nhận được ma trận nghịch đảo sử dụng công thức:

Trong đó M ji là tùy chọn người vị thành niên yếu tố a ji ma trận NHƯNG.

5. Ma trận xếp hạng. Tính toán hạng bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Xét một ma trận hình chữ nhật mxn. Hãy tách ra một số k hàng và k cột trong ma trận này, 1 £ k £ min (m, n). Từ các phần tử ở giao điểm của các hàng và cột đã chọn, chúng ta sẽ lập định thức của bậc thứ k. Tất cả các yếu tố quyết định như vậy được gọi là phần tử ma trận. Ví dụ: đối với một ma trận, bạn có thể soạn các phần tử bậc hai và trẻ vị thành niên thứ nhất 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Sự định nghĩa. Bậc của ma trận là bậc cao nhất của số nhỏ khác 0 của ma trận này. Biểu thị hạng của ma trận r (A).

Trong ví dụ trên, hạng của ma trận là hai, ví dụ: hạng nhỏ

Hạng của ma trận được tính toán thuận tiện bằng phương pháp biến đổi cơ bản. Các phép biến đổi cơ bản bao gồm:

1) hoán vị của các hàng (cột);

2) nhân một hàng (cột) với một số khác 0;

3) thêm vào các phần tử của một hàng (cột) các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác, trước đó đã được nhân với một số nhất định.

Các phép biến đổi này không làm thay đổi thứ hạng của ma trận, vì biết rằng 1) khi các hàng được hoán vị, định thức đổi dấu và nếu nó không bằng 0, thì nó sẽ không; 2) khi nhân hàng của định thức với một số không bằng 0, định thức sẽ được nhân với số này; 3) phép biến đổi cơ bản thứ ba hoàn toàn không làm thay đổi định thức. Do đó, bằng cách thực hiện các phép biến đổi cơ bản trên ma trận, người ta có thể thu được một ma trận mà từ đó dễ dàng tính được hạng của nó và do đó, của ma trận ban đầu.

Sự định nghĩa. Ma trận thu được từ ma trận sử dụng các phép biến đổi cơ bản được gọi là tương đương và được ký hiệu là NHƯNG TRONG.

Định lý. Hạng của ma trận không thay đổi trong các phép biến đổi ma trận sơ cấp.

Với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, người ta có thể đưa ma trận về dạng gọi là bước, khi đó việc tính hạng của nó không khó.

Ma trận được gọi là bước nếu nó có dạng:

Rõ ràng, thứ hạng của ma trận bước bằng số hàng khác 0 , tại vì có một số nhỏ của thứ tự thứ, không bằng 0:

.

Sự định nghĩa. Nếu chúng ta chọn tùy ý k hàng và k cột trong định thức bậc n, thì các phần tử tại giao điểm của các hàng và cột được chỉ định tạo thành một ma trận vuông bậc k. Định thức của một ma trận vuông như vậy được gọi là thứ tự thứ k .

Ký hiệu là M k. Nếu k = 1 thì hạng tử bậc nhất là một phần tử của định thức.

Các phần tử tại giao điểm của (n-k) hàng và (n-k) cột còn lại tạo thành một ma trận vuông có bậc (n-k). Định thức của một ma trận như vậy được gọi là con, thêm vàođến M thứ yếu k. Ký hiệu M n-k.

Phần bù đại số của phụ tử M k chúng ta sẽ gọi nó là một phụ bổ sung, được lấy bằng dấu “+” hoặc “-”, tùy thuộc vào việc tổng các số của tất cả các hàng và cột mà M k nhỏ nằm ở đó là chẵn hay lẻ.

Nếu k = 1 thì phần bù đại số của phần tử aik tính theo công thức

MỘT ik = (- 1) i + k M ik, nơi M ik– thứ tự nhỏ (n-1).

Định lý. Tích của một con bậc k và phần bù đại số của nó bằng tổng của một số hạng tử nhất định của định thức D n.

Bằng chứng

1. Hãy xem xét một trường hợp đặc biệt. Để M thứ hạng k chiếm góc trên bên trái của định thức, tức là nó nằm trong các hàng có số 1, 2, …, k thì M thứ hạng sẽ chiếm các hàng k + 1, k + 2, …, n.

Hãy tính phần bù đại số của M k nhỏ. Theo định nghĩa,

MỘT n-k = (- 1) s M n-k, trong đó s = (1 + 2 + … + k) + (1 + 2 + … + k) = 2 (1 + 2 + … + k), thì

(-1) s= 1 và A n-k = M n-k. Lấy

M k MỘT n-k = M k M n-k. (*)

Chúng tôi lấy một số hạng tùy ý của M k

, (1)

trong đó s là số lần đảo ngược trong sự thay thế

và một thuật ngữ tùy ý của M phụ n-k

trong đó s * là số lần đảo ngược trong sự thay thế

(4)

Nhân (1) với (3), ta được

Tích gồm n phần tử nằm ở các hàng và cột khác nhau của định thức D. Do đó, tích này là thành viên của định thức D. Dấu của tích (5) được xác định bằng tổng các nghịch đảo trong các phép thay thế (2) và (4), và dấu của tích tương tự trong định thức D được xác định bằng số nghịch đảo sk trong phép thay thế

Rõ ràng, s k = s + s *.

Do đó, trở về đẳng thức (*), chúng ta thu được sản phẩm M k MỘT n-k chỉ bao gồm các điều khoản của định thức.

2. Để tiểu nhân M k nằm trong các hàng có số tôi 1, tôi 2, …, tôi k và trong các cột có số j 1, j 2, …, j k, và tôi 1< i 2 < …< i k Và j1< j 2 < …< j k .

Sử dụng các thuộc tính của định thức, với sự trợ giúp của các phép chuyển vị, chúng ta chuyển số nhỏ sang góc trên bên trái. Ta thu được định thức D ¢ trong đó M nhỏ nhất k chiếm góc trên bên trái, và phụ bổ sung M ¢ n-k là góc dưới bên phải, sau đó, theo những gì đã được chứng minh trong đoạn 1, chúng ta nhận được rằng sản phẩm M k M ¢ n-k là tổng một số phần tử của định thức D ¢ lấy dấu riêng. Nhưng D ¢ nhận được từ D với ( i 1 -1) + (i 2 -2) + … + (i k -k) = (i 1 + i 2 + … + i k) – (1 + 2 + … + k) chuyển vị chuỗi và ( j 1 -1) + (j 2 -2) + … + (j k -k) = (j 1 + j 2 + … + j k) – (1 + 2 + … + k) chuyển vị cột. Đó là, mọi thứ đã được thực hiện

(i 1 + i 2 + … + ik) – (1 + 2 + … + k) + (j 1 + j 2 + … + jk) – (1 + 2 + … + k ) = (i 1 + i 2 + … + ik) + (j 1 + j 2 + … + jk) – 2 (1 + 2 + … + k) = s-2 (1 + 2 + … + k). Do đó, các số hạng của định thức D và D ¢ khác nhau trong dấu (-1) s-2 (1 + 2 + … + k) = (- 1) s, do đó, tích (-1) s M k M ¢ n-k sẽ bao gồm một số số hạng nhất định của định thức D, được lấy cùng các dấu hiệu như chúng có trong định thức này.

Định lý Laplace. Nếu chúng ta chọn tùy ý k hàng (hoặc k cột) 1 £ k £ n-1 trong định thức thứ n, thì tổng các tích của tất cả các con thứ k có trong các hàng đã chọn và phần bổ sung đại số của chúng bằng định thức D.

Bằng chứng

Chọn hàng ngẫu nhiên tôi 1, tôi 2, …, tôi k và chứng minh rằng

Trước đó, người ta đã chứng minh rằng tất cả các phần tử ở phía bên trái của đẳng thức được chứa dưới dạng các số hạng trong định thức D. Hãy chứng minh rằng mỗi số hạng của định thức D chỉ thuộc một trong các số hạng. Thật vậy, mọi t s có hình thức t s =. nếu trong sản phẩm này, chúng tôi đánh dấu các yếu tố có chỉ số đầu tiên tôi 1, tôi 2, …, tôi k, và soạn sản phẩm của họ, sau đó bạn có thể thấy rằng sản phẩm thu được thuộc về phụ thứ k. Do đó, các số hạng còn lại, được lấy từ n-k hàng và n-k cột còn lại, tạo thành một phần tử thuộc phần phụ bổ sung, và, có tính đến dấu, cho phần bù đại số, do đó, bất kỳ t s chỉ rơi vào một trong các tích, điều này chứng minh định lý.

Hậu quả(định lý về khai triển của định thức liên tiếp) . Tổng các tích của các phần tử của một số hàng của định thức và các phép cộng đại số tương ứng bằng định thức.

(Chứng minh như một bài tập.)

Định lý. Tổng các tích của các phần tử thuộc hàng thứ i của định thức và phần đại số tương ứng với các phần tử của hàng thứ j (i¹j) bằng 0.

Trong chủ đề này, chúng tôi xem xét các khái niệm đại số phần bù và phần phụ. Phần trình bày của tài liệu dựa trên các thuật ngữ được giải thích trong chủ đề “Ma trận. Các loại ma trận. Các thuật ngữ cơ bản”. Chúng ta cũng sẽ cần một số công thức để tính toán các định thức. Vì có rất nhiều thuật ngữ trong chủ đề này liên quan đến trẻ vị thành niên và bổ sung đại số, tôi sẽ thêm phần tóm tắt để giúp bạn dễ dàng tìm hiểu tài liệu hơn.

Con $ M_ (ij) $ của phần tử $ a_ (ij) $

$ M_ (ij) $ yếu tố$ a_ (ij) $ ma trận $ A_ (n lần n) $ đặt tên cho định thức của ma trận thu được từ ma trận $ A $ bằng cách xóa hàng thứ i và cột thứ j (tức là hàng và cột tại giao điểm mà phần tử nằm $ a_ (ij) $).

Ví dụ: hãy xem xét ma trận vuông bậc 4: $ A = left ( begin (array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9 \ 2 & -7 & 11 & 5 \ -9 & 4 & 25 & 84 \ 3 & 12 & -5 & 58 end (mảng) phải) $. Tìm phần tử nhỏ của phần tử $ a_ (32) $, tức là tìm $ M_ (32) $. Đầu tiên, chúng tôi viết $ M_ (32) $ nhỏ, và sau đó chúng tôi tính giá trị của nó. Để soạn $ M_ (32) $, chúng ta xóa hàng thứ ba và cột thứ hai khỏi ma trận $ A $ (nó nằm ở giao điểm của hàng thứ ba và cột thứ hai mà phần tử $ a_ (32) $ là nằm). Chúng ta sẽ nhận được một ma trận mới, yếu tố quyết định là số nhỏ bắt buộc $ M_ (32) $:

Phần nhỏ này rất dễ tính toán bằng cách sử dụng công thức số 2 từ chủ đề tính toán:

$$ M_ (32) = left | begin (array) (ccc) 1 & -3 & 9 \ 2 & 11 & 5 \ 3 & -5 & 58 end (array) right | = 1 cdot 11 cdot 58 + (- 3) cdot 5 cdot 3 + 2 cdot (-5) cdot 9-9 cdot 11 cdot 3 – (- 3) cdot 2 cdot 58-5 cdot (-5) cdot 1 = 579. $$

Vì vậy, phần tử nhỏ của phần tử $ a_ (32) $ là 579, tức là $ M_ (32) = 579 $.

Thông thường, thay vì cụm từ “phụ của yếu tố ma trận” trong tài liệu, có “phụ của yếu tố quyết định”. Bản chất vẫn giữ nguyên: để lấy phần tử nhỏ nhất của phần tử $ a_ (ij) $, bạn cần xóa hàng thứ i và cột thứ j khỏi định thức ban đầu. Các phần tử còn lại được viết thành một định thức mới, là phần tử nhỏ của phần tử $ a_ (ij) $. Ví dụ, hãy tìm số nhỏ của phần tử $ a_ (12) $ của định thức $ left | begin (array) (ccc) -1 & 3 & 2 \ 9 & 0 & -5 \ 4 & -3 & 7 end (array) right | $. Để viết $ M_ (12) $ phụ bắt buộc, chúng ta cần xóa hàng đầu tiên và cột thứ hai khỏi định thức đã cho:

Để tìm giá trị của phân thức này, chúng ta sử dụng công thức số 1 của chuyên đề tính các định thức bậc hai và bậc ba:

$$ M_ (12) = left | begin (array) (ccc) 9 & -5 \ 4 & 7 end (array) right | = 9 cdot 7 – (- 5) cdot 4 = 83. $$

Vì vậy, phần tử nhỏ của phần tử $ a_ (12) $ là 83, tức là $ M_ (12) = 83 $.

Phần bù đại số $ A_ (ij) $ của phần tử $ a_ (ij) $

Cho ma trận vuông $ A_ (n times n) $ (tức là ma trận vuông bậc n) được cho trước.

Phép cộng đại số$ A_ (ij) $ yếu tố$ a_ (ij) $ của ma trận $ A_ (n times n) $ được tìm thấy theo công thức sau: $$ A_ (ij) = (- 1) ^ (i + j) cdot M_ (ij), $ $

trong đó $ M_ (ij) $ là con của phần tử $ a_ (ij) $.

Tìm phần bù đại số của phần tử $ a_ (32) $ của ma trận $ A = left ( begin (array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9 \ 2 & -7 & 11 & 5 \ -9 & 4 & 25 & 84 \ 3 & 12 & -5 & 58 end (array) right) $, tức là tìm $ A_ (32) $. Trước đây, chúng tôi đã tìm thấy số nhỏ $ M_ (32) = 579 $, vì vậy chúng tôi sử dụng kết quả:

Thông thường, khi tìm các phần bù đại số, phần phụ không được tính riêng, và chỉ sau đó phần bù của chính nó. Mục nhỏ bị bỏ qua. Ví dụ: tìm $ A_ (12) $ nếu $ A = left ( begin (array) (ccc) -5 & 10 & 2 \ 6 & 9 & -4 \ 4 & -3 & 1 end ( mảng) phải) $. Theo công thức $ A_ (12) = (- 1) ^ (1 + 2) cdot M_ (12) = – M_ (12) $. Tuy nhiên, để có được $ M_ (12) $, chỉ cần gạch bỏ hàng đầu tiên và cột thứ hai của ma trận $ A $, vậy tại sao phải giới thiệu thêm một ký hiệu cho số nhỏ? Chúng ta hãy ngay lập tức viết ra biểu thức cho phần bù đại số $ A_ (12) $:

Bậc nhỏ thứ k của ma trận $ A_ (m lần n) $

Nếu trong hai phần trước chúng ta chỉ nói về ma trận vuông, thì ở đây chúng ta cũng sẽ nói về ma trận hình chữ nhật, trong đó số hàng không nhất thiết phải bằng số cột. Vì vậy, cho trước ma trận $ A_ (m times n) $, tức là một ma trận chứa m hàng và n cột.

Thứ tự thứ k nhỏ của ma trận $ A_ (m times n) $ là định thức có các phần tử nằm tại giao điểm của k hàng và k cột của ma trận $ A $ (giả sử rằng $ k≤ m $ và $ k≤ n $ ).

Ví dụ: hãy xem xét ma trận $ A = left ( begin (array) (ccc) -1 & 0 & -3 & 9 \ 2 & 7 & 14 & 6 \ 15 & -27 & 18 & 31 \ 0 & 1 & 19 & 8 \ 0 & -12 & 20 & 14 \ 5 & 3 & -21 & 9 \ 23 & -10 & -5 & 58 end (array) right) $ và viết ra cho nó cái gì hoặc một phần nhỏ của thứ tự thứ ba. Để viết một phụ bậc ba, chúng ta cần chọn ba hàng và ba cột bất kỳ của ma trận này. Ví dụ, chúng ta hãy lấy các hàng có số 2, 4, 6 và các cột có số 1, 2, 4. Tại giao điểm của các hàng và cột này, các phần tử của số phụ bắt buộc sẽ được định vị. Trong hình, các phần tử của con nhỏ được hiển thị bằng màu xanh lam:

Trẻ vị thành niên của đơn hàng đầu tiên nằm ở giao điểm của một hàng và một cột, tức là các phần tử bậc nhất bằng các phần tử của ma trận đã cho.

Con bậc thứ k của ma trận $ A_ (m times n) = (a_ (ij)) $ được gọi là chủ yếu, nếu đường chéo chính của đường chéo phụ đã cho chỉ chứa các phần tử đường chéo chính của ma trận $ A $.

Hãy để tôi nhắc bạn rằng các phần tử đường chéo chính là những phần tử ma trận có chỉ số bằng nhau: $ a_ (11) $, $ a_ (22) $, $ a_ (33) $, v.v. Ví dụ, đối với ma trận $ A $ đã xét ở trên, các phần tử này là $ a_ (11) = – 1 $, $ a_ (22) = 7 $, $ a_ (33) = 18 $, $ a_ (44) = 8 $. Chúng được tô màu hồng trong hình:

Ví dụ, nếu trong ma trận $ A $, chúng ta gạch bỏ các hàng và cột có số 1 và 3, thì tại giao điểm của chúng sẽ có các phần tử của bậc thứ hai, trên đường chéo chính của nó sẽ chỉ có đường chéo. các phần tử của ma trận $ A $ (các phần tử $ a_ (11) = -1 $ và $ a_ (33) = 18 $ ma trận $ A $). Do đó, chúng tôi nhận được phụ chính của đơn hàng thứ hai:

Đương nhiên, chúng ta có thể lấy các hàng và cột khác – ví dụ, với số 2 và 4, trong khi lấy một số phụ chính khác của thứ tự thứ hai.

Đặt một số $ M $ nhỏ bậc thứ k của ma trận $ A_ (m times n) $ khác 0, tức là $ M neq 0 $. Trong trường hợp này, tất cả trẻ vị thành niên có thứ tự cao hơn k đều bằng không. Sau đó $ M $ nhỏ được gọi là nền tảng, và các hàng và cột mà các phần tử của phần phụ cơ bản được đặt trên đó được gọi là đường cơ sở Và cột cơ sở.

Ví dụ: hãy xem xét ma trận $ A = left ( begin (array) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \ 2 & 0 & 4 & 1 & 0 \ 1 & 0 & -2 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end (mảng) phải) $. Chúng ta viết con số nhỏ của ma trận này, các phần tử của chúng nằm ở giao điểm của các hàng với số 1, 2, 3 và cột với số 1, 3, 4. Chúng ta nhận được một số nhỏ bậc ba:

Hãy cùng tìm giá trị của phân thức này bằng công thức số 2 từ chuyên đề tính các định thức bậc 2 và bậc 3:

$$ M = left | begin (array) (ccc) -1 & 3 & 0 \ 2 & 4 & 1 \ 1 & -2 & -1 end (array) right | = 4 + 3 + 6-2 = 11. $$

Vậy $ M = 11 neq 0 $. Bây giờ chúng ta hãy thử viết bất kỳ trẻ vị thành niên nào, thứ tự của chúng cao hơn ba. Để thực hiện một số nhỏ của bậc thứ tư, chúng ta phải sử dụng dòng thứ tư, tuy nhiên, tất cả các phần tử của dòng này đều bằng không. Do đó, trong bất kỳ trẻ vị thành niên bậc 4 nào sẽ có hàng 0, có nghĩa là tất cả các trẻ vị thành niên bậc 4 đều bằng 0. Chúng tôi không thể soạn các phần nhỏ của đơn hàng thứ năm trở lên, vì ma trận $ A $ chỉ có 4 hàng.

Chúng tôi đã tìm thấy một phụ bậc ba không bằng không. Trong trường hợp này, tất cả trẻ vị thành niên của các đơn hàng cao hơn đều bằng 0, do đó, trẻ vị thành niên được chúng tôi coi là cơ bản. Các hàng của ma trận $ A $, trên đó đặt các phần tử của phần nhỏ này (thứ nhất, thứ hai và thứ ba), là các hàng cơ bản và các cột đầu tiên, thứ ba và thứ tư của ma trận $ A $ là các cột cơ bản .

Ví dụ này, tất nhiên, là tầm thường, vì mục đích của nó là để hiển thị rõ ràng bản chất của trẻ vị thành niên cơ bản. Nói chung, có thể có một số trẻ vị thành niên cơ bản, và thông thường quá trình tìm kiếm trẻ vị thành niên như vậy phức tạp và phức tạp hơn nhiều.

Xin giới thiệu thêm một khái niệm – tiểu giáp.

Đặt một số nhỏ trong số bậc thứ k $ M $ của ma trận $ A_ (m times n) $ nằm tại giao điểm của k hàng và k cột. Hãy thêm một hàng và cột nữa vào tập hợp các hàng và cột này. Thứ tự thứ (k + 1) -th kết quả được gọi là tua rua cho $ M $ trẻ vị thành niên.

Ví dụ: hãy xem xét ma trận $ A = left ( begin (array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14 \ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \ 5 & – 6 & 8 & -9 & 41 \ -5 & 11 & 19 & -20 & -98 \ 6 & 12 & 20 & 21 & 54 \ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 end (mảng ) đúng) $. Hãy viết một phần nhỏ của bậc thứ hai, các phần tử của chúng nằm ở giao điểm của hàng số 2 và số 5, cũng như cột số 2 và số 4.

Hãy thêm hàng số 1 vào tập hợp các hàng chứa các phần tử của $ M $ nhỏ và cột # 5 vào tập hợp các cột. Chúng tôi nhận được một $ M “$ phụ mới (đã có thứ tự thứ ba), có các phần tử nằm ở giao điểm của các hàng số 1, số 2, số 5 và các cột số 2, số 4, số 5 . Các phần tử của $ M $ nhỏ trong hình được đánh dấu bằng màu hồng và các phần tử chúng tôi thêm vào $ M $ nhỏ có màu xanh lục:

$ M $ nhỏ “$ là thành phần phụ giáp với $ M $ nhỏ. Tương tự, thêm hàng # 4 vào tập hợp các hàng chứa các phần tử của $ M $ nhỏ và cột # 3 vào tập hợp các cột, chúng ta nhận được $ M nhỏ “” $ (thứ yếu của thứ tự thứ ba):

$ M “” $ nhỏ cũng là phụ ở biên giới cho $ M $ nhỏ.

Số nhỏ bậc k của ma trận $ A_ (n lần n) $. Bổ sung phụ. Phần bù đại số cho con của ma trận vuông.

Hãy quay lại ma trận vuông. Hãy để chúng tôi giới thiệu khái niệm về một trẻ vị thành niên bổ sung.

Cho trước một số $ M $ nhỏ bậc k của ma trận $ A_ (n lần n) $. Định thức của thứ tự (n-k), mà các phần tử của nó thu được từ ma trận $ A $ sau khi xóa các hàng và cột chứa $ M $ nhỏ, được gọi là phần tử nhỏ, bổ sung cho trẻ vị thành niên$ M $.

Ví dụ: hãy xem xét một ma trận vuông bậc 5: $ A = left ( begin (array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14 \ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 5 & -6 & 8 & -9 & 41 \ -5 & 11 & 16 & -20 & -98 \ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 end (array) right) $. Hãy chọn hàng số 1 và số 3 trong đó, cũng như cột số 2 và số 5. Tại giao điểm của các hàng và cột này sẽ có các phần tử của $ M $ nhỏ nhất của thứ tự thứ hai:

Bây giờ chúng ta hãy loại bỏ các hàng số 1 và số 3 và các cột số 2 và số 5 khỏi ma trận $ A $, tại giao điểm của chúng có các phần tử của $ M $ nhỏ (các hàng và cột đã loại bỏ được hiển thị trong màu đỏ trong hình bên dưới). Các phần tử còn lại tạo thành $ M nhỏ “$:

$ M “$ phụ, có thứ tự $ 5-2 = 3 $, là một phụ bổ sung cho $ M $ phụ.

Phần bổ sung đại số cho trẻ vị thành niên$ M $ của ma trận vuông $ A_ (n times n) $ là biểu thức $ (- 1) ^ ( alpha) cdot M “$, trong đó $ alpha $ là tổng số hàng và cột của ma trận $ A $, trên đó các phần tử của $ M $ nhỏ nằm trên đó và $ M “$ là phần phụ bổ sung cho $ M $ nhỏ.

Cụm từ “phần bù đại số cho $ M $ phụ” thường được thay thế bằng cụm từ “phần bù đại số cho $ M $ phụ”.

Ví dụ, hãy xem xét ma trận $ A $, mà chúng tôi tìm thấy ma trận thứ hai $ M = left | begin (array) (ccc) 2 & -14 \ -6 & 41 end (array) right | $ và bậc thứ ba của nó: $ M “= left | begin (array) (ccc) 3 & -3 & 19 \ -5 & 16 & -20 \ -7 & 14 & -36 end (array ) right | $ Biểu thị phần bù đại số của $ M $ phụ với $ M ^ * $ Sau đó theo định nghĩa:

$$ M ^ * = (- 1) ^ alpha cdot M “. $$

Tham số $ alpha $ bằng tổng số hàng và cột nơi chứa $ M $ nhỏ. Vị trí nhỏ này nằm ở giao điểm của các hàng # 1, # 3 và các cột # 2, # 5. Do đó, $ alpha = 1 + 3 + 2 + 5 = 11 $. Cho nên:

$$ M ^ * = (- 1) ^ (11) cdot M “= – left | begin (array) (ccc) 3 & -3 & 19 \ -5 & 16 & -20 \ -7 & 14 & -36 end (mảng) phải |. $$

Về nguyên tắc, sử dụng công thức số 2 từ chủ đề tính toán định thức bậc hai và bậc ba, bạn có thể đưa phép tính về cuối, nhận được giá trị $ M ^ * $:

$$ M ^ * = – left | begin (array) (ccc) 3 & -3 & 19 \ -5 & 16 & -20 \ -7 & 14 & -36 end (array) right | = -30. $$

Tag: phần bù đại số là gì

Hỏi đáp – Tags: phần bù đại số là gì

• Khoa Học Công Nghệ Là Gì?

• Cánh Đồng Trong Tiếng Anh Là Gì?

• Năng Lượng Là Gì Sinh Học 10

• Cây Kơ Nia Là Cây Gì

• Thì Tương Lai Đơn: Công Thức, Cách Dùng Và Bài Tập

• Ask Đi Với Giới Từ Gì? Cách Sử Dụng Cấu Trúc Ask Trong Tiếng Anh

• Lời Bài Hát Những Ngày Xưa Thân Ái