Trong đa thức, hệ số là những số đứng trước biến. Vậy hệ số như thế nào thì được gọi là hệ số cao nhất? Làm thế nào để chúng ta có thể tìm được hệ số cao nhất? Cùng VOH Giáo Dục giải đáp thắc mắc này qua bài viết sau đây nhé.
1. Hệ số cao nhất là gì?
– Hệ số cao nhất chính là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất của đa thức.
Ví dụ: Hệ số cao nhất của đa thức Q(t) = 2t3 + 5t + 2 là 2 vì hạng tử có bậc cao nhất là hạng tử 2t3 nên hệ số của hạng tử này chính là hệ số cao nhất.
2. Cách tìm hệ số cao nhất của đa thức
Để tìm hệ số cao nhất của đa thức, ta làm như sau:
- Bước 1: Rút gọn đa thức nếu đa thức đó chưa được viết dưới dạng đa thức thu gọn.
- Bước 2: Xác định hạng tử có bậc cao nhất
- Bước 3: Xác định hệ số của hạng tử vừa tìm được ở bước 1.
Hệ số vừa tìm được ở bước 2 chính là hệ số cao nhất của đa thức một biến
Ví dụ: Tìm hệ số cao nhất của đa thức R(x) = -3×2 + 2×4 – 5×3 + 1?
Giải:
Ta có hạng tử 2×4 là hạng tử có bậc cao nhất của R(x)
Hệ số của hạng tử 2×4 là 2.
Vậy 2 chính là hệ số cao nhất của R(x).
*Chú ý: Nếu đa thức chưa được viết dưới dạng đa thức thu gọn mà đã tìm hệ số cao nhất thì kết quả có thể bị sai.
3. Các dạng bài tập về hệ số cao nhất của đa thức
3.1. Tìm hệ số cao nhất của đa thức
*Phương pháp giải:
Để tìm hệ số cao nhất của đa thức một biến ta dựa vào cách tìm hệ số cao nhất đã được nêu ở trên.
Ví dụ: Tìm hệ số cao nhất của các đa thức sau:
a. Q(t) = -4t6 + 3t5 – t8 + 1
b. T(u) = u20 + 100u19 + 1000u2
Giải:
a. Ta có: – t8 là hạng tử có bậc cao nhất của đa thức Q(t)
Hệ số của – t8 là -1
Vậy hệ số cao nhất của Q(t) là -1
b. Ta có: u20 là hạng tử có bậc cao nhất của đa thức T(u)
Hệ số của u20 là 1
Vậy hệ số cao nhất của T(u) là 1
3.2. Tìm điều kiện lũy thừa bậc của đa thức để hệ số của một hạng tử của đa thức đó là hệ số cao nhất.
*Phương pháp giải:
Áp dụng khái niệm hệ số cao nhất và cách tìm hệ số cao nhất
Ví dụ: Cho đa thức W(u) = -3un – 1 + 2u3 + 1. Hãy tìm n để -3 là hệ số cao nhất của W(u)
Giải:
Để -3 là hệ số cao nhất thì -3un – 1 phải là hạng tử có bậc cao nhất.
Khi đó, ta có: n – 1 > 3 và n – 1 > 0 ⇔ n > 4 và n > 1
Suy ra, n > 4
Vậy n > 4 thì -3 là hệ số cao nhất của W(u)
3.3. Bài tập có kiến thức tổng hợp
*Phương pháp giải:
Tùy vào yêu cầu của từng bài tập để phân tích, suy luận đưa ra phương pháp giải chính xác và thích hợp nhất.
4. Bài tập vận dụng về hệ số cao nhất của đa thức
Bài 1: Hãy xác định hệ số cao nhất của các đa thức sau:
a. u9 – 2u20 – 9u3 + 1
b. -10u97 + 1032u98 + 199u3 + 200
c. 2022u2021 – 2021u2022 + 2022u2022 + 2021u2021
d. -3u4 + 9u3 + u4 – 3u2 + 5u3 + 1
ĐÁP ÁN
a. Ta thấy – 2u20 là hạng tử có bậc cao nhất trong các hạng tử của đa thức
hệ số của hạng tử – 2u20 là -2
Vậy hệ số cao nhất của đa thức trên chính là -2
b. Ta thấy 1032u98 là hạng tử có bậc cao nhất trong các hạng tử của đa thức
hệ số của 1032u98 là 1032
Vậy hệ số cao nhất của đa thức trên là 1032
c. Ta có:
2022u2021 – 2021u2022 + 2022u2022 – 2021u2021
= (2022u2021 – 2021u2021) + (2022u2022 – 2021u2022)
= u2021 + u2022
Ta thấy u2022 là hạng tử có bậc cao nhất trong các hạng tử của đa thức
hệ số của u2022 là 1
Vậy hệ số cao nhất của đa thức trên là 1
d. Ta có:
-3u4 + 9u3 + u4 – 3u2 + 5u3 + 1
= (-3u4 + u4 ) + (9u3 + 5u3) – 3u2 + 1
= -2u4 + 14u3 – 3u2 + 1
Ta thấy -2u4 là hạng tử có bậc cao nhất trong các hạng tử của đa thức
hệ số của -2u4 là -2
Vậy hệ số cao nhất của đa thức trên là -2
Bài 2: Cho đa thức: A(y) = -3yn + 3 + 9y7 + y – 9
a. Tìm n để -3 là hệ số cao nhất của A(y)
b. Tìm n để 7 là hệ số cao nhất của A(y)
c. Tính giá trị của A(y) biết y = -2 và n là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện ở câu a.
ĐÁP ÁN
Từ A(y) ta thấy, nếu không tính hạng tử chứa n thì 9y7 là hạng tử có bậc cao nhất trong các hạng tử và bậc của 9y7 là 7.
Từ đó ta có:
a. Để -3 là hệ số cao nhất của A(y) thì: n + 3 > 7 suy ra n > 4
Vậy n > 4 thì -3 là hệ số cao nhất của A(y)
b. Để 7 là hệ số cao nhất của A (y) thì: n + 3 < 7 suy ra n < 4
Vậy n < 4 thì 7 là hệ số cao nhất của A(y)
c. Vì n là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện ở câu a nên n = 5
Ta thay y = -2 và n = 5 vào A(y), ta được:
-3yn + 3 + 9y7 + y – 9 = -3.(-2)5 + 3 + 9.(-2)7 + (-2) – 9 = -1931
Vậy giá trị của A(y) = -1931
Bài 3: Để tìm hệ số cao nhất của đa thức S(t) = 3t9 – 9t3 + 20t4. Một bạn học sinh đã làm như sau:
Ta có các hệ số của các hạng tử của đa thức lần lượt là: 3; -9; 20.
Ta thấy 20 là hệ số lớn nhất trong các hệ số
Vậy 20 là hệ số cao nhất của S(t)
Theo em, bạn học sinh này đã làm đúng hay sai? Vì sao? Hãy sửa lại giúp bạn học sinh ấy nếu bạn ấy làm sai.
ĐÁP ÁN
Theo em, bạn học sinh này đã làm sai. Vì hệ số cao nhất là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất chứ không phải là hệ số cao nhất trong các hệ số của các hạng tử.
Sửa lại:
Ta thấy 3t9 là hạng tử có bậc cao nhất trong các hạng tử của đa thức S(t)
Hệ số của 3t9 là 3
Vậy hệ số cao nhất của đa thức S(t) là 3.
Trên đây là toàn bộ kiến thức về hệ số cao nhất của đa thức một biến và các dạng bài tập liên quan có phương pháp giải và ví dụ cụ thể. Bên cạnh đó cũng đưa ra một số bài tập vận dụng có lời giải chi tiết. Hy vọng bài viết trên sẽ giúp các bạn học sinh trau dồi thêm vốn kiến thức của bản thân.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
Tôi là Nguyễn Văn Sỹ có 15 năm kinh nghiệm trong lĩnh vực thiết kế, thi công đồ nội thất; với niềm đam mê và yêu nghề tôi đã tạo ra những thiết kếtuyệt vời trong phòng khách, phòng bếp, phòng ngủ, sân vườn… Ngoài ra với khả năng nghiên cứu, tìm tòi học hỏi các kiến thức đời sống xã hội và sự kiện, tôi đã đưa ra những kiến thức bổ ích tại website nhaxinhplaza.vn. Hy vọng những kiến thức mà tôi chia sẻ này sẽ giúp ích cho bạn!