Hệ phương trình là một nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 9. Bên cạnh việc tìm hiểu thế nào được gọi là một hệ phương trình? Cách kiểm tra một cặp số nào đó có phải là nghiệm của hệ phương trình hay không? Thì câu hỏi ” Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi nào ? ” cũng là một nội dung thường hay xuất hiện trong bài học. Vậy, để hiểu rõ hơn các vấn đề nêu trên. Chúng ta hãy cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu bài viết sau đây.
1. Nhắc lại một số khái niệm
- Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ax + by = c
Trong đó: a, b, c là các số đã biết; x, y là các ẩn; a 0 hoặc b 0.
Ví dụ: 2x + 5y = 1 là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x, y
- Khi cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn a1x + b1y = c1 và a2x + b2y = c2 ta có một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y sau đây:
Ví dụ: (*) là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y
- Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là một cặp số (x0; y0) nào đó sao cho khi ta thế các giá trị x = x0 và y = y0 vào lần lượt hai phương trình có trong hệ, ta đều thu được kết quả là vế trái bằng vế phải
Ví dụ: Cặp số (3; 1) là một nghiệm của hệ phương trình (*) nêu trên vì
- Khi thế x = 3, y = 1 vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có 3 + 2.1 = 5
- Khi thế x = 3, y = 1 vào phương trình thứ hai trong hệ ta có 3 – 2.1 =1
2. Điều kiện nhận biết hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi nào
- Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (**) có nghiệm duy nhất
(với các hệ số a1; b1; a2; b2 0)
Ví dụ: Hệ phương trình được gọi là có nghiệm duy nhất vì .
3. Một số bài tập tự luận về điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 1: Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
ĐÁP ÁN
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
m2 + 1 10
m2 9
m 3
Vậy, khi m 3 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 2: Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x0; y0) trong đó x0 < 0
ĐÁP ÁN
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
m -6
Vậy, khi m -6 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
- Vì (x0; y0) là nghiệm của hệ phương trình nên
Theo đề bài, x0 <0 < 0
m + 6 < 0
m < -6
Vậy, khi m < -6 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x0; y0) trong đó x0 < 0
Bài 3: Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x0; y0) sao cho x0.y0 > 0
ĐÁP ÁN
- Ta có:
Nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất
- Vì (x0; y0) là nghiệm của hệ phương trình nên
Theo đề bài: x0.y0 > 0 . > 0
(m – 1).(m – 5) > 0
Trường hợp 1:
m > 5
Trường hợp 2:
m < 1
Vậy, khi m > 5 hoặc m < 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x0; y0) mà x0.y0 > 0
4. Một số bài tập trắc nghiệm về điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 1: Trong các hệ phương trình sau đây, đâu là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có duy nhất một nghiệm (x0; y0)
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn: Vì nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Chọn câu D
Bài 2: Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
- Với mọi giá trị m
- Không có giá trị nào của m thỏa mãn
- m 2
- m 3
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
2m2 + 1 9
2m2 8
m2 4
m 2
Chọn câu C
Bài 3: Cho hệ phương trình . Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là
- Không tồn tại giá trị nào của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
- Với mọi giá trị của m hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất
- Khi m -2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất
- Khi m = 0 hệ phương trình có nghiệm duy nhất là ( ; 0)
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn:
- Khi m = 0 hệ phương trình đã cho trở thành
Vậy, câu D sai
- Khi m 0 hệ phương trình có nghiệm duy nhất
m3 -8
m -2
Vậy, câu A, B sai
Chọn câu C
Bài 4: Cho hệ phương trình . Trong các phát biểu sau, phát biểu sai là
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m
- Khi m = 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2; -1)
- Khi m = 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (-1; 2)
- Khi m thay đổi, nghiệm (x0; y0) của hệ phương trình cũng thay đổi
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn:
- Vì giá trị nghiệm (x0; y0) phụ thuộc vào tham số m nên câu D đúng
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
m2 2.(m – 2)
m2 2m – 4
m2 – 2m + 4 0
Mà m2 – 2m + 4 = (m2 – 2m + 1) + 3 = (m – 1)2 + 3 > 0
Nên câu A đúng
- Khi m = 0, ta có hệ phương trình
Vậy, khi m = 0 hệ phương trình có nghiệm (2; -1) nên câu B đúng
Chọn câu C
Bài 5: Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
- m 0
- m 1
- Cả A và B đều sai
- Cả A và B đều đúng
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
m2 m
m2 – m 0
m(m – 1) 0
Vậy, khi m 0 và m 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Chọn câu D
Bài 6: Với giá trị nào của m nguyên thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x0; y0), trong đó y0 là một số nguyên dương
- m 2
- m = 2
- m 1
- m = 1
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn:
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
m2 + 1 2
m2 1
m 1
- Vì (x0; y0) là nghiệm của hệ phương trình nên (I)
- Lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ 2 trong hệ (I) vế theo vế ta được
(m2 + 1)y0 – 2y0 = 3
(m2 + 1 – 2)y0 = 3
(m2 – 1)y0 = 3
Để y0 là số nguyên dương thì (m2 – 1) Ư(3) = {1; 3}
Trường hợp 1: m2 – 1 = 1
m2 = 2
m = (loại vì m là số nguyên)
Trường hợp 2: m2 – 1 = 3
m2 = 4
m = 2 (thỏa mãn)
Đối chiếu với điều kiện ban đầu, vậy khi m = 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x0; y0) trong đó y0 là một số nguyên dương
Chọn câu B
Trên đây là nội dung kiến thức phần cách nhận biết hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi nào và một số các bài tập liên quan. Mong rằng các em có thể vận dụng để làm nhiều bài tập hơn nữa. Đồng thời, ôn tập và củng cố kiến thức để chuẩn bị thật tốt cho các kì thi sắp tới.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang