Đường tiệm cận là gì? Hàm số biến thiên có những loại đường tiệm cận nào? vốn là những câu hỏi nền tảng giúp chúng ta có thể hiểu rõ hơn và giải quyết được dễ dàng các dạng toán về hàm số, đồ thị,… Hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu và tổng hợp kiến thức về các đường tiệm cận nhé!
Đường tiệm cận là gì?Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Định nghĩa đường tiệm cận là gì? Dưới đây là lời giải đáp cho bạn.
Cho đồ thị hàm số (C) (y=f(x)) có tập xác định là D
Đường tiệm cận ngang
Nếu: (lim_{xto+infty}f(x)=y_{0})
hoặc (lim_{xto-infty}f(x)=y_{0})
thì đường thẳng (y=y_{0}) được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C)
Đường tiệm cận đứng
Nếu: (lim_{xto{x_{0}}^{+}}f(x)=pminfty)
hoặc (lim_{xto{x_{0}}^{-}}f(x)=pminfty)
thì đường thẳng (x=x_{0}) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ©
VD: Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thi hàm số (y=x+2)
Đường tiệm cận xiên
Để tìm đường tiệm cận xiên của (C) trước hết phải có điều kiện:
(lim_{xto+infty}f(x)=pminfty)
hoặc (lim_{xto-infty}f(x)=pminfty)
Sau đó tìm phương trình đường tiệm cận xiên có 2 cách:
- Phân tích biểu thức y = f(x) thành dạng (y=f(x)=a(x)+b+varepsilon(x)) với (lim_{xtopminfty}varepsilon(x)=0) thì (y=a(x)+b(aneq0)) là đường tiệm cận xiên của (C) y = f(x)
- Hoặc ta tìm a và b bởi công thức:
(a=lim_{xtopminfty}frac{f(x)}{x})
và (b=lim_{xtopminfty}[f(x)-ax])
Khi đó y = ax + b là phương trình đường tiệm cận xiên của (C): y = f(x).
Đường tiệm cận của một số hàm số thông dụng
- Hàm số (y=frac{a(x)+b}{c(x)+d}(ad-bc neq0)) có đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang lần lượt có phương trình là (x=frac{-d}{c}) và (y=frac{a}{c})
- Hàm số (y=frac{a x^{2}+b(x)+c}{p(x)+q}) (không chia hết và (apneq0)), ta chia đa thức để có:
(y=frac{a x^{2}+b(x)+c}{p(x)+q}=Ax+B+frac{R}{px+q})
thì hàm số có hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên lần lượt có phương trình là:
(x=frac{-p}{q}) và (y=Ax+B)
- Hàm hữu tỉ (y=frac{P(x)}{Q(x)}) (không chia hết) có đường tiệm cận xiên khi bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu một bậc.
Giá trị (x_{0}) làm mẫu triệt tiêu nhưng không làm tử triệt tiêu thì (x=x_{0}) là phương trình đường tiệm cận đứng.
Mẹo nhanh tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Cho hàm số (y=f(x)=frac{u}{v}) có tập xác định D
- Bước 1: Giải pt v=0 để tìm nghiệm (để biết đồ thị hàm số có tồn tại đường tiệm cận đứng hay không)
Giả sử (x=x_{0}) là một nghiệm.
- Bước 2: Xét xem (x=x_{0}) có là nghiệm của đa thức u trên tử số hay không.
Nếu (x=x_{0}) không phải nghiệm của đa thức u thì (x=x_{0}) là 1 tiệm cận đứng
Nếu (x=x_{0}) là nghiệm của đa thức u thì phân tích u thành nhân tử:
(frac{u}{v}=frac{(x-x_{0})^{m}hx}{(x-x_{0})^{n})gx})
Rút gọn nhân tử (x=x_{0}), nếu sau rút gọn dưới mẫu vẫn còn nhân tử (x=x_{0}) thì (x=x_{0}) sẽ là 1 đường tiệm cận đứng của đồ thị làm số.
Nếu sau rút gọn, nhân tử (x=x_{0}) còn ở trên tử hoặc cả tử và mẫu đều hết thì (x=x_{0}) không phải là 1 đường tiệm cận đứng của đồ thị.
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Cho hàm số (y=f(x)=frac{u}{v}) có tập xác định D
Bước 1: Điều kiện tồn tại đường tiệm cận ngang là trước tiên TXĐ của hàm số phải chứa (-infty) hoặc (+infty). Cụ thể phải là 1 trong các dạng sau: (D=(-infty;a))
(D=(b;+infty))
(D=(-infty;+infty))
Bước 2; Xét bậc của u và v:
- Nếu bậc của u > bậc của v thì đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang
- Nếu bậc của u < bậc của v thì đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là y=0
- Nếu bậc của (u=v) thì đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là:
(y=k=frac{he-so-cua-hang-tu-co-bac-cao-nhat-cua-u}{he-so-cua-hang-tu-co-bac-cao-nhat-cua-v})
Hy vọng bài viết đã đem lại những kiến thức tổng hợp và cần thiết nhất cho các bạn về đường tiệm cận của hàm số và các cách giải bài tập về đường tiệm cận của hàm số. Share bài viết đường tiệm là gì nếu thấy bổ ích, để lại đánh giá và ủng hộ những bài viết thú vị khác trên DINHNGHIA.VN nhé!