Cách chứng minh thẳng hàng trong hình học không gian – O₂ Education

1. Chứng minh ba điểm thẳng hàng trong không gian

Phương pháp. Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng, tức là cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Xem lại Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng trong không gian

Như vậy, để chứng minh 3 điểm $ A,B,C$ thẳng hàng. Ta chỉ ra ba điểm $ A,B,C$ cùng thuộc hai mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ nào đó. Tức là ta chỉ ra đường thẳng $ AB$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Sau đó chỉ ra điểm $ C$ cũng thuộc vào giao tuyến này, hay nói cách khác chỉ ra $ C$ cũng là một điểm chung của cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

2. Ví dụ chứng minh thẳng hàng trong hình học không gian

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ nằm ngoài mặt phẳng $ (alpha). $ Giả sử các cạnh $ AB,BC,CA $ kéo dài lần lượt cắt mặt phẳng $(alpha)$ tại $ D,E,F. $ Chứng minh ba điểm $ D,E,F $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Rõ ràng, ba điểm $ D,E,F $ cùng thuộc hai mặt phẳng $(ABC)$ và mặt phẳng $(alpha)$. Nên chúng cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó, nói cách khác ba điểm $D,E,F$ thẳng hàng.

Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABC $. Trên các đoạn $ SA, SB, SC $ lần lượt lấy các điểm $ A’,B’,C’ $ sao cho $ A’B’ $ cắt $AB$ tại $ I,A’C’$ cắt $AC$ tại $J,B’C’$ cắt $BC $ tại $ K. $ Chứng minh ba điểm $ I, J, K $ thẳng hàng.

Hướng dẫn.

• Ta có $ I$ là giao điểm của hai đường thẳng $ A’B’$ và $ AB$. Mà $ AB$ nằm trong mặt phẳng $ (ABC)$, $ A’B’$ nằm trong mặt phẳng $(A’B’C’)$, nên suy ra $ I$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $ (ABC)$ và $ (A’B’C’)$.
• Chứng minh tương tự có $ J,K$ cũng là điểm chung của hai mặt phẳng $ (ABC)$ và $ (A’B’C’)$.
• Suy ra, $ J,J,K$ cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $ (ABC)$ và $ (A’B’C’)$. Mà giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng, suy ra $ I,J,K$ cùng thuộc một đường thẳng. Nói cách khác, ba điểm $ I,J,K$ thẳng hàng.

Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác $ S.ABCD $ có $ M $ là điểm trên đoạn $ SC $. Tìm giao điểm $ N $ của $ SD $ với mặt phẳng $ (ABM) $. Giả sử $ AB $ cắt $ CD $ tại $ K, $ chứng minh ba điểm $ M, N, K $ thẳng hàng.

Hướng dẫn.

• Trong mặt phẳng $ (ABCD)$, gọi $ O$ là giao điểm của $ AC$ và $ BD$. Trong mặt phẳng $ (SAC)$, gọi $ I$ là giao điểm của $ SO$ và $ AM$. Chỉ ra được $ N$ chính là giao điểm của $ BI$ và $ SD$.
• Chúng ta có $ MN$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $ (ABM)$ và $ (SCD)$. Mặt khác, $ K$ cũng là điểm chung của hai mặt phẳng này nên suy ra $ K$ phải nằm trên giao tuyến $ MN$. Nói cách khác, ba điểm $ M,N,K$ thẳng hàng.

Ví dụ 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ SC $. Xác định giao điểm $ I,J $ của $ AN,MN $ với mặt phẳng $ (SBD). $ Chứng minh ba điểm $ I , J , B $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Chỉ ra $ I,J,B $ cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $ (ANB) $ và $ (SBD) $.

Ví dụ 5. Cho tứ giác hình chóp $ S.ABCD $ có $ I, J $ là hai điểm trên $ AD,SB $. Giả sử $ AD $ cắt $ BC $ tại $ O, OJ$ cắt $ SC $ tại $ M $. Tìm các giao điểm $ K,L $ của $ IJ,DJ $ và $ (SAC). $ Chứng minh bốn điểm $ A ,K ,L ,M $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Chỉ ra bốn điểm cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $ (SAC) $ và $ (AJO) $.