1) PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MODE 7 Tổng hợp phương pháp Bước 1: Chuyển PT về dạng Vế trái = 0 Bước 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để xét lập bảng giá trị của vế trái Bước 3: Quan sát và đánh giá : +) Nếu $Fleft( alpha right) = 0$ thì $alpha $ là 1 nghiệm +) Nếu $Fleft( a right).Fleft( b right) < 0$ thì PT có 1 nghiệm thuộc $left( {a;b} right)$
2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[THPT Phạm Hồng Thái – Hà Nội 2017] Số nghiệm của phương trình ${6.4^x} – {12.6^x} + {6.9^x} = 0$ là ; A. 3 B. 1 C. 2 D. 0
GIẢI Khởi động chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của Casio rồi nhập hàm Ta thấy khi x=0 thì F(0)=0 vậy x=0 là nghiệm. Tiếp tục quan sát bảng giá trị F(X) nhưng không có giá trị nào làm cho F(X)=0 hoặc khoảng nào làm cho F(X) đổi dấu. Điều này có nghĩa x=0 là nghiệm duy nhất Kết luận : Phương trình ban đầu có 1 nghiệm $ Rightarrow $ Ta chọn đáp án B Cách tham khảo : Tự luận Vì ${9^x} > 0$ nên ta có thể chia cả 2 vế cho ${9^x}$ Phương trình đã cho $ Leftrightarrow 6.frac{{{4^x}}}{{{9^x}}} – 12.frac{{{6^x}}}{{{9^x}}} + 6 = 0$ $ Leftrightarrow 6.{left( {frac{2}{3}} right)^{2x}} – 12.{left( {frac{2}{3}} right)^x} + 6 = 0$ (1) Đặt ${left( {frac{2}{3}} right)^x}$ là t thì ${left( {frac{2}{3}} right)^{2x}} = {t^2}$ . Khi đó (1) $ Leftrightarrow 6{t^2} – 12t + 6 = 0 Leftrightarrow 6{left( {t – 1} right)^2} = 0 Leftrightarrow t = 1$ Vậy ${left( {frac{2}{3}} right)^x} = 1 Leftrightarrow x = 0$ Bình luận : Để sử dụng phương pháp Casio mà không bị sót nghiệm ta có thể sử dụng vài thiết lập miền giá trị của X để kiểm tra. Ngoài Start -9 End 10 Step 1 ta có thể thiết lập Start -4 End 5 Start 0.5 Ta quan sát bảng giá trị vẫn có 1 nghiệm x=0 duy nhất vậy ta có thể yên tâm hơn về lựa chọn của mình. Theo cách tự luận ta thấy các số hạng đều có dạng bậc 2. Ví dụ ${4^x} = {left( {{2^x}} right)^2}$ hoặc ${6^x} = {2^x}{.3^x}$ vậy ta biết đây là phương trình dạng đẳng cấp bậc 2. Dạng phương trình đẳng cấp bậc 2 là phương trình có dạng $m{a^2} + nab + p{b^2} = 0$ ta giaỉ bằng cách chia cho ${b^2}$ rồi đặt ẩn phụ là $frac{a}{b} = t$
VD2-[Thi thử chuyên Thái Bình lần 1 năm 2017] Số nghiệm của phương trình ${e^{sin left( {x – frac{pi }{4}} right)}} = tan x$ trên đoạn $left[ {0;2pi } right]$ là : A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 GIẢI Chuyển phương trình về dạng : ${e^{sin left( {x – frac{pi }{4}} right)}} – tan x = 0$ Sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start 0 End $2pi $ Step $frac{{2pi – 0}}{{19}}$ Quan sát bảng giá trị ta thấy 3 khoảng đổi dấu như trên : $fleft( {0.6613} right).fleft( {0.992} right) < 0$ $ Rightarrow $ có nghiệm thuộc khoảng $left( {0.6613;0.992} right)$ $fleft( {1.3227} right).fleft( {1.6634} right) < 0$ $ Rightarrow $ có nghiệm thuộc khoảng $left( {1.3227;1.6534} right)$ $fleft( {3.6376} right).fleft( {3.9683} right) < 0$ $ Rightarrow $ có nghiệm thuộc khoảng $left( {3.6376;3.9683} right)$ $fleft( {4.6297} right).fleft( {4.9604} right) < 0$ $ Rightarrow $ có nghiệm thuộc khoảng $left( {4.6297;4.9604} right)$ Kết luận : Phương trình ban đầu có 4 nghiệm $ Rightarrow $ Ta chọn đáp án D Bình luận : Đề bài yêu cầu tìm nghiệm thuộc $left[ {0;2pi } right]$ nên Start = 0 và End = $2pi $ Máy tính Casio tính được bảng giá trị gồm 19 giá trị nên bước nhảy Step = $frac{{2pi – 0}}{{19}}$
VD3-[THPT Nhân Chính – Hà Nội 2017] Phương trình ${left( {sqrt 3 + sqrt 2 } right)^{frac{{3x}}{{x – 1}}}} = {left( {sqrt 3 – sqrt 2 } right)^x}$ có số nghiệm âm là : A. 2 nghiệm B. 3 nghiệm C. 1 nghiệm D. Không có GIẢI chuyển phương trình về dạng : ${left( {sqrt 3 + sqrt 2 } right)^{frac{{3x}}{{x – 1}}}} – {left( {sqrt 3 – sqrt 2 } right)^x} = 0$ Khởi động chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của Casio rồi nhập hàm : Vì đề bài yêu cầu nghiệm âm nên ta hiết lập miền giá trị của X là : Start -9 End 0 Step 0.5 Máy tính cho ta bảng giá trị : Ta thấy khi x=-4 thì F (-4) =0 vậy x= -4 là nghiệm. Tiếp tục quan sát bảng giá trị F(X) nhưng không có giá trị nào làm cho F(X)=0 hoặc khoảng nào làm cho F(X) đổi dấu. Điều này có nghĩa x= -4 là nghiệm âm duy nhất Kết luận : Phương trình ban đầu có 1 nghiệm âm $ Rightarrow $ Ta chọn đáp án C Cách tham khảo : Tự luận Logarit hai vế theo cơ số dương $sqrt 3 + sqrt 2 $ Phương trình ${left( {sqrt 3 + sqrt 2 } right)^{frac{{3x}}{{x – 1}}}} = {left( {sqrt 3 – sqrt 2 } right)^x}$ $ Leftrightarrow {log _{sqrt 3 + sqrt 2 }}{left( {sqrt 3 + sqrt 2 } right)^{frac{{3x}}{{x – 1}}}} = {log _{sqrt 3 + sqrt 2 }}{left( {sqrt 3 – sqrt 2 } right)^x}$ $ Leftrightarrow frac{{3x}}{{x + 1}} = x{log _{sqrt 3 + sqrt 2 }}left( {sqrt 3 – sqrt 2 } right)$ $ Leftrightarrow frac{{3x}}{{x + 1}} = – x Leftrightarrow xleft( {frac{3}{{x + 1}} + 1} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0\ x + 1 = – 3 Leftrightarrow x = – 4 end{array} right.$ x= -4 thỏa điều kiện. Vậy ta có x= -4 là nghiệm âm thỏa phương trình Bình luận : •Phương trình trên có 2 cơ số khác nhau và số mũ có nhân tử chung. Vậy đây là dấu hiệu của phương pháp Logarit hóa 2 vế •Thực ra phương trình có 2 nghiệm $x = 0;x = – 4$ nhưng đề bài chỉ hỏi nghiệm âm nên ta chỉ chọn nghiệm x=-4 và chọn đáp án C là đáp án chính xác •Vì đề bài hỏi nghiệm âm nên ta thiết lập miền giá trị của x cũng thuộc miền âm (-9;0)
VD4-[THPT Yến Thế – Bắc Giang 2017] Số nghiệm của phương trình ${left( {3 – sqrt 5 } right)^x} + 7{left( {3 + sqrt 5 } right)^x} = {2^{x + 3}}$ là : A. 2 B. 0 C. 3 D. 1 GIẢI Chuyển phương trình về dạng : ${left( {3 – sqrt 5 } right)^x} + 7{left( {3 + sqrt 5 } right)^x} – {2^{x + 3}} = 0$ Khởi động chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của Casio rồi nhập hàm: Thiết lập miền giá trị của X là : Start -9 End 10 Step 1 Máy tính cho ta bảng giá trị: Ta thấy khi x=0 thì F(0)=0 vậy x=0 là nghiệm. Tiếp tục quan sát bảng giá trị F(X) Ta lại thấy $fleft( { – 3} right).fleft( { – 2} right) < 0$ vậy giữa khoảng $left( { – 3; – 2} right)$ tồn tại 1 nghiệm Kết luận : Phương trình ban đầu có 2 nghiệm $ Rightarrow $ Ta chọn đáp án A Cách tham khảo : Tự luận Vì ${2^x} > 0$ nên ta có thể chia cả 2 vế cho ${2^x}$ Phương trình đã cho $ Leftrightarrow {left( {frac{{3 – sqrt 5 }}{2}} right)^x} + 7{left( {frac{{3 + sqrt 5 }}{2}} right)^x} – 8 = 0$ Đặt ${left( {frac{{3 – sqrt 5 }}{2}} right)^x} = t$ $left( {t > 0} right)$ thì ${left( {frac{{3 + sqrt 5 }}{2}} right)^x} = frac{1}{t}$ . Khi đó (1) $ Leftrightarrow t + 7.frac{1}{t} – 8 = 0 Leftrightarrow {t^2} – 8t + 7 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} t = 1\ t = 7 end{array} right.$ Với $t = 1 Leftrightarrow {left( {frac{{3 – sqrt 5 }}{2}} right)^x} = 1 Leftrightarrow x = 0$ Với $t = 7 Leftrightarrow {left( {frac{{3 – sqrt 5 }}{2}} right)^x} = 7 Leftrightarrow x = {log _{frac{{3 – sqrt 5 }}{2}}}7$ Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm $x = 0;x = {log _{frac{{3 – sqrt 5 }}{2}}}7$ Bình luận : • Nhắc lại một lần nữa nếu $fleft( a right).fleft( b right) < 0$ thì phương trình có nghiệm thuộc $left( {a;b} right)$ • Ta nhận thấy 2 đại lượng nghịch đảo quen thuộc $frac{{3 + sqrt 5 }}{2}$ và $frac{{3 – sqrt 5 }}{2}$ nên ta tìm cách để tạo ra 2 đại lượng này bằng cách chia cả 2 vế của phương trình cho ${2^x}$
VD5: Số nghiệm của bất phương trình ${left( {2 + sqrt 3 } right)^{{x^2} – 2x + 1}} + {left( {2 – sqrt 3 } right)^{{x^2} – 2x – 1}} = frac{4}{{2 – sqrt 3 }}$ (1) là : A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 GIẢI Chuyển bất phương trình (1) về dạng : ${left( {2 + sqrt 3 } right)^{{x^2} – 2x + 1}} + {left( {2 – sqrt 3 } right)^{{x^2} – 2x – 1}} – frac{4}{{2 – sqrt 3 }} = 0$ Nhập vế trái vào máy tính Casio : $Fleft( X right) = {left( {2 + sqrt 3 } right)^{{x^2} – 2x + 1}} + {left( {2 – sqrt 3 } right)^{{x^2} – 2x – 1}} – frac{4}{{2 – sqrt 3 }}$ (2+s3$)^Q)dp2Q)+1$+(2ps3$)^Q)dp2Q)p1$pa4R2ps3$$ Thiết lập miền giá trị cho x với Start -9 End 9 Step 1 Máy tính Casio cho ta bảng giá trị: Ta thấy $fleft( { – 1} right).fleft( 0 right) < 0$ vậy phương trình có 1 nghiệm thuộc (-1,0) Ta thấy f(1)=0 vậy x=1 là nghiệm của phương trình (1) Lại thấy $fleft( 2 right).fleft( 3 right) < 0$ vậy phương trình có 1 nghiệm thuộc (2;3) Kết luận : Phương trình (1) có 3 nghiệm $ Rightarrow $ Chọn đáp án C
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2017] Số nghiệm của phương trình $log {left( {x – 1} right)^2} = sqrt 2 $ là : A. 2 B. 1 C. 0 D. Một số khác Bài 2-[THPT Lục Ngạn – Bắc Giang 2017] Số nghiệm của phương trình $left( {x – 2} right)left[ {{{log }_{0.5}}left( {{x^2} – 5x + 6} right) + 1} right] = 0$ là : A. 1 B. 3 C. 0 D. 2 Bài 3-[THPT Lục Ngạn – Bắc Giang 2017] Phương trình ${3^{{x^2} – 2x – 3}} + {3^{{x^2} – 3x + 2}} = {3^{2{x^2} – 5x – 1}} + 1$ A. Có ba nghiệm thực phân biệt B. Vô nghiệm C. Có hai nghiệm thực phân biệt D. Có bốn nghiệm thực phân biệt Bài 4-[THPT HN Amsterdam 2017] Tìm số nghiệm của phương trình ${2^{frac{1}{x}}} + {2^{sqrt x }} = 3$ : A. B. 2 C. Vô số D. Không có nghiệm Bài 5-[THPT Nhân Chính – Hà Nội 2017] Cho phương trình $2{log _2}x + {log _{frac{1}{3}}}left( {1 – sqrt x } right) = frac{1}{2}{log _{sqrt 2 }}left( {x – 2sqrt x + 2} right)$. Số nghiệm của phương trình là ; A. 2 nghiệm B. Vô số nghiệm C. 1 nghiệm D. Vô nghiệm Bài 6-[Thi HK1 chuyên Nguyễn Du – Đắc Lắc năm 2017] Tìm số nghiệm của phương trình $log {left( {x – 2} right)^2} = 2log x + {log _{sqrt {10} }}left( {x + 4} right)$ A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2017] Số nghiệm của phương trình $log {left( {x – 1} right)^2} = sqrt 2 $ là A. 2 B. 1 C. 0 D. Một số khác GIẢI Phương trình $ Leftrightarrow log {left( {x – 1} right)^2} – sqrt 2 = 0$ . Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm số nghiệm với Start -9 End 10 Step 1 Ta thấy có hai khoảng đổi dấu $ Rightarrow $ Phương trình ban đầu có 2 nghiệm $ Rightarrow $ A là đáp án chính xác Chú ý : Để tránh bỏ sót nghiệm ta thường thử thêm 1 hoặc 2 lần nữa với hai khoảng Start End khác nhau Ví dụ Start -29 End -10 Step 1 hoặc Sart 11 End 30 Step 1. Ta thấy không có khoảng đổi dấu nào nữa $ Rightarrow $ Chắc ăn hơn với 2 nghiệm tìm được
Bài 2-[THPT Lục Ngạn – Bắc Giang 2017] Số nghiệm của phương trình $left( {x – 2} right)left[ {{{log }_{0.5}}left( {{x^2} – 5x + 6} right) + 1} right] = 0$ là : A. 1 B. 3 C. 0 D. 2 GIẢI Tìm điều kiện của phương trình : ${x^2} – 5x + 6 > 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x > 3\ x < 2 end{array} right.$ Phương trình $left( {x – 2} right)left[ {{{log }_{0.5}}left( {{x^2} – 5x + 6} right) + 1} right] = 0$ . Vì điều kiện chia hai khoảng nên ta MODE 7 hai lần. Lần thứ nhất với Start -7 End 2 Step 0.5 Ta thấy có 1 nghiệm x=1 Lần thứ hai với Start 3 End 12 Start 0.5
Ta lại thấy có nghiệm x=4 $ Rightarrow $ Phương trình có 2 nghiệm 1 và 4 . $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là D
Bài 3-[THPT Lục Ngạn – Bắc Giang 2017] Phương trình ${3^{{x^2} – 2x – 3}} + {3^{{x^2} – 3x + 2}} = {3^{2{x^2} – 5x – 1}} + 1$ A. Có ba nghiệm thực phân biệt B. Vô nghiệm C. Có hai nghiệm thực phân biệt D. Có bốn nghiệm thực phân biệt GIẢI Phương trình $ Leftrightarrow {3^{{x^2} – 2x – 3}} + {3^{{x^2} – 3x + 2}} – {3^{2{x^2} – 5x – 1}} – 1 = 0$ . Sử dụng MODE 7 với Start -9 End 0 Step 0.5 Ta thấy có 1 nghiệm x=-1 Tiếp tục MODE 7 với Start 0 End 9 Step 0.5 Ta lại thấy có thêm ba nghiệm x=1;2;3 $ Rightarrow $ Tổng cộng 4 nghiệm $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là D
Bài 4-[THPT HN Amsterdam 2017] Tìm số nghiệm của phương trình ${2^{frac{1}{x}}} + {2^{sqrt x }} = 3$ : A. 1 B. 2 C. Vô số D. Không có nghiệm GIẢI Phương trình $ Leftrightarrow {2^{frac{1}{x}}} + {2^{sqrt x }} – 3 = 0$ (điều kiện $x ge 0$). Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 4.5 Step 0.25 Trên đoạn $left[ {0;4.5} right]$ không có nghiệm nào Tiếp tục MODE 7 với Start $4.5$ End 9 Step 0.25 Dự đoán phương trình vô nghiệm. Để chắn ăn hơn ta thử lần cuối với Start 9 End 28 Step 1 Giá trị của F(X) luôn tăng đến $ + propto $ $ Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là D Bài 5-[THPT Nhân Chính – Hà Nội 2017] Cho phương trình $2{log _2}x + {log _{frac{1}{3}}}left( {1 – sqrt x } right) = frac{1}{2}{log _{sqrt 2 }}left( {x – 2sqrt x + 2} right)$. Số nghiệm của phương trình là ; A. 2 nghiệm B. Vô số nghiệm C. 1 nghiệm D. Vô nghiệm GIẢI Phương trình $ Leftrightarrow 2{log _2}x + {log _{frac{1}{3}}}left( {1 – sqrt x } right) – frac{1}{2}{log _{sqrt 2 }}left( {x – 2sqrt x + 2} right) = 0$ (điều kiện $0 le x le 1$). Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 1 Step 0.1
Ta thấy có 1 nghiệm duy nhất thuộc khoảng $left( {0.6;0.7} right)$ $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là C Bài 6-[Thi HK1 chuyên Nguyễn Du – Đắc Lắc năm 2017] Tìm số nghiệm của phương trình $log {left( {x – 2} right)^2} = 2log x + {log _{sqrt {10} }}left( {x + 4} right)$ A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 GIẢI Phương trình $ Leftrightarrow log {left( {x – 2} right)^2} – 2log x – {log _{sqrt {10} }}left( {x + 4} right) = 0$ (điều kiện $x ge 0$). Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 4.5 Step 0.25
Trên đoạn $left[ {0;4.5} right]$ có 1 nghiệm Tiếp tục MODE 7 với Start 4.5 End 9 Step 0.25 Trên khoảng này không thu được nghiệm nào. Để chắn ăn hơn ta thử lần cuối với Start 9 End 28 Step 1
Cũng không thu được nghiệm $ Rightarrow $ Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là C.
Healthy4life
![](https://nhaxinhplaza.vn/wp-content/uploads/2023/03/270000-kien-truc-su-nguyen-van-sy.jpg)
Tôi là Nguyễn Văn Sỹ có 15 năm kinh nghiệm trong lĩnh vực thiết kế, thi công đồ nội thất; với niềm đam mê và yêu nghề tôi đã tạo ra những thiết kếtuyệt vời trong phòng khách, phòng bếp, phòng ngủ, sân vườn… Ngoài ra với khả năng nghiên cứu, tìm tòi học hỏi các kiến thức đời sống xã hội và sự kiện, tôi đã đưa ra những kiến thức bổ ích tại website nhaxinhplaza.vn. Hy vọng những kiến thức mà tôi chia sẻ này sẽ giúp ích cho bạn!