Phương pháp lập bảng biến thiên hàm số bậc 2 – Toán lớp 10

1. Lý thuyết chung về hàm số bậc 2

1.1. Định nghĩa

Hàm số bậc hai lớp 10 được định nghĩa là dạng hàm số có công thức tổng quát là $y=ax^2+bx+c$, trong đó a,b,c là hằng số cho trước, $aneq 0$.

Tập xác định của hàm số bậc hai lớp 10 là: $D=mathbb R$

Biệt thức Delta: =$b^2-4ac$

Ví dụ về hàm số bậc 2: $y=x^2-2x+3$, $y=3x^2-4x+1$, $y=x^2-4x$,…

1.2. Chiều biến thiên hàm số bậc 2

Để lập bảng biến thiên hàm số bậc 2, các em cần quan tâm đến chiều biến thiên của hàm số. Chiều biến thiên hàm số bậc 2 được định nghĩa như sau: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a,b)subset mathbb{R}$:

• Hàm số f đồng biến (tăng) trên khoảng (a,b) khi và chỉ khi $x_1,x_2in (a,b)$ thoả mãn $x_1<x_2$ thì $f(x_1)<f(x_2)$

• Hàm số f nghịch biến (giảm) trên khoảng (a,b) khi và chỉ khi $x_1,x_2in (a,b)$ thì $f(x_1)>f(x_2)$

• Hàm số f không đổi (hàm hằng) trên khoảng $(a,b)$ nếu $f(x)=const$ với mọi $xin (a;b)$

2. Cách lập bảng biến thiên hàm số bậc 2

2.1. Phương pháp

Để lập bảng biến thiên hàm số bậc 2 $y=ax^2+bx+c$, ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp $a>0$: Hàm số đồng biến trên $(frac{-b}{2a};+infty )$ và hàm số nghịch biến trên khoảng $(−infty ;frac{-b}{2a})$

Bảng biến thiên có dạng:

Trường hợp $a<0$: Hàm số đồng biến trên khoảng $(−infty ;frac{-b}{2a})$ và hàm số nghịch biến trên khoảng $(frac{-b}{2a};+infty )$.

Bảng biến thiên có dạng:

2.2. Ví dụ minh hoạ

Để hiểu rõ hơn về cách lập bảng biến thiên hàm số bậc 2, các em cùng VUIHOC các ví dụ sau đây.

Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên của các hàm số sau đây:

1. $3x^2-4x+1$

2. $y=-x^2+4x-4$

Hướng dẫn giải:

1. $y=3x^2-4x+1$ (a=3, b=-4, c=1)

Tập xác định: $D=mathbb {R}$

Toạ độ đỉnh I(⅔; -⅓)

Xét biến thiên của hàm số:

$a=3>0$ => Hàm số đồng biến trên khoảng $(⅔; +infty )$ và nghịch biến trên (-infty ;⅔)$.

Bảng biến thiên hàm số bậc 2:

1. $y=-x^2+4x-4$

Tập xác định: $D=mathbb {R}$

Toạ độ đỉnh $I(2;0)$

Trục đối xứng của hàm số:$x=2$

Xét biến thiên của hàm số:

$a=-1<0$ => hàm số đồng biến trên $(-infty ;2) và nghịch biến trên $(2;+infty )$

Bảng biến thiên hàm số bậc 2:

Ví dụ 2: Lập bảng biến thiên của hàm số $y=x^2-6x+8$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Ví dụ 3: Lập bảng biến thiên của đồ thị hàm số $y=f(x)=x^2-2x$

Hướng dẫn giải:

Ta có: a=1, b=-2, c=0.

Toạ độ đỉnh I(1;-1)

Bảng biến thiên:

Suy ra, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-infty ;1)$ và đồng biến trên khoảng $(1;+infty )$

3. Bài tập thực hành lập bảng biến thiên hàm số bậc 2

Để thành thạo các bước lập bảng biến thiên hàm số bậc 2, các em học sinh cùng VUIHOC luyện tập với bộ đề (có hướng dẫn giải chi tiết) sau đây.

Bài 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=-frac{1}{2}x^2+2x-2$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $a=-frac{1}{2}, b=2, c=-2$. Suy ra toạ độ đỉnh $I(2;0)$

Vì a<0 => Hàm số đồng biến trên khoảng $(-infty ;2)$ và nghịch biến trên khoảng $(2;+infty )$

Bảng biến thiên hàm số bậc 2 có dạng:

Bài 2: Lập bảng biến thiên của hàm số $y=-3x^2+2x-1$

Hướng dẫn giải:

Ta có $a=-3, b=2, c=-1$. Suy ra toạ độ đỉnh I(⅓; -⅔)

Do a<0 => Hàm số đồng biến trên khoảng $(-infty ;⅓)$ và hàm số nghịch biến trên khoảng $(⅓;+infty )$

Bảng biến thiên hàm số bậc 2:

Bài 3: Lập bảng biến thiên của các hàm số sau đây:

1. $y=x^2+3x+2$

2. $y = -x^2 + (2sqrt{2})x$

Hướng dẫn giải:

1. Ta có:

1. Ta có:

Các em vừa cùng VUIHOC ôn tập lại toàn bộ lý thuyết về hàm số bậc 2 và cách lập bảng biến thiên hàm số bậc 2. Hy vọng rằng qua bài viết này, các em sẽ không gặp khó khăn trong việc giải các bài tập liên quan đến biến thiên và đồ thị hàm số Toán lớp 10. Để đọc thêm nhiều bài viết hay về Toán THPT, Toán lớp 10,.. các em truy cập trang web vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học với thầy cô trường VUIHOC ngay tại đây nhé!