Cách chứng minh đường trung trực lớp 8

Đường trung trực của một đoạn thẳng là gì? Tính chất đường trung trực được áp dụng như thế nào trong giải toán học. Bạn đang loay hoay với phần kiến thức về đường trung trực của đoạn thẳng, của tam giác cũng như nhiều dạng toán liên quan.

Đường trung trực của một đoạn thẳng là phần kiến thức với học sinh lớp 7, khi mà toán hình học đã bắt đầu cao hơn một nấc, nhưng đừng vội lo lắng với toán liên quan đến đường trung trực bạn chỉ cần nhớ định nghĩa cùng những tính chất hay định lý mà thôi. Hãy cùng La Factoria Webchúng tôi tổng kết những nội dung cần nhớ, các dạng bài tập cùng cách giải hiệu quả dễ nhớ ngay bên dưới đây.

Định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng là gì?

Định nghĩa: Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

Định lý 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

GT: d là trung trực của AB, M d

=> KL: MA = MB

Định lí 2:

Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó

Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Tính chất của đường trung trực

Tính chất đường trung trực một đoạn thẳng

Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đều cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng ấy

Trên hình vẽ trên, dd là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Ta cũng nói: A đối xứng với B qua d.

=> Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Tính chất ba đường trung trực trong tam giác

Với tam giác thường

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Trên hình, điểm O là giao điểm các đường trung trực của ΔABC.ΔABC.

Ta có OA = OB = OC. Điểm OO là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC.ΔABC.

Giao điểm của ba đường trung trực của một tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Khi đó, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Với tam giác cân

Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.

Với tam giác vuông

Trong tam giác vuông, giao điểm của ba đường trung trực chính là trung điểm của cạnh huyền.

Các dạng toán về đường trung trực của đoạn thẳng

Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng

Dạng 1: Toán chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng

Phương pháp giải:

Chứng minh d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta chứng minh d chứa hai điểm và cách đều A và B hoặc dùng định nghĩa đường trung trực.

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Phương pháp:

Áp dụng định lý: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Dạng 3: Bài toán về giá trị nhỏ nhất

Dạng 3: Bài toán về giá trị nhỏ nhất

Phương pháp:

Áp dụng tính chất đường trung trực để thay độ dài một đoạn thẳng thành độ dài một đoạn thẳng khác bằng nó.

Sau đó là áp dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất.

Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Phương pháp:

Áp dụng tính chất giao điểm 3 đường trung trực của tam giác

Định lý: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Dạng 5: Bài toán về đường trung trực đối với tam giác cân

Dạng 5: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác cân

Phương pháp:

Cần nhớ trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến , đường phân giác ứng với cạnh đáy này.

Dạng 6: Bài toán về đường trung trực đối với tam giác vuông

Dạng 6: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác vuông

Phương pháp:

Cần ghi nhớ và áp dụng: Trong tam giác vuông, giao điểm các đường trung trực là trung điểm cạnh huyền.

Bạn có thể tham khảo bài học về Đường trung trực tại đây:

Một số câu hỏi về đường trung trực của đoạn thẳng

Mỗi đoạn thẳng có bao nhiêu đường trung trực? Mỗi đoạn thẳng chỉ có một đường trung trực, là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng đó.

Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng?

Dựa vào định nghĩa và tính chất của đường trung trực cộng với tính chất của vectơ, có 2 phương pháp viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của đường trung trực và 1 điểm mà nó đi qua.
2. Áp dụng tính chất 1 ở trên.

Bài tập áp dụng cách 1: tìm vectơ pháp tuyến

Cho A(1;-4) và B(3;2), viết pt tổng quát đường trung trực của đoạn AB.

Giải:

Vectơ AB = (3 1 ; 2 (-4)) = (2; 6) = 2 (1; 3)

=> Vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn AB là : Vectơ n = (1; 3)

Gọi I(x;y ) là trung điểm của AB

x = (1 + 3 ) / 2 = 2

Và y = (- 4 + 2)/ 2 = -1

=> I(2; -1)

Phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn AB :

a(x x0) + b(y y0 ) = 0

<=> x 2 + 3(y + 1 ) = 0

=> x + 3y + 1 = 0

Bài tập về đường trung trực của đoạn thẳng

Bài 44 (trang 76 SGK Toán 7 tập 2): Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, cho đoạn thẳng MA có độ dài 5cm. Hỏi độ dài MB bằng bao nhiêu?

Bài giải:

Điểm M thuộc đường trung trực của AB

=> MA = MB (định lí thuận)

Vì MA = 5cm nên MB = 5cm

Kiến thức áp dụng: Dựa vào định lí về tính chất của các điểm thuộc đường trung trực (định lý thuận): Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Bài 45 (trang 76 SGK Toán 7 tập 2): Chứng minh đường thẳng PQ được vẽ như trong hình đúng là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Lời giải:

Ta có: Hai cung tròn tâm M và N có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại P, Q.

Nên MP = NP và MQ = NQ

=> P; Q cách đều hai mút M, N của đoạn thẳng MN

nên theo định lí 2 : P; Q thuộc đường trung trực của MN

hay đường thẳng qua P, Q là đường trung trực của MN.

Vậy PQ là đường trung trực của MN.

Bài 46 (trang 76 SGK Toán 7 tập 2): Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Lời giải:

Vì ΔABC cân tại A AB = AC

=> A thuộc đường trung trực của BC.

Vì ΔDBC cân tại D DB = DC

=> D thuộc đường trung trực của BC

Vì ΔEBC cân tại E EB = EC

=> E thuộc đường trung trực của BC

Do đó A, D, E cùng thuộc đường trung trực của BC

Vậy A, D, E thẳng hàng

Bài 47 (trang 76 SGK Toán 7 tập 2): Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh ΔAMN = Δ BMN.

Bài giải:

Vì M thuộc đường trung trực của AB

=> MA = MB (định lý thuận về tính chất của các điểm thuộc đường trung trực)

N thuộc đường trung trực của AB

=> NA = NB (định lý thuận về tính chất của các điểm thuộc đường trung trực)

Do đó ΔAMN và ΔBMN có:

AM = BM (cmt)

MN chung

AN = BN (cmt)

ΔAMN = ΔBMN (c.c.c)

Bài 48 (trang 77 SGK Toán 7 tập 2): Hai điểm M và N cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy. Lấy điểm L đối xứng với M qua xy. Gọi I là một điểm của xy. Hãy so sánh IM + IN với LN.

Bài giải:

Vì L và M đối xứng qua đường thẳng xy nên xy là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với ML.

Nên đường thẳng xy là trung trực của ML.

I xy => IM = IL (theo định lý 1).

Nên IM + IN = IL + IN

TH1: Nếu I, L, N thẳng hàng

=> IL + IN = LN (vì N và L nằm khác phía so với đường thẳng xy và I nằm trên xy).

=> IM + IN = LN

TH2: Nếu I không là giao điểm của LN và xy thì ba điểm I, L, N không thẳng hàng

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào Δ INL ta được: IL + IN > LN

mà IM = IL (cmt)

=> IL + IN > LN (bất đẳng thức tam giác)

=> IM + IN > LN

Vậy với mọi vị trí của I trên xy thì IM + IN LN

Bài 49 (trang 77 SGK Toán 7 tập 2): Hai nhà máy được xây dựng bên bờ một con sông tại hai địa điểm A và B (h.44). Hãy tìm trên bờ sông một địa điểm C để xây dựng một trạm bơm đưa nước về cho hai nhà máy sao cho độ dài đường ống dẫn nước là ngắn nhất?

Lời giải:

Gọi đường thẳng xy là bờ sông cần xây trạm bơm.

=> Bài toán đưa về: Hai điểm A, B cố định cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy. Tìm vị trí điểm C nằm trên đường xy sao cho CA + CB nhỏ nhất.

Gọi A là điểm đối xứng của A qua đường thẳng xy.

Theo như chứng minh ở bài 48 ta có: CA + CB = CA + CB AB (AB cố định).

=> CA + CB đạt ngắn nhất bằng AB.

Dấu = xảy ra khi CA+CB = AB, tức là A; B; C thẳng hàng hay C là giao điểm của AB và xy.

Vậy điểm đặt trạm bơm là giao điểm của đường thẳng xy với đường thẳng AB, trong đó A là điểm đối xứng với A qua xy

Bài 51 (trang 77 SGK Toán 7 tập 2): Cho đường thẳng d và điểm P không nằm trên d. Hình 46 minh họa cho cách dựng đường thẳng đi qua điểm P vuông góc với đường thẳng d bằng thước và compa như sau:

(1) Vẽ đường tròn tâm P với bán kính thích hợp sao cho nó có cắt d tại hai điểm A và B.

(2) Vẽ hai đường tròn với bán kính bằng nhau có tâm tại A và B sao cho chúng cắt nhau. Gọi một giao điểm của chúng là C (C P)

(3) Vẽ đường thẳng PC.

Em hãy chứng minh đường thẳng PC vuông góc với d.

Bài giải:

1. a) Ta có: PA = PB (A; B nằm trên cung tròn tâm P) nên P nằm trên đường trung trực của AB.

CA = CB (C nằm trên 2 cung tròn tâm A, B bán kính bằng nhau) nên C nằm trên đường trung trực của AB.

Vậy CP là đường trung trực của AB, suy ra PC d.

1. b) Một cách vẽ khác

Lấy hai điểm A, B bất kì trên d.

Vẽ cung tròn tâm A bán kính AP, cung tròn tâm B bán kính BP. Hai cung tròn cắt nhau tại C (C khác P).

Vẽ đường thẳng PC. Khi đó PC là đường đi qua P và vuông góc với d

Chứng minh :

Theo định lí 2 :

PA = CA ( P,C cùng thuộc cung tròn tâm A bán kính PA)

=> A thuộc đường trung trực của PC.

PB = CB (P, C cùng thuộc cung tròn tâm B bán kính PB)

=> B thuộc đường trung trực của PC.

=> AB là đường trung trực của PC

=> PC AB hay PC d.

Hy vọng với phần kiến thức cần nhớ cũng như các dạng toán quen thuộc về đường trung trực đã chia sẻ ở trên bạn sẽ dễ dàng hơn trong việc giải các bài tập liên quan. Định lí và định nghĩa về đường trung trực là hai phần quan trọng nhất buộc bạn phải thuộc lòng để áp dụng nhanh nhất vào giải toán. Hình học luôn có sự thú vị khi càng lên bậc cao hơn, đường trung trực chính là bài học nền tảng cho bạn sau này.