Tiếp tuyến của đường tròn là một phần học trong chương trình toán lớp 9. Các bạn sinh viên cần tìm hiểu về phần này cũng như là những dấu hiệu để nhận biết tiếp tuyến của đường tròn. Để có thể hoàn thành tốt môn học này, mời các bạn học sinh cùng chúng tôi tìm hiểu bài viết dưới đây.
1. Định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn
Nếu như một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó sẽ vuông góc với bán kính mà nó đi qua tiếp điểm.
Trong hình vẽ Δ chính là tiếp tuyến ⇒ Δ ⊥ OH (H là tiếp điểm).
2. Những dấu hiệu để nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Định lý: Nếu một đường thẳng mà đi qua một điểm của đường tròn và sẽ vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy sẽ là một tiếp tuyến của đường tròn.
Ngoài ra, còn một số dấu hiệu nhận biết như sau:
+) Nếu như một đường thẳng và một đường tròn mà chỉ có một điểm chung thì đường thẳng ấy sẽ là tiếp tuyến của đường tròn.
+) Nếu như khoảng cách từ tâm của một đường tròn đi đến đường thẳng mà bằng bán kính của đường tròn thì ta nói đường thẳng đó chính là tiếp tuyến của đường tròn.
3. Ví dụ minh họa
1 – Ví dụ 1: Tam giác ABC có AB = 3cm; Ac = 4 cm và BC = 5 cm. Hãy vẽ đường tròn (B; BA). Và hãy chứng minh rằng AC chính là tiếp tuyến của đường tròn
Hướng dẫn giải:
Ta có: AB2 + AC2 = BC2
⇒ ΔABC sẽ là tam giác vuông tại A.
hay suy ra AC ⊥ AB
Từ dấu hiệu nhận biết của tiếp tuyến ta sẽ có:
+ A là điểm chung của AC với đường tròn (B)
+ Bán kính BA vuông góc với đường thẳng AC đi qua A và.
⇒ AC chính là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA)
2 – Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) có đường kính là AB. C chính là một điểm trên đường tròn sao cho 
. M chính là điểm đối xứng với O qua B. Hãy chứng minh MC là tiếp tuyến của (O)
Hướng dẫn giải:
3 – Ví dụ 3: Cho đường tròn (O; 12), có điểm M cách O là 20. Hãy vẽ tiếp tuyến AM với A là tiếp điểm
a) Tính đường thẳng MA
b) Vẽ dây AB vuông góc với OM. Và hãy chứng minh MB là tiếp tuyến
Hướng dẫn giải:
a) Theo định lý Py – ta – go ta sẽ có:
b) H chính là giao điểm của AB với OM
Ta xét hai tam giác OAH và OBH chính là hai tam giác vuông tại H
Có: OH chung;
OA = OB = R
⇒ ΔOAH = ΔOBH nên suy ra HA = HB
Tam giác MAB có MH vừa là đường cao cũng vừa là đường trung tuyến
nên => MAB cân tại M
Vậy MB chính là tiếp tuyến của đường tròn
4 – Bài 21 SGK toán 9: Cho tam giác ABC ta có AB = 3, AC = 4 và BC = 5. Vẽ đường tròn (B; BA). Hãy chứng minh rằng AC chính là tiếp tuyến của đường tròn.
Hướng dẫn giải:
Ta có: AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25
BC2 = 52 = 25
Nên AB2 + AC2 = BC2
=> tam giác ABC vuông tại A hay ta có AC ⊥ BA.
Đường thẳng AC đi qua điểm A của đường tròn và sẽ vuông góc với bán kính BA đi qua điểm A nên suy ra AC là tiếp tuyến của đường tròn.
5 – Bài 22 SGK Toán 9: Cho một đường thẳng d có điểm A nằm trên đường thẳng d và điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Hãy dựng đường tròn (O) đi qua điểm B và sẽ tiếp xúc với đường thẳng d tại A.
Hướng dẫn giải:
Cách dựng:
– Dựng một đường trung trực của đoạn thẳng AB là m.
– Từ A ta dựng một đường thẳng vuông góc với d và sẽ cắt đường thẳng m tại O.
– Tiếp theo ta dựng đường tròn (O; OA). Đây chính là đường tròn ta phải dựng.
O nằm ở trên đường trung trực của AB nên suy ra theo tính chất của đường trung trực có: OA = OB
Từ đó đường tròn (O; OA) sẽ đi qua A và B.
Đường thẳng d ⊥ OA tại A nên đường thẳng d sẽ tiếp xúc với đường tròn (O) tại A.
6 – Bài 23 SGK Toán 9: Đố. Dây curoa ở trên hình 76 có những phần chính là tiếp tuyến của các đường tròn tâm A, B, C. Chiều quay của đường tròn tâm B sẽ ngược chiều quay của kim đồng hồ. Hãy tìm chiều quay của đường tròn tâm A và đường tròn tâm C hai đường tròn này cùng chiều quay hay ngược với chiều quay của kim đồng hồ.
Hướng dẫn giải:
Từ hình vẽ đã cho ta có: đường tròn (A) và (C) nằm cùng một phía bên dưới so với sợi dây nên chúng sẽ có cùng chiều quay, còn đường tròn (B) nằm ở khác phía bên trên.
=> đường tròn (A) và (C) sẽ quay ngược chiều với (B).
Khi dây curoa chuyển động, đường tròn (B) sẽ quay ngược chiều của kim đồng hồ nên đường tròn (A) và (C) sẽ có cùng chiều quay của kim đồng hồ.
7 – Bài 24 SGK Toán 9 : Cho đường tròn (O), có dây AB khác đường kính. Qua O ta kẻ đường vuông góc với AB, và cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn chính là ở điểm C.
a) Hãy chứng minh rằng CB chính là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Cho bán kính của đường tròn là15cm, AB = 24 cm. Hãy tính độ dài OC.
Hướng dẫn giải:
a)
Gọi H chính là giao điểm của OC và AB
Ta xét đường tròn (O) có:
OH ⊥ AB tại H
mà OH chính là 1 phần của đường kính và AB là dây của đường tròn
Ta có lý thuyết sau: đường kính vuông góc với một dây thì sẽ đi qua trung điểm của dây ấy nên suy ra H sẽ là trung điểm của AB
=> HA = HB = AB
Mà ta lại có: OC ⊥ AB tại H, do đó, OC chính là đường trung trực của AB
=> CB = CA (theo tính chất đường trung trực)
Xét tam giác CBO và tam giác CAO ta có:
CO chung
CA = CB (CMT)
OB = OA = R (do là B, A nằm ở trên đường tròn (O))
tam giác CBO = tam giác CAO( cạnh cạnh cạnh).
=> 
Vì AC chính là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên có:
AC ⊥ OA =>
Tức là CB sẽ vuông góc với OB, mà OB chính là bán kính của đường tròn (O)
Do đó, CB sẽ là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B.
b)
Ta có: OA = OB = R = 15 cm
HA = = = 12 (CM) (chứng minh phần a)
Ta xét tam giác HOA vuông tại H (do có OC ⊥ AB tại H)
Áp dụng định lí Py-ta-go ta sẽ có:
OA2 = OH2 + HA2
=> OH2 = OA2 – HA2 = 152 – 122 = 81
=> OH = = 9 (cm)
Ta xét tam giác BOC vuông tại B có đường cao là BH.
Áp dụng HT lượng trong tam giác vuông ta sẽ có:
OB2 = OC.OH => OC = = = 25 cm
8 – Bài 25 SGK Toán 9 :Cho đường tròn tâm O có bán kính là OA = R, dây BC sẽ vuông góc với OA tại trung điểm M của đường thẳng OA.
a) Tứ giác OCAB là hình gì? Và tại sao?
b) Hãy kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, và nó cắt đường thẳng OA tại E. Hãy tính độ dài BE theo R.
Hướng dẫn giải:
a) Vì bán kính OA vuông góc với BC nên suy ra MB = MC.
Ta có MO = MA (gt).
Suy ra tứ giác OBAC chính là hình bình hành vì có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Ta Lại có: OA ⊥ BC nên suy ra OBAC chính là hình thoi.
b)
Do ABOC là hình thoi nên => BA = BO
Ta có BO = OA = R
- OB = OA = BA
Ta xét tam giác ABO : OB = OA = BA (CMT)
Do đó, => tam giác ABO chính là tam giác đều.
=> 
=60o
Có EB chính là tiếp tuyến của (O) tại B => EB ⊥ BO => =90o
Xét tam giác BOE vuông tại B (do có = 90o)
Áp dụng HT giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta sẽ có:
BE = BO.tan = R.tan 60° = .
=>> Xem thêm nội dung liên quan: Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải
Trên đây là “tất tần tật” những kiến thức về lý thuyết cũng như cách giải một số ví dụ minh họa để các bạn học sinh có thể dễ dàng tìm hiểu. Để hoàn thành tốt môn học này các bạn cần nắm vững kiến thức phần này. Hy vọng bài viết những dấu hiệu để nhận biết tiếp tuyến của đường tròn ở trên sẽ hỗ trợ được cho các bạn trong quá trình học tập.
Đăng kí ngay tại đây =>> Kiến Guru<<= để nhận khóa học chất lượng giúp trẻ phát triển tư trong học tập tốt hơn
Tôi là Nguyễn Văn Sỹ có 15 năm kinh nghiệm trong lĩnh vực thiết kế, thi công đồ nội thất; với niềm đam mê và yêu nghề tôi đã tạo ra những thiết kếtuyệt vời trong phòng khách, phòng bếp, phòng ngủ, sân vườn… Ngoài ra với khả năng nghiên cứu, tìm tòi học hỏi các kiến thức đời sống xã hội và sự kiện, tôi đã đưa ra những kiến thức bổ ích tại website nhaxinhplaza.vn. Hy vọng những kiến thức mà tôi chia sẻ này sẽ giúp ích cho bạn!