[CHUẨN NHẤT] Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp Toán 11 – Top Đề Thi

Hướng dẫn cách phân biệt “Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp” cùng với kiến thức tham khảo do Top đề thi sưu tầm biên soạn. Đây sẽ là tài liệu cực hay và bổ ích giúp các bạn học sinh ôn tập và tích luỹ thêm kiến thức bộ môn Toán 11

Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp chính xác nhất

Sự khác nhau giữa Chỉnh hợp và Tổ hợp

– Về khái niệm của Chinh hợp:

+ Ta lấy ra k phần tử trong n phần tử của tập A. Từ k phần tử lấy ra ta sắp xếp chúng theo 1 thứ tự nào đó, mỗi cách sắp xếp như vậy ta được 1 chỉnh hợp.

+ Vi dụ: Ta lấy ra 3 số là 1; 2; 3, từ 3 số này ta lại sắp xếp thành các số có 3 chữ số. Kết quả là ta có là: 123; 231; 132; 213; 312; 321. Với việc thay đổi vị trí ta lại có được các số khác nhau và mỗi số đó là 1 chỉnh hợp.

– Về khái niệm Tổ hợp:

+ Lấy ra tập hợp con gồm k phần từ trong n phần tử của tập A. Trong khái niệm tập hợp thì ra không phân biệt vị trí và thứ tự của những phần tử trong đó, ta chỉ quan tâm xem trong tập đó có bao nhiêu phần tử thôi. Mỗi khi lấy ra 1 tập hợp con gồm k phần tử sẽ cho ta 1 tổ hợp. Cũng ví dụ trên:

+ Ta lấy ra 3 phần tử là các số 1; 2; 3, ta đặt các số này vào những vị trí khác nhau trong tập con, chúng ta sẽ có các tập con sau:

+ A = {1;2;3} ; B = {1;3;2}; C = {2;1;3}; D = {2;3;1}; E = {3;1;2}; F = {3;2;1}

– Đặt các số vào những vị trí khác nhau ta được các tập con khác nhau. Như ví dụ trên chúng ta có 6 tập con gồm A; B; C; D; E; F nhưng vẫn là các phần tử là 1; 2 và 3. Vì thế 6 tập con trên bằng nhau, tức là chúng chỉ là một và đó là tổ hợp. Trong tập hợp thì không phân biệt vị trí của những phần tử mà chỉ quan tâm trong tập đó gồm những phần tử nào, còn chỉnh hợp phân biệt cả vị trí và thứ tự. Vì vậy, các bạn sẽ thấy số chỉnh hợp bao giờ cũng nhiều hơn số tổ hợp.

Kiến thức mở rộng về tổ hợp và chỉnh hợp

Chỉnh hợp

Định nghĩa

Cho tập hợp (A) gồm (n) phần tử (left( {n ge 1} right)).

Kết quả của việc lấy (k) phần tử khác nhau từ (n) phần tử của tập hợp (A) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập (k) của (n) phần tử đã cho.

Chú ý

Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập (n) của (n) phần tử đó.

Định lí

Số chỉnh hợp chập (k) của (n) phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là (A_n^k) và bằng

(A_n^k = n(n – 1)…(n – k + 1) =frac{n!}{(n – k)!} ) ((1 ≤ k ≤ n))

Với quy ước (0! = 1).

Ví dụ:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm (4) chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số (1,2,3,4,5,6,7)?

Hướng dẫn:

Mỗi số tự nhiên gồm (4) chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy (4) chữ số từ tập (A = left{ {1;2;3;4;5;6;7} right}) và xếp chúng theo một thứ tự nhất định.

Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập (4) của (7) phần tử.

Vậy số các số cần tìm là (A_7^4 = 840) số.

Tổ hợp

Định nghĩa

Cho (n) phần tử khác nhau ((n ≥ 1)). Mỗi tập con gồm (k) phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập hợp (n) phần tử đã cho ((0 ≤ k ≤ n)) được gọi là một tổ hợp chập (k) của (n) phần tử đã cho (với quy ước tổ hợp chập (0) của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).

Định lí

Số các tổ hợp chập (k) của (n) phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là (C_n^k) và bằng

(C_n^k = frac{n!}{k! (n – k)!}) = (frac{A^k_{n}}{k!}), ((0 ≤ k ≤ n))

Ví dụ:

Một bàn học sinh có (3) nam và (2) nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra (2) bạn để làm trực nhật?

Hướng dẫn:

Mỗi cách chọn ra (2) bạn để làm trực nhật là một tổ hợp chập (2) của (5) phần tử.

Vậy số cách chọn là: (C_5^2 = 10) (cách)

Định lí

Với mọi (n ≥ 1; 0 ≤ k ≤ n), ta có:

a) (C_n^k = C_n^{n-k})

b) (C_n^k + C_n^{k+1}) = (C_{n+1}^{k+1}).

Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Phương pháp chung:

– Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.

– Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

Dạng 2: Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Phương pháp chung:

– Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.

– Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.