Phương trình bậc nhất một ẩn
I . Lí thuyết:
1 . Mở đầu về phương trình :
Phương trình một ẩn là phương trình có dạng P(x) = Q(x) ( x là ẩn ) , trong đó vế trái P(x) và vế phải Q(x) là hai biểu thức cửa cùng một biến x.
– Số x gọi là nghiệm của phương trình nếu P(x) = Q(x) là một đẳng thức đúng.
– Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm,….. nhưng cũng có thể không có nghiệm nào ( vô nghiệm). Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm ( hoặc tìm tập nghiệm ) của phương trình đó.
– Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có tập nghiệm bằng nhau (kể cả bằng tập rỗng). Quy tắc biến một phương trình thành một phương trình tương đương với nó được gọi là quy tắc biến đổi tương đương.
2 . Phương trình bậc nhất một ẩn:
– Định nghĩa : Phương trình dạng ax + b = 0, với a, b là hai số đã cho và a khác 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
– Hai quy tắc biến đổi tương đương;
+ Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
+ Quy tắc nhân với một số: Ta có thể nhân ( hoặc chia) cả hai vế của một phương trình với cùng một số khác 0.
– Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn:
Ta có ax + b = 0 < = > ax = -b ( quy tắc chuyển vế)
< = > [x=-frac{b}{a}] ( chia hai vế cho a khác 0 )
Vậy phương trình bậc nhất một ẩn ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất là [x=-frac{b}{a}].
3 . Kiến thức nâng cao :
– Phương trình có dạng bậc nhất một ẩn ax + b = 0.
+ Với a ≠ 0 , phương trình có nghiệm duy nhất [x=-frac{b}{a}]
+ Với a = 0, phương trình có dạng 0x = -b
Nếu b = 0 thì phương trình vô số nghiệm
Nếu b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm
– Với phương trình chứa tham số m, giải và biện luận phương trình là giải phương trình đó tùy theo các sở trường về giá trị của m.
II . Các dạng bài toán và ví dụ :
Dạng 1 : Xét xem một số có là nghiệm của phươn trình hay không
Ví dụ 1 : Hãy xét xem x = -3 có phải là nghiệm của phương trình sau hay không ?
a,[2x-5=-14-x];
b, [frac{2}{3}x-7=-3x];
c, [frac{6}{x}-5=2x+1];
d,[{{x}^{2}}-4=2x+11].
Giải
a, Thay = -3 vào phương trình, ta được :
2.(-3) – 5 = -14 – ( -3)
< = > -11 = -11 ( là một đẳng thức đúng )
Vậy x = -3 là một nghiệm của phương trình.
b, Thay x = -3 vào phương trình, ta được :
[frac{2}{3}.(-3)-7=-3(-3)]
< = > -9 = 9 ( là một đẳng thức sai)
Vậy x = -3 không là nghiệm của phương trình
c, Thay x = -3 vào phương trình , ta được :
[frac{6}{-3}-5=2(-3)+1]
< = > -7 = -5 ( là một đẳng thức sai)
Vậy x = -3 không là nghiệm của phương trình
d, Thay x = -3 vào phương trình, ta được :
[{{(-3)}^{2}}-4=2(-3)+11]
< = > 5 = 5 ( là một đẳng thức đúng )
Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình.
Nhận xét : Để xét xem một số có là nghiệm của phương trình hay không, ta thay số đó vào phương trình. Nếu kết quả là một đẳng thức đúng thì số đã cho là nghiệm ; trái lại , số đã cho không phải là nghiệm.
Dạng 2: Giải phương trình đưa về dạng ax + b = 0
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a, [frac{3x-2}{5}=frac{4-7x}{3}];
b, [2x(x-5)+21=x(2x+1)-12].
Giải
[a,frac{3x-2}{5}=frac{4-7x}{3}Leftrightarrow 3(3x-2)=5(4-7x)]
[Leftrightarrow 9x-6=20-35x]
[Leftrightarrow 9x+35x=20+6]
[Leftrightarrow 44x=26Leftrightarrow x=frac{13}{22}.]
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất [x=frac{13}{22}]
[b,2x(x-5)+21=x(2x+1)-12]
[Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-10x+21=2{{x}^{2}}+x-12]
[Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-10x-2{{x}^{2}}-x=-12-21]
[Leftrightarrow -11x=-33Leftrightarrow x=3]
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {3}
Dạng 3: Xét xem hai phương trình có tương đương hay không
Ví dụ 3: Tìm m để hai phương trình sau tương đưong:
x – m = 0 (1) và mx – 9 = 0
Giải
Phương trình (1): x – m = 0 có nghiệm duy nhất là x = m . Vì hai phương trình tương đương nên x = m cũng là nghiệm của phương trình (2), tức là : m.m – 9 = 0
[Leftrightarrow {{m}^{2}}={{3}^{2}}Leftrightarrow m=pm 3]
Thử lại:
– Với m = 3, ta có phương trình (1) : x – 3 = 0 và phương trình (2): 3x – 9 = 0
Có cùng tập nghiệm {3}. Vậy m = 3 thỏa mãn.
– Với m = -3, ta có phương trình (1): x + 3 = 0 và phương trình (2): (-3)x – 9 = 0 có cùng tập nghiệm {-3}. Vậy m = -3 thỏa mãn
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu là -3 và 3.
Dạng 4 : Giải và biện luận phương trình ax + b = 0
Ví dụ 4 : Giải và biện luận phương trình :[(m-3)x={{m}^{2}}-3m]
Giải
Ta có : [(m-3)x={{m}^{2}}-3m][Rightarrow (m-3)x=m(m-3)]
+ Nếu m – 3 ≠ 0, tức m ≠ 3, thì phương trình có nghiệm duy nhất là [x=frac{m(m-3)}{m-3}=m].
+ Nếu m – 3 = 0 tức m = 3 thì ta có phương trình 0.x = 0 , đúng với mọi x.
Vậy nếu m ≠ 3 thì phương trình có tập nghiệm là {m};
nếu m = 3 thì phương trình có tập nghiệm là R.
III . Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Xét xem x = 4 có là nghiệm của mỗi phương trình sau hay không ?
a, 2(3x – 1 ) -7 = 15 – ( x – 4 );
b, x(3 – 4x ) -5 = 1 – [{{x}^{3}}].
Bài 2 : Tìm m để x = 1,5 là nghiệm của phương trình:
[{{m}^{2}}(2x-3)-4x+m=5]
Bài 3 : Chứng minh rằng phương trình 2mx – 5 = -x + 6m – 2 luôn có nghiệm x không phụ thuộc vào m ?
Bài 4 : Tìm m để hai phương trình sau tương đương:
2x + 3 = 0 và ( 2x + 3 ) ( mx – 1 ) = 0
Bài 5 : Giải và biện luận các phương trình sau :
a, [(1-m)x={{m}^{2}}-1;]
b, [({{m}^{2}}-5m+6)x={{m}^{2}}-9.]
Bài 6 : Cho phương trình [left( 4{{m}^{2}}-25 right)x-5=2m]
a, Giải phương trình với m = 5 .
b, Tìm m để phương trình vô nghiệm.