Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Định nghĩa hoán vị:

Cho tập hợp A, gồm n phần tử (n>=1). Một cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Công thức hoán vị:

[P_n = n! = 1.2.3…(n-1).n]

Kí hiệu hoán vị của n phần tử: (P_n).

Ví dụ về hoán vị:

Hỏi: Cho tập A = {3, 4, 5, ,6, 7}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt?

Đáp: (P_5 = 5! = 120) số.

Định nghĩa chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một bộ gồm k (1 <= k <= n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập hợp A.

Công thức chỉnh hợp:

[{A_n^k} = n.(n-1)…(n-k+1) = frac{n!}{(n-k)!}]

Kí hiệu chỉnh hợp chập k của n phần tử: ({A_n^k}).

Ví dụ về chỉnh hợp:

Hỏi: Có bao nhiêu cách xếp ba khách Minh, Thông, Thái vào hai chỗ ngồi cho trước?

Đáp: ({A_3^2} = frac{3!}{(3-2)!} = 3! = 6) cách.

Định nghĩa tổ hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một tập con của A, gồm k phần tử phân biệt (1 <= k <= n), được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.

Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp:

• Chỉnh hợp là bộ sắp có thứ tự: ví dụ, {a,b,c}, {a,c,b}, …
• Tổ hợp là bộ sắp không có thứ tự: ví dụ, {a,b,c} -> ok. Trong khi đó {a,c,b} và các cách sắp thứ tự kiểu khác của {a,b,c} không được tính là tổ hợp.

Các công thức tổ hợp (k, n đều hợp lệ): ({C_n^k} = frac{A_n^k}{k!} = frac{n.(n-1)…(n-k+1)}{k!})

[{C_n^k} = frac{n!}{k!(n-k)!}] [{C_n^k} = {C_n^{n-k}}] [{C_n^k} = {C_{n-1}^k} + {C_{n-1}^{k-1}}] [{C_n^k} = frac{n{C_{n-1}^{k-1}}}{k}]

Quy ước: ({C_n^0} = 1).

Ví dụ tổ hợp:

Hỏi: Ông X có 11 người bạn. Ông ta muốn mời 5 người trong số họ đi chơi xa. Trong 11 người đó có 2 người không muốn gặp mặt nhau. Hỏi ông X có bao nhiêu cách mời?

Đáp: (2*{C_9^4} + {C_9^5} = 2*126 + 126 = 252 + 126 = 378) cách.

Giải thích:

• Ông X chỉ mời 1 trong 2 người đó và mời thêm 4 trong số 9 người còn lại: (2*{C_9^4} = 252).
• Ông X không mời ai trong 2 người đó mà chỉ mời 5 trong số 9 người kia: ({C_9^5} = 126).

Chú ý: rất nhiều em học sinh khi giải ví dụ trên bỏ quên mất khả năng thứ 2.

Cập nhật 20/10/2020:

• Sửa lỗi render công thức tổ hợp.
• Cập nhật chính xác đáp án của ví dụ phần tổ hợp. Đây là sai sót của Admin! Chân thành cảm ơn các bạn đã bình luận đóng góp để mình sửa lại.

Các bài viết tham khảo thêm về Toán học:

• Đạo hàm là gì? Ý nghĩa của đạo hàm
• Vi phân là gì? Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
• Giới hạn của hàm số – lim
• Đạo hàm cấp cao và các công thức đạo hàm thường gặp
• Ý nghĩa của Tích Vô Hướng
• Trị riêng và vector riêng của ma trận
• Số phức là gì? Giải thích dễ hiểu về số phức
• Tổng hợp các dạng bài tập đạo hàm (2018)
• Đo góc của hai vector. Ứng dụng: Đo độ tương tự của 2 vector – cosine similarity
• Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
• Cách tính và ý nghĩa ma trận hiệp phương sai (covariance matrix)
• Tổng hợp các bài post toán học