Cách vẽ đồ thị hàm số lớp 10 – bài tập kèm giải chi tiết

1. Tổng hợp lý thuyết hàm số lớp 10

Trước khi tìm hiểu về cách vẽ đồ thị hàm số lớp 10, học sinh cần nắm vững định nghĩa và kiến thức để xét biến thiên hàm số.

1.1. Định nghĩa

Định nghĩa hàm số được khái quát hoá như sau: Cho D là tập con khác tập rỗng thuộc $mathbb{R}$. Hàm số f xác định trên tập D là một quy tắc cho tương ứng với mỗi số $xin D$ với một và chỉ một số thực y gọi là giá trị của hàm số f tại x, ký hiệu là $y=f(x)$.

Tập D được gọi là tập xác định của hàm số y (tập này rất quan trọng để làm nền tảng vẽ đồ thị hàm số lớp 10), x là biến số. Ta có công thức như sau:

1.2. Xét biến thiên hàm số lớp 10

Xét hàm số $f(x)$ xác định trên tập D, ta có:

• Hàm số $y=f(x)$ đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) khi: $x_1,x_2in (a;b): x_1<x_2 Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$

• Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) khi: $x_1,x_2in (a;b): x_1<x_2 Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$

Dưới đây là hình ảnh tổng quát bảng biến thiên cần xét trước khi biết cách vẽ đồ thị hàm số lớp 10:

2. Chi tiết cách vẽ đồ thị hàm số lớp 10

Có 2 cách vẽ đồ thị hàm số lớp 10 dựa theo dạng hàm số: vẽ đồ thị hàm số bậc nhất và vẽ đồ thị hàm số bậc hai. Cùng đọc hướng dẫn chi tiết cách vẽ đồ thị hàm số lớp 10 sau đây.

2.1. Cách vẽ đồ thị hàm số lớp 10: hàm số bậc nhất

Trường hợp 1: $y=ax (aneq 0)$

Đồ thị hàm số $y=ax (aneq 0)$ là một đường thẳng đi qua gốc toạ độ và điểm A(1;0). Như vậy, để vẽ đồ thị hàm số $y=ax$, ta thực hiện như sau:

• Xác định vị trí điểm A(1;a)

• Nối O với A ta được đồ thị hàm số $y=ax$

Lưu ý:

• Đồ thị hàm số $y=x$ chính là đường phân giác của góc phần tư thứ I, III

• Đồ thị hàm số $y=-x$ chính là đường phân giác của góc phần tư thứ II, IV

Trường hợp 2: $y=ax+b (aneq 0)$

Đồ thị hàm số $y=ax+b (aneq 0)$ là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. Đường thẳng này được vẽ như sau:

• Xác định điểm M(0;b)

• Đường thẳng đi qua M song song với đường y=ax thì đồ thị hàm số $y=ax+b (bneq 0)$

Ví dụ 1: Cho hàm số y=-x+3

a) Xác định giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành. Vẽ đồ thị hàm số

b) Gọi A và B theo thứ tự là hai giao điểm nói trên. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ)

c) Gọi $alpha $ là góc nhọn tạo bởi đồ thị hàm số với trục Ox. Tính $tanalpha $ suy ra số đo góc $alpha $

d) Bằng đồ thị, tìm x để $y>0, y0$

Hướng dẫn giải:

a) Đồ thị cắt trục Oy tại A có:

x=0 => y=-0+3=3 => A(0;3)

Đồ thị cắt trục Ox tại B có:

y=0 => 0=-x+3 => x=3 => B(3;0)

b) Ta có:

$S_{triangle OAB}=frac{1}{2}OA.OB=frac{1}{2}.3.3=frac{9}{2}$

c) Xét:

$triangle OAB; widehat{OBA}=alpha $

$Rightarrow tanalpha =frac{OA}{OB}=frac{3}{3}=1Rightarrow alpha =45^{o}$

d) Từ đồ thị suy ra:

$y>0Leftrightarrow x<3$ ứng với phần đồ thị nằm phía trên trục Ox.

$yleq 0Leftrightarrow xgeq 3$ ứng với phần đồ thị nằm phía dưới trục Ox.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y=ax-3a$

a) Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số đi qua điểm A(0;4). Vẽ đồ thị hàm số a vừa tìm được.

b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng tìm được ở phần a.

Hướng dẫn giải:

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(0;4) khi và chỉ khi: $4=a.0-3a=-4 a=-frac{4}{3}$

Vậy hàm số có dạng $y=-frac{4}{3}x+4$

Để vẽ đồ thị hàm số ta lấy thêm điểm B(3;0)

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng AB.

Trong tam giác OAB vuông tại O, ta có:

$frac{1}{OH^{2}}=frac{1}{OA^{2}}+frac{1}{OB^{2}}$

$Leftrightarrow OH=frac{OA.OB}{sqrt{OA^{2}+OB^{2}}}=frac{4.3}{sqrt{4^2+3^2}}=frac{12}{5}$

2.2. Cách vẽ đồ thị hàm số lớp 10: hàm số bậc hai

Để vẽ đồ thị hàm số bậc 2, các em học sinh có thể tùy theo từng trường hợp để sử dụng 1 trong 2 cách sau đây.

Cách 1 (cách này có thể dùng cho mọi trường hợp):

• Bước 1: Xác định toạ độ đỉnh I

• Bước 2: Vẽ trục đối xứng của đồ thị

• Bước 3: Xác định toạ độ các giao điểm của Parabol lần lượt với trục tung và trục hoành (nếu có).

Cách 2 (sử dụng cách này khi đồ thị hàm số có dạng $y=ax^2$)

Đồ thị hàm số bậc 2 $y=ax^2+bx+c (aneq 0)$ được suy ra từ đồ thị hàm $y=ax^2$ bằng cách:

• Nếu b2a>0 thì tịnh tiến song song với trục hoành b2a đơn vị về phía bên trái, về bên phải nếu b2a<0.

• Nếu -4a>0 thì tịnh tiến song song với trục tung -4a đơn vị lên trên, xuống dưới nếu -4a<0.

Đồ thị hàm số $y=ax^2+bx+c (aneq 0)$ có dạng như sau:

Đồ thị hàm số bậc hai lớp 10 $y=ax^2+bx+c (aneq 0)$ có đặc điểm là đường parabol với:

• Đỉnh: I(-b/2a; -/4a)

• Trục đối xứng: đường thẳng x=-b/2a

• Nếu a>0, phần lõm của parabol quay lên trên; Nếu a<0, phần lõm của parabol quay xuống dưới.

• Giao điểm với trục tung: A(0;c)

• Hoành độ giao điểm với trục hoành (nếu có) là nghiệm của phương trình ax^2+bx+c=0.

Ví dụ: Vẽ đồ thị của hàm số $y=x^2+3x+2$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy ta có thể suy ra: Đồ thị hàm số y=x^2+3x+2 có đỉnh I(-3/2;-¼) và đi qua các điểm A(-2;0), B(-1;0), C(0;2), D(-3;2).

Đồ thị hàm số $y=x^2+3x+2$ nhận đường x=-3/2 làm trục đối xứng và có phần lõm hướng lên trên.

2.3. Cách vẽ đồ thị hàm số trị tuyệt đối lớp 10

Để hiểu cách vẽ đồ thị hàm số lớp 10 dạng trị tuyệt đối, ta phân ra làm 2 trường hợp như sau:

Trường hợp 1: Đồ thị hàm số bậc nhất chứa dấu trị tuyệt đối f(x)

Cách 1: Dùng quy tắc phá dấu giá trị tuyệt đối rồi tiến hành vẽ.

Cách 2:

• Vẽ đồ thị hàm số $y=f(x)$

• Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox của $y=f(x)$ (P1)

• Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox của $y=f(x)$ lên phía trên Ox ta được (P2)

• Đồ thị $f(x)$ là P1 và P2

Trường hợp 2: Đồ thị hàm số bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối $f(x)$

Các bước giải:

• Vẽ đồ thị hàm số $y=f(x)$

• Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị bên phải Oy của $y=f(x)$

• Đồ thị $y=f(x)$ là phần bên phải và phần lấy đối xứng

Trường hợp 3: Đồ thị hàm số bậc hai chứa trị tuyệt đối:

Để vẽ đồ thị hàm số bậc 2 chứa trị tuyệt đối $y=ax^2+bx+c$ ta làm theo các bước sau:

Trước hết ta vẽ đồ thị (P): $y=ax^2+bx+c$

Ta có:

Vậy đồ thị hàm số $y=ax^2+bx+c$ bao gồm 2 phần:

• Phần 1: Chính là đồ thị hàm số bậc 2 (P) lấy phần phía trên trục Ox.

• Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị (P) phía dưới trục Ox qua trục Ox.

Ví dụ: Vẽ các đồ thị hàm số sau:

a) $y=left | x right |$

b) $y=left | x-2 right |$

c) $y=left | x-1 right |+2$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

Do đó, đồ thị hàm số là 2 tia OA với A(1;1) và OB với B(-1;1)

b) Ta có:

Do đó đồ thị hàm số là 2 tia IA với I(2;0) và IB với B(0;2)

c) Ta có:

Do đó đồ thị hàm số là 2 tia IA với A(1;2) và IB với B(0;3).

3. Bài tập áp dụng cách vẽ đồ thị hàm số lớp 10

Để thành thạo cách vẽ đồ thị hàm số lớp 10, các em cùng VUIHOC luyện tập với bộ bài tập tự luận sau đây.

Bài 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:

Hướng dẫn giải:

1. Với x0 đồ thị hàm số y=2x là đường thẳng đi qua 2 điểm A(1;2) và điểm O(0;0) nằm phía bên phải của trục tung.

Với x<0 đồ thị hàm số y=-x là phần đường thẳng đi qua B(-1;1) và C(-2;2) nằm phía bên trái của trục tung.

1. Vẽ 2 đường y=-3x+3 và đường y=3x-3 và lấy phần đường thẳng nằm trên trục hoành

Bài 2: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:

a) $y=3x+6$

b) $y=-1x/2+3/2$

Hướng dẫn giải:

1. Tập xác định: R, a=3>0 => hàm số đồng biến trên R.

Lập bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số $y=3x+6$ đi qua 2 điểm A(-2;0), B(0;6).

1. Tập xác định: D=R, a=(-1)/2<0 => Hàm số nghịch biến trên R.

Lập bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số y = -1x/2 + 3/2 đi qua 2 điểm A(3; 0), B(0; 3/2)

Bài 3: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (C) (hình vẽ)

a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên [-3; 3]

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên [-4; 2]

Hướng dẫn giải:

1. Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-3;3]

1. Dựa vào đồ thị hàm số đề bài, ta có:

Bài 4: Vẽ đồ thị của những hàm số trị tuyệt đối sau đây:

a) y = |x| – 2

b) y = ||x| – 2|

Hướng dẫn giải:

1. Ta có 2 cách giải sau:

Cách 1: Ta có:

Vẽ đường thẳng $y=x-2$ đi qua hai điểm A (0; -2), B (2; 0) và lấy phần đường thẳng bên phải của trục tung

Vẽ đường thẳng $y=-x-2$ đi qua hai điểm A (0; -2), B (- 2; 0) và lấy phần đường thẳng bên trái của trục tung.

Cách 2: Đường thẳng $d:y=x-2$ đi qua A (0; -2), B (2; 0).

Khi đó đồ thị của hàm số $y=|x|-2$ là phần đường thẳng d nằm bên phải của trục tung và phần đối xứng của nó qua trục tung.

1. Đồ thị $y=||x| – 2|$ là gồm phần:

– Giữ nguyên đồ thị hàm số $y=|x|-2$ ở phía trên trục hoành

– Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số $y=|x|-2$ ở phía dưới trục hoành.

Bài 5: Vẽ đồ thị các hàm số bậc hai sau:

a) $y=x^2-4x-3$

b) $y=x^2+2x+1$

Hướng dẫn giải:

1. $y=x^2-4x-3$

Ta có: a=1, b=-4, c=-3, =(-4)^2-4.1.(-3)=28.

Toạ độ đỉnh: I(2;-7)

Trục đối xứng: x=2

Giao điểm của parabol với trục tung: A(0;-3)

Giao điểm của parabol với trục hoành: B(2-7;0) và C(2+7;0)

Điểm đối xứng với A(0;-3) qua trục x=2 là D(4;-3)

Vì a>0 nên phần lõm của đồ thị hướng lên trên.

Đồ thị của hàm số bậc hai lớp 10 $y=x^2-4x-3$ có dạng như sau:

1. $y=x^2+2x+1$

Ta có: a=1; b=2; c=1; =$2^2-4.1+1=0$

Toạ độ đỉnh: I(-1;0)

Trục đối xứng: x=-1

Giao điểm của parabol với trục tung là A(0;1)

Giao điểm của parabol với trục hoành chính là đỉnh I.

Điểm đối xứng với A(0;1) qua trục đối xứng x=-1 là B(-2;0)

Lấy điểm C(1;4) thuộc đồ thị hàm số đề bài, điểm đối xứng C qua trục x=-1 là điểm D(-3;4)

Vì a>0 nên phần lõi của đồ thị hướng lên phía trên.

Đồ thị hàm số $y=x^2+2x+1$ có dạng sau đây:

Trên đây là toàn bộ kiến thức bao gồm lý thuyết hướng dẫn cách vẽ đồ thị hàm số lớp 10 chi tiết theo từng dạng hàm số. Đối với kiểu hàm số khác nhau, các em học sinh cần lưu ý áp dụng cách vẽ đồ thị cho chính xác. Để đọc và học nhiều hơn các kiến thức Toán THPT, Toán lớp 10,… truy cập ngay vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học tại trường VUIHOC ngay tại đây nhé!