PHƯƠNG TRÌNH

1. Phương trình một ẩn:

– Một phương trình với ẩn x luôn có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.

Ví dụ 1.1. 2x 3 = 5(x + 7) là phương trình với ẩn x.

5(y + 6) = y2 +26 là phương trình với ẩn y.

– Nếu x0 là một giá trị sao cho A(x0) = B(x0) là một đẳng thức đúng thì x = x0 đgl một nghiệm của phương trình A(x) = B(x).

– Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm, có vô số nghiệm, nhưng cũng có thể không nghiệm nào (phương trình vô nghiệm)

– Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình đgl tập nghiệm của phương trình đó và thường được ký hiệu là S.

– Đề giải một phương trình là đi tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.

Ví dụ 1.2.

* Phương trình x + 2 = 3 có tập nghiệm S = {1}

* Phương trình (x – 3)(x2 – 4) = 0 có tập nghiệm S = {-2; 2; 3}

* Phương trình 0x = 1; x2 + 1 = 0; à các phương trình vô nghiệm và có tập nghiệm là S =

* Phương trình 0x = 0; x2 1 = (x 1)(x + 1) có vô số nghiệm nên S = R

– Số tập nghiệm của một phương trình còn phụ thuộc vào việc xét các giá trị của ẩn trên tập hợp số nào.

Ví dụ 1.3.

Xét phương trình (3x 4)(x2 3) = 0 sẽ vô nghiệm trên tập N, Z

Xét phương trình (3x 4)(x2 3) = 0 có một nghiệm (x = 4/3) trên tập Q

Xét phương trình (3x 4)(x2 3) = 0 có ba nghiệm (x = 4/3, x = ) trên tập R.

2. Hai phương trình tương đương:

2.1. Định nghĩa: Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm.

* Sự tương đương ký hiệu bởi dấu . Phương trình (1) tương đương với phương trình (2), ta viết (1) (2)

* Hai phương trình vô nghiệm được coi là tương đương

Ví dụ 2.1. Xét 2 phương trình x2 + 1 = 0 và phương trình 0x = -3 là hai phương trình tương đương nhau vì có cùng tập nghiệm chúng bằng .

2.2. Hai quy tắc biến đổi tương đương các phương trình:

2.2.1. Quy tắc chuyển vế: (SGK)

A(x) = B(x) + C(x) A(x) C(x) = B(x)

2.2.2. Quy tắc nhân (chia) với một số:

A(x) = B(x) m.A(x) = m.B(x) (m R*)

3. Phương trình bậc nhất một ẩn:

3.1. Định nghĩa: Phương trình dạng ax + b = 0 với a, b là những hằng số; a 0 đgl phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ 3.1. 2x 1 = 0 ; 4y + 6 = 0 ; 2 5t = 0 ; 3z = 0 ; là các phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ 3.2. x(x 1) = 0 ; 0x + 2 = 0 ; không phải các phương trình bậc nhất một ẩn.

3.2. Cách giải: ax + b = 0 ax = – b x = -b/a

Nghiệm duy nhất của phương trình ax + b = 0 (a 0) là x = -b/a

4. Cách giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (a0) (khôngcó ẩn ở mẫu):

– Quy đồng mẫu thức 2 vế

– Khử mẫu thức.

– Thực hiện các phép tính và chuyển vế (chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế bên kia), đưa phương trình về dạng Ax = B

Ví dụ 4.1. Giải phương trình:

Vậy: S =